高等数学不定积分论文分

&>&关于高数上不定积分典型例题
关于高数上不定积分典型例题
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这PPT是关于不定积分的一些典型习题,希望对你们有用,谢谢。
综合评分:5
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/*点击出现回复框*/
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e.stopPropagation();
/*删除评论*/
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alert(data.msg);
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/*删除回复*/
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//填充回复
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parentWrap.find(".res_area_r").val($.trim(parentWrap.find(".res_area").val()));
评论共有3条
考试还够用,感觉还可以
考试前看看挺好的,不定积分关键是理清思路就好了···
很有帮助,各种类型题都有涉及,具有普适性,对基础不好的人作用巨大,非常谢谢资源提供者!
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高等数学不定积分总结(共6篇)
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高等数学不定积分总结(共6篇)
:不定积分
不定积分公式大全
高等数学不定积分公式
不定积分公式怎么记
篇一:高等数学不定积分总结
第5章 不定积分
一、不定积分的概念和性质
若F?(x)?f(x),则?f(x)dx?F(x)?C, C为积分常数不可丢!
性质1?f(x)dx??f(x)或 df(x)dx?f(x)dx或???
??d?f(x)dx??f(x) ???dx
性质2F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C
性质3[?f(x)??g(x)]dx??
或[f(x)?g(x)]dx?
二、基本积分公式或直接积分法
基本积分公式 ????f(x)dx???g(x)dx g(x)dx;?kf(x)dx?k?f(x)dx. ??f(x)dx??
x?x?dx??1x??1?C(?为常数且???1)1?xdx?lnx?C ax
?edx?e?C?adx?lna?C xx
?cosxdx?sinx?C?sinxdx??cosx?C
dxdx22tanx?C??secxdx?csc?cos2x??sin2x?xdx??cotx?C
?secxtanxdx?secx?C?cscxcotxdx??cscx?C
dxarctanx?C?arccotx?
C?()?1?x2?arcsinx?C(?arccosx?C)
直接积分法:对被积函数作代数变形或三角变形,化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等;三角变形主要是指三角恒等式。
三、换元积分法:
1.第一类换元法(凑微分法)
?g(x)dx??f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)
注 (1)常见凑微分:
u??(x)??f(u)du?[F(u)?C]u??(x).
111dx?d(ax?c), xdx?d(x2?c),?2dc), dx?d(ln|x|?
c) a2x1dx?d(arctanx)??d(arccotx?d(arcsinx)??d(arccosx) 1+x2
(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况:
若被积函数为一个函数,比如:e2xdx????e2x?1?dx, 若被积函数多于两个,比如:sinxcosx?1?sin4xdx,要分成两类;
(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成??(x);
(4)若被积函数为三角函数偶次方,降次;奇次方,拆项;
2.第二类换元法
?f(x)dxx??(t)????f(?(t))??(t)dt????f(?(t))?(t)dt?t???1(x)??G(t)?C?t???1(x) 常用代换类型:
(1) 对被积函数直接去根号;
(2) 到代换x?1; t
(3) 三角代换去根号
atantx?asect、
x?asint(orx?acost)
?f(xx,x?asint
?f(xx,x?atant f(ax)dx,t?a
三、分部积分法:uv?dx?udv?uv?vdu?uv?u?vdx.
注 (1)u的选取原则:按“ 反对幂三指” 的顺序,谁在前谁为u,后面的为v?;
(2)u?vdx要比uv?dx容易计算;
(3)适用于两个异名函数相乘的情况,若被积函数只有一个,比如: ??????
arcsinx?1dx,?
(4)多次使用分部积分法: u?u???求导 vv?积分(t?; ?
篇二:不定积分总结
一、原函数
如果对任一x?I,都有
F?(x)?f(x) 或 dF(x)?f(x)dx
则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。
例如:(sinx)??cosx,即sinx是cosx的原函数。 [ln(x??x2)??
原函数存在定理:如果函数f(x)在区间I 上连续,则f(x)在区间I 上一定有原函数,即存在区间I 上的可导函数F(x),使得对任一x?I,有F?(x)?f(x)。
注1:如果f(x)有一个原函数,则f(x)就有无穷多个原函数。
设F(x)是f(x)的原函数,则[F(x)?C]??f(x),即F(x)?C也为f(x)的原函数,其中C为任意常数。
注2:如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数,则F(x)与G(x)之差为常数,即F(x)?G(x)?C(C为常数)
注3:如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数,则F(x)?C(C为任意常数)可表达f(x)的任意一个原函数。
1?x2,即ln(x??x2)是1?x2的原函数。
二、不定积分
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高等数学 不定积分的例题分析及解法 1不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式,换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法,要求熟练掌握凑微分法和设中间变量,而第二换元积分法重点要)(xu??求掌握三角函数代换,分部积分法是通过“部分地”凑微分将转化成,这种转化应是朝有利??ud?du?于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法,例如为有理函数时,通过多项式除法分解成最简分式来积分,为无理函数时,常可用换元积分法。)(xf)(xf应该指出的是:积分运算比起微分运算来,不仅技巧性更强,而且业已证明,有许多初等函数是 “积不出来”的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如;;;(其中)等。dxxx?sindxex??2dxx?ln1??xkdx22sin110?? k这一方面体现了积分运算的困难,另一方面也推动了微积分本身的发展,在第 7 章我们将看到这类 积分的无限形式的表示。一、疑难分析(一)关于原函数与不定积分概念的几点说明(1)原函数与不定积分是两个不同的概念,它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数,若存在函数,使得该区间上每一点处都有,则称是在该区间上)(xf)(xFx)()(xfxF??)(xF)(xf的原函数,而表达式称为的不定积分。CCxF()(?为任意常数))(xf(2)的原函数若存在,则原函数有无限多个,但任意两个原函数之间相差某个常数,因此求)(xf的不定积分时,只需求出的一个原函数,再加上一个任意常数即可,即)(xf?dxxf)()(xf)(xFC。???CxFdxxf)()((3)原函数与不定积分是个体与全体的关系,只是的某个原函数,而)(xF?dxxf)()(xF)(xf是的全部原函数,因此一个原函数只有加上任意常数后,即才能成为?dxxf)()(xfCCxF?)(的不定积分,例如都是的原函数,但都不是的不定积分,只有)(xf3,21, 1222???xxxx2x2才是的不定积分(其中是任意常数) 。Cx ?2x2C(4)的不定积分中隐含着积分常数,因此计算过程中当不定积分号消失后一定要)(xf?dxxf)(C加上一个任意常数。C2(5)原函数存在的条件:如果函数是某区间上连续,则在此区间上的原函数一定存在,)(xf)(xf由于初等函数在其定义域区间上都是连续的,所以初等函数在其定义区间上都有原函数,值得注意的是, 有些初等函数的原函数很难求出来,甚至不能表为初等函数,例如下列不定积分dxexdxdxxxx????2,ln,sin都不能“积”出来,但它们的原函数还是存在的。 (二)换元积分法的几点说明 换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元,使之化为适合基本积分公式表中的某一形式,再求 不定积分的方法。(1)第一换元积分法(凑微分法):令)(xuu ?若已知,则有???CxFdxxf)()(????CxFdxxxf????)()()(???其中是可微函数,是任意常数。)(x?C应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形(凑微分形式) 。(1)、abaxdabxddx)((1)(????)0?,ab为常数具体应用为??????)()(1)(baxdbaxadxbaxmm= ?? ??? ?????????CbaxaCmbax amln11)(11) 1() 1(????mm(2) )(111bxdadxxaa????)() 1(11baxdaaa????、、均为常数,且。例如:a(ba) 1, 0???aaxddxxxxddxxdxxdx21),(32,212???(3)为常数,)ln(1ln1bxadaxddxx???ba,()0?a(4)且;, 0(ln)(,???aaaddxadedxex xxx) 1?a3(5));(sincos),(cossinxdxdxxdxdx???(6))cot(csc),(tansec22xdxdxxdxdx???(7))(arctan112xddxx??(8))(arcsin 112xddx x? ?在具体问题中,凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用,例如求??dxxxf211)(arctan时,应将凑成;求dxxdx21?xdarctandxxxarcf??211)cot(时,应将凑成;而求时,就不能照搬上述两种凑法,应将dxx211 ?xdarccot?dxxx??212211 x?凑成,即。xdx22dx)1 (222xddxxdx???(2)第二换元法积分法:令,常用于被积函数含或等形式。)(tx??22xa ?22ax ?常见的元理函数积分所采用的换元式如表 5-1 所示: 表 5-1代换名称被积函数含有换元式三角代换22xa ?22xa ?22ax ?)2,2(,sin?????ttax)2,2(,tan?????ttax)2, 0(,sec???ttax无理代换nbax?nx12111 )( ,)(nnbaxbax??即, tbaxn??)(1btaxn??即,1tx?tx1?为的最小公倍数),(baxtn??n21,nn(3)同一个不定积分,往往可用多种换元方法求解,这时所得结果在形式上可能不一致,但实质上 仅相差一常数,这可能过对积分结果进行求导运算来验证。 (三)关于积分形式不变性在讲第一换元积分法时,讲过这样一个定理:如果,那么有,其中是的可微函数。这个定???CxFdxxf)()(???CuFduuf)()()(xu??x4理说明: (1)积分变量无论是自变量,还是中国变量,积分公式的形式不变,这一特性叫做积分形式不变x 性。 (2)根据这个定理,基本积分表中的既可以看作是自变量,也可以看作是函数(可微函数) ,因x 此基本积分表中的公式应用范围就扩大了,例如基本积分公式Cxdxx???ln1现在就可以看作是? ?? ?? ?Cd???ln1其中括号内可填充任意一个可微函数,只要三个括号填充的内容保持一致即可,这也正是不定积分的凑微分法的由来,即如果被积函数能够写成的形式,且已知?dxxf)(??dxxxg)()(?????,则有???CuFduug)()(??dxxxgdxxf)()()(????????)()(xdxg??????CxF??)(?同学们在应用积分不变性时,一定要注意三个括号内的内容必须是一致的,否则将出现错误。 (四)分部积分法设是可微函数,且或有原函数,则有分部积分公式:)(),(xxuu????)()(xxu???)()(xxu????????????dxxuxxxudxxxu)()()()()()(???或 ????duuud???当被积函数是两个函数的乘积形式时,如果用以前的方法都不易计算,则可考虑用分部积分法求解,用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成或的形式,这一步类似于凑微分,然后应用??dxu???ud分部积分公式,或,再计算,即得到积分结果。显然,用分部积分法计???duu?????dxuu????dxu?算不定积分时,关键是如何恰当地选择谁做和的原则是:①根据容易求出;②要比原积u???????dxu?分容易计算,实际中总结出一些常见的适用分部积分法求解的积分类型及其和的选择规律,??dxu?u??一归纳如表 5-2。 表 5-2分类不定积分类型和的选择u??I?xdxxpnsin)(xxpunsin),(????5?xdxxpncos)(?dxexpx n)(xxpuncos),(????x nexpu????),(II?xdxxpnln)(?xdxxpnarcsin)(?xdxxpnarccos)(?xdxxpnarctan)()(,lnxpxun????)(,arcsinxpxun????)(,arccosxpxun????)(,arctanxpxun????III?xdxexsin?xdxexcos或xexu????,sinxeuxsin,????或xexu????,cosxeuxcos,????说明(1)表 5-2 中,表示次多项式。)(xpxn(2)表 5-2 中的等函数,不只局限于这些函数本身,而是指它们代表的函数xexxxarcsin,,cos,sin类型,例,表示对所有正弦函数均适用,而表示对所有均适用,其它几个函数xsin)sin(bax ?xebaxe?也如此。(3)III 类积分中,也可选择(或) ,无论怎么样选择,都得到递推循环形式,xeuxsin,????xcos再通过移项、整理才能得到积分结果。 (五)有理函数的积分有理函数可分为如下三种类型: (1)多项式:它的积分根据积分公式表即可求得,是最易计算的类型。 (2)有理真分式:从代数理论可知,任何有理真分式都可通过待定系数法分解或下列四种类型的最 简分式的代数和:kkqpxxBAx qpxxBAx axA axA )(,,)(,22??? ??? ??其中为常数,。kqp,,1, 042???kqp因此求得有理真分的积分归结为求上述四种最简分式的积分。 (3)有理假分式(分子次数不低于分母次数) ;任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理 真分式之和,而这两部分的积分可分别归结为(1)和(2) 综上所述,有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简化式的积分,而前者是易于求得的, 后者可通过凑微分法求出的结果。二、例题分析例 1 为下列各题选择正确答案:6(1) ( )是函数的原函数xxf21)(?A. B.xxF2ln)(?221)(xxF??C. D.)2ln()(xxF??xxF3ln21)(?(2)若满足,则( ))(xf???Cxdxxf2sin)(??)(xfA. B.x2sin4x2cos2 C. D.x2sin4?x2cos2? (3)下列等式中( )是正确的A.???)()(xfdxxfB.Cefdxefxx????)()(C.Cxfdxxf????)()(D.???????Cxfdxxf x)1 (21)1 (22(4)若,则( )???CxFdxxf)()(??dxxxf)(cossinA. B.CxF??)(cosCxF?)(cosC. D.Cxf??)(sinCxF?)(sin(5)下列函数中, ( )不是的原函数。x2sinA. B.x2cos21?x2cos?C. D.x2sinx2cos?解(1)根据原函数的概念,验证所给函数是否满足。由于)(xFxxF21)(??A 中xxxx211 22)2(ln????B 中xxx21 41)21(32????C 中??xxx21 21)2ln(?????D 中xxx21 33 21)3ln21(????故正确选项为 D。 (2)根据不定积分的性质可知 ???????xCxdxxxf2cos2)2(sin))(()(7xxxf2sin4)2cos2()(?????于是故正确选择为C (3)根据不定积分的性质可凑微分的原则知 ????Cufduuf)()(其中是变量或可微函数,据此可知:uA 中应为(缺)????Cxfdxxf)()(CB 中应为(缺)Cefdxeefxxx????)()(xeC 中应为(不应没有)????Cxfdxxxf)(2)(x2D 中应为?????????)1 ()1 (21)1 (222xdxfdxxf xCxf???)1 (212正确选项应为 D(4)设则,于是,cosxu ?xdxdusin?? ??????????CxFCuFduufdx
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font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 white-space: background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 侵权处理办法参考版权提示一文:&/strong>&a href=&https://www.jinchutou.com/h-59.html& target=&_blank& textvalue=&https://www.jinchutou.com/h-59.html&>https://www.jinchutou.com/h-59.html&/a>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>&&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>1、如涉及内容过多,需要发送邮箱,请电子邮箱到,我们会及时处理;&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>2、系统一旦删除后,文档肯定是不能下载了的,但展示页面缓存需要一段时间才能清空,请耐心等待2-6小时;&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>3、请版权所有人(单位)提供最起码的证明(证明版权所有人),以便我们尽快查处上传人;&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>4、请文明对话,友好处理;&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>5、为了杜绝以前再有类似的侵权事情,可以为我们提供相应的关键字,便于管理人员添加到系统后能有效排除和抵制与您(贵单位)相关版权作品上传;&/span>&/p>&p>&span id=&_baidu_bookmark_end_5& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&span id=&_baidu_bookmark_end_3& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&/p>" /> &span style=&color: rgb(85, 85, 85); font-family: 微软雅黑; background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 为了维护合法,安定的网络环境,本着开放包容的心态共建共享金锄头文库平台,请各位上传人本着自律和责任心共享发布有价值的文档;本站客服对于上传人服务前,有以下几点可提前参阅:&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(85, 85, 85); font-family: 微软雅黑; background-color: rgb(255, 255, 255);&>1、本站上传会员收益见:&a href=&https://www.jinchutou.com/h-36.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/h-36.html&/a> &/span>&/p>&p>2、本站不会为任何刚注册的上传会员特批解除上传限制,普通会员每天可以上传50份,值班经值会审核其上传内容,请自行观察自己上传的文档哪些在“临时转换中”(审核通过),哪些在审核拒绝中,连续坚持几天都没有任何文档被拒的情况下,根据文档质量和发布分类是否正常等考量合格后值班经理会特批升级会员等级,相应的权益也同时上升。&/p>&p>3、上传人本着友好、合作、共建、共享的原则,请耐心仔细的查看《&a href=&https://www.jinchutou.com/i-143.html& target=&_blank&>违禁作品内容处理规则》;&/a>&a href=&https://www.jinchutou.com/i-143.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/i-143.html&/a>&/p>&p>4、上传人可以观注本站公告,查看其它被公示永久封禁的原因&a href=&https://www.jinchutou.com/news-1.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/news-1.html&/a>&/p>&p>5、其它问题可以参阅上传常见问题指引:&a href=&https://www.jinchutou.com/info-0-25-1.html& target=&_blank&>https://www.jinchutou.com/info-0-25-1.html&/a>&/p>" />

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