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《抛物线及其标准方程》教学设计
来源：柳州市第二中学&作者:&简璐&点击数&0&已有0人评论&& 21:24:23&
柳州市第二中学　简璐课题：抛物线及其标准方程教材：普通高中课程标准实验教科书&& 数学选修2-1（人教A版）&&&&& 高二年级&&&&一、教学目标和重点难点遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：教学目标：1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程；3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法和数形结合思想在数学中的应用；4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美.教学重点：1.掌握抛物线的定义和相关概念；2.&掌握抛物线的标准方程.教学难点：1.让学生从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义。2.选择恰当的坐标系，推导抛物线的方程，比较得出抛物线的标准方程。二、教学问题诊断本节课的第一个教学难点是从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义，对教学难点的突破我采取的策略是：1.类比学习椭圆，双曲线的过程和方法去学习抛物线。2.学生在抽象概括抛物线定义时，容易忽略抛物线定义中“点F不在直线上”这个条件，为了加深学生对这个条件的理解，教学中通过师生互动来引导学生逐步完善抛物线的定义，并以小组合作交流的方式讨论这个条件的必要性。本节课的第二个教学难点是对比得到抛物线的标准方程。我将依据学生的认知习惯，激励学生分小组活动——推导抛物线的方程，采取如下策略：1.坐标系的建立——教师不作引导，由学生自己选择建系方式，再将学生的结果用投影仪展示出来，并进行归纳.2.求抛物线的方程——全班学生分工，求出不同建系方式下的抛物线方程通过比较，明确第2种建系方式所得的抛物线方程最简洁，并把这个方程叫做抛物线的标准方程.3.明确抛物线标准方程的四种形式——给出问题5，先让学生独立思考，再组织学生以小组的方式进行讨论，以加深学生对抛物线标准方程的理解。三、教学过程教学过程设计说明一、课堂导入1.生活中的抛物线：（1）投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；（2）广西柳州文惠桥的桥拱的形状是抛物线；（3）卫星天线是根据抛物线的原理制造的.2.数学中的抛物线：一元二次函数的图像是一条抛物线.& & & &&提出问题：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？&&通过生活中的抛物线使学生认识到学习抛物线的必要性。&通过问题引导引发学生的认知冲突，激发学生的学习欲望。二、抛物线的定义1.抛物线的画法（1）给出作图步骤.第1步：取定点F和一条不过点F的定直线l；第2步：在直线l上任取一点H，过H作；第3步：作线段FH的垂直平分线m，直线m与MH交于点M。（2）用几何画板展示作图过程.问题1：拖动点H，观察点M的轨迹，点M满足的几何条件是什么？（3）结论动点M满足的几何条件是：动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离。2.抛物线的定义问题2：你能给抛物线下个定义吗？抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F）的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。问题3：为什么定点F不能在定直线l上？若点F在直线l上，则轨迹为定点F垂直于直线l的直线.3.抛物线的相关概念：定点F：抛物线的焦点.定直线l:抛物线的准线.设焦点到准线的距离.（以上归纳为“三定”，方便记忆）抛物线的对称轴与抛物线的交点O：抛物线的顶点4.抛物线的定义的应用.&观察下图，过点F并且和直线l相切的圆的圆心所形成的轨迹是什么？并做出合理解释。（用几何画板演示）&&抛物线的画法比较复杂，让学生自己画抛物线，操作起来很困难，学生很难完成.因此我运用几何画板来演示画抛物线的过程.&&&&&&加深学生对抛物线定义中的条件“l不过F”的理解.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&目的是对抛物线定义的应用，同时也给出了课堂导入时所给的问题的一种解决方法.三、抛物线的方程1.方程推导（1）建系请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系。（2）推导问题4：以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？请说明理由，并且推导出抛物线的方程。&& &提示：设，先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方程。&&& 三种建系方式下的抛物线方程分别为：，，.不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好。2.抛物线的标准方程：P：焦点到准线的距离.3.问题探究问题5：抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究后填写下表.具体要求：以顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程，学生先独立思考，再小组合作交流，完成下列表格。教材只给出了一种建系方式，但学生在建系时可能不只一种.为了体现学生的自主地位，这里先让学生建系，教师再汇总学生的结果，并用投影仪展示.&&通过问题4，让学生分工求出三种建系下的方程，为标准方程的理解奠定基础。部分学生在推导方程时存在困难，故给出提示.&&&&&&&&&&问题5是教材的探究，目的是让学生认识到抛物线的标准方程一共四种形式，加深学生对抛物线标准方程的理解.大部分学生解决问题5所用的方法都是图像变换法。老师可以从代数方程的角度加以解释，予与补充。&&& 抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴的抛物线的方程，一共有四种形式。问题6：能否将问题5的表格归纳一下，以便快速准确的写出抛物线的方程、焦点、准线，并且画出简图。1.定轴定开口。对称轴为（方程中一次项所对应的）坐标轴；x带平方，开口朝上（一次项系数为+）下（一次项系数为-）；y带平方，开口朝左（一次项系数为-）右（一次项系数为+）。2.定焦点定准线。焦点的非零坐标是一次项系数的1/4；准线与对称轴垂直且垂足与焦点关于原点对称。&4.例题分析例1.求出下列抛物线的和准线方程.(1）已知抛物线的方程,则它的焦点坐标是&&&&&&
，&&&&& 准线方程是&&&&&&&&&&&&&&&
；（2）已知抛物线的准线是，则它的焦点坐标是&&&&&& & ，抛物线方程是&&&&&&&&&&&&&&&& ；&&&&& （3）已知抛物线的焦点是，则它的焦点坐标是&&&&&& &，抛物线方程是&&&&&&&& &&&&&&&&&&。&拓展问题：你能说明二次函数的图像为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。&例2：在抛物线上求一点P，使P到焦点F与到点A（3,2）的距离之和最小。&变式题：在抛物线上求一点P，&&&&&& （1）使P到焦点F与到点A（3,3）的距离之和最小。&&&&&&& （2）使P到y轴与到点A（3,3）的距离之和最小，并求最小值。&&&&&& &&&&& &引导学生观察规律，归纳总结，为后续学习打下基础。&&&&&&&&&例1的3个小题包含了抛物线标准方程的四种形式.采用小组领任务的形式开展课堂小竞赛。&&&&&例1的拓展问题提供了解决课前问题的一种方法。&&&&&&例2进一步熟练应用抛物线的定义，并且应用“以直代曲”的思想，灵活转化，解决距离之和最小值问题。&&&&以思维导图的形式展现本节课的收获。培养学生梳理总结、建构知识体系的能力。&五、课后思考和作业如何用抛物线的定义来证明（1）二次函数的图像是一条抛物线？（2）二次函数的图像是一条抛物线？作业：课本P73，习题2.4 A组1，2充分利用课本资源，引导学生自主学习课本“探索与发现”的内容（课本P74）。六、课后延伸（1）抛物线型桥梁课堂通过图片展示赵州桥，多个现代桥梁等抛物线型桥梁。提出问题：抛物线型拱桥有哪些特点？有哪些优点？在桥梁的设计上利用了抛物线的哪些特征？（2）抛物面与太阳灶.提出问题：我们知道一只小灯泡发出的光会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，适当调节，能射出一束较强的平行光，这是抛物面的光学性质决定的，人们还用这个原理做出了太阳灶，它利用了抛物线的哪些特征？&&&& 对此感兴趣或者学有余力的学生，可以在课后收集相关资料进行学习，并作进一步的探讨。&&&&& 感受抛物线的广泛应用和文化价值，激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情。
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抛物线标准方程推导~抛物线标准方程中,x^2=2py,x^2=-2py的推导
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推导x^2=2py：设点M(x,y)到直线y=-p/2的距离,和到点F(0,p/2)的距离相等.点M(x,y)到直线y=-p/2的距离=[y+p/2],[MF]=根号[x^2+(y-p/2)^2].[y+p/2]^2=x^2+(y-p/2)^2
y^2+py+p^2/4=x^2+y^2-py+p^2/4
x^2=2py推导x^2=-2py：设点M(x,y)到直线y=p/2的距离,和到点F(0,-p/2)的距离相等.点M(x,y)到直线y=p/2的距离=[y-p/2],[MF]=根号[x^2+(y+p/2)^2].[y-p/2]^2=x^2+(y+p/2)^2
y^2-py+p^2/4=x^2+y^2+py+p^2/4
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由抛物线定义去推。平面内到定直线和直线外一定点距离相等的点的集合。设点的坐标，直线的方程，当然都要从简，化简求出轨迹即是。
扫描下载二维码《抛物线及其标准方程》说课稿
今天我要跟大家共同探讨的是《抛物线及其标准方程》的教学设计。
一．教材分析 ：教材前后联系，地位与作用：
抛物线及其标准方程是普通高中课程标准实验教科书（人教&&
版）选修2-1中的第二章第五节的内容,
是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，有着广泛的应用，也是学习微积分的基础。根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础,有着承上启下的作用。因此，它是圆锥曲线这章的重要知识点。
二、教学目标
&&&&&&&&&&&&&根据课程标准和学生发展的需要，我确定本节课的教学目标如下：
1.知识目标
（1）掌握抛物线定义，明确焦点和准线的意义；
（2）掌握抛物线标准方程；会推导抛物线标准方程，掌握Ｐ的几何意义；
（3）掌握四种形式的标准方程的数形特点，并会简单的应用。
2.&能力目标
（1）培养学生提出问题、主动研究、解决问题的能力。
（2）培养学生在研究过程中相互协作，人际交往的能力。
&&3.情感目标
培养学生热于探索，勇于创新的精神，和学习数学的热情。
三、教学重点，难点
根据教学目标的确定，并结合学生的认知水平，我确定本节课的重点和难点如下：
重点：（1）抛物线的定义及焦点、准线；
&&&&&（2）抛物线的四种标准方程和p的几何意义。
&&&&&&&&难点：在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系。
四、学生情况分析
优点：已经学习了椭圆、双曲线，有了一定的学习基础。
缺点：基础薄弱；逻辑思维能力、抽象能力较差。&&
五．教法与学法：
1、教学方法的选择
利用多媒体辅助教学采用启发诱导式,在具体问题的分析、引导过程中，依据建构主义教学原理
,通过类比、对比、和归纳，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去。具体有：
1、实验探索法&&&&&&&&&&&
2、类比法&&&&&&&&&&&&
2、学法指导
&&指导学生学会运用实验、观察、分析、类比等方法，探索问题、分析问题；学会用数形结合、分类讨论、归纳类比的思想方法思考问题、解决问题。让学生亲历知识的形成过程，自主参与，获得体验，学会探究。
五．教学过程
教学方法和设计意图
我们知道，二次函数 的图像是一条抛物线，除此以外，你对抛物线还有哪些认识？
让学生举出生活中与抛物线有关的例子，让体会到数学起源于生活，激发学生的学习兴趣。然后计算机辅助教学向学生展示熟悉的例子
（一）抛物线的定义
1.复习椭圆，双曲线的第二定义，提出：若
e=1时，动点的运动轨迹会是什么图形呢？
2.用几何画板画图，如图2.4—1，点F是定点，
是定直线。H是上的任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线m交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？
学生经过观察可以发现，点M随H运动的过程中，始终有 ，即点M与定点F和定直线l的距离相等
2.请你给出抛物线的定义
注：定直线l不经过点F。
（二）抛物线的标准方程
1.求曲线方程的一般步骤是什么？
2.你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简单？
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&F
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
3.请你推导出抛物线的方程。
4.标准方程 中P的几何意义是什么？
5. 如果抛物线的开口方向向下，或向左，或向右时，又如何建立坐标系，使推导出来的方程最简单呢？
6.填写下表
【注意】将图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆，通过四种标准方程对比，总结出
①方程的一次项决定焦点的位置。
②一次项系数的符号决定开口方向。
迁移引导，设置悬念
探索性问题可以提高学生的求知欲，鼓励学生积极参与，积极思考，发挥学生的学习主体作用.
演示动画前，先不提抛物线，把重点放在介绍这种画法中动点M所满足的条件——到定点F的距离等于到定直线 的距离。
链接几何画板课件，在美观、动静结合中展现抛物线使学生对抛物线有较深刻的认识。
先由学生口述定义，如不完整，教师进行补充。并让学生注意到：直线l不经过点F，使学生加深对定义的理解
使学生了经历知识的形成过程，对抛物线的认识由感性认识上升到理性认识。
为推导抛物线的方程做准备。
由学生讨论建系方法，教师巡视，总结出不同的方法（大致有三种建系方法）.
教师引导学生联系二次函数，建立适当的坐标系。从而突破本节课的难点——建立适当的坐标系来推导抛物线的方程。
引导学生结合抛物线的定义，利用坐标法推导抛物线的标准方程。
强调p的几何意义，突出了本节课的重点。
将学生分成三个小组，分别其中一种情况的抛物线的方程。
让学生通过观察，类比，推导抛物线的其他形式的标准方程，深化对坐标法的认识。
通过填表，使本节的知识系统化。
填表后，教师引导学生将抛物线的位置特征和方程形式结合记忆，使学生更好的掌握本节的重点内容。
例1.（1）抛物线 x2=-7ｙ的焦点到准线的距离等于多少?
（2）已知抛物线的标准方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程.
（3）已知抛物线的焦点坐标是 ，求它的标准方程.
（1）、 已知抛物线上一点Ａ到焦点的距离等于6，那么点Ａ到准线的距离等于多少?
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（2）、已知抛物线上一点Ａ(ｍ，-3)到焦点的距离等于5，如果ｍ≠0，求抛物线标准方程。
（3）、已知抛物线的焦点Ｆ(-3，0)，求抛物线标准方程。
思考：二次函数 &(a
≠0)的图象为一条抛物线，试指出它的开口方向、焦点坐标和准线方程.
例2.一种卫星接收天线的轴截面。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
通过例1练习p的几何意义
例2中的题目不难，由学生自学教材，培养学生的自学能力。
学生在黑板上板演后，教师点评。通过练习及时了解学生的学习情况。
通过例1和反馈练习，巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉相关公式。引导学生注意图形在解题过程中的作用，渗透数形结合的思想。
与二次函数联系起来，使学生有一种“顿悟”的感觉，把新知识化归到原有的知识结构中。
体会抛物线在生活中的应用，数学是起源于生活又服务于生活的。
引导学生从以下几点进行小结：
（1）抛物线的定义
（2）抛物线的标准方程的四种形式以及p的几何意义
（3）运用了哪些数学思想方法
培养学生归纳能力，同时加深学生对本节知识的理解和记忆。
必做题：课本P73 A组1，3，2
选做题：抛物线y=ax2—1的焦点到准线的距离为1，求a的值。
作业的安排是为了巩固所学知识，提高学生对知识的运用能力的。分为必做题，选做题，这样，可以让不同学生有不同的发展。
四．板书设计
2.4.1抛物线及其标准方程
一．定义&&&&&&&&&&&&&
二、抛物线标准方程的推导&&&&&&&&&
四．四种标准方程的形式
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　　抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
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