为什么1加1等于2，这是一个脑筋急转弯
全部答案（共1个回答）
1。这是意大利数学家皮亚诺在1889年提出的自然数公理，建立的自然数序数理论的规定。有兴趣可查看初等数学研究方面的书。
2。哥德巴赫猜想
　　我们容易得出：
　...
呵呵，都可以啊
版本一： 老师问小明1+1等于几，小明说不知道，老师让他回家问家长。 小明回到家，问妈妈，妈妈在打麻将。 小明问妈妈1+1等于几，妈妈没听小明说话，说：“二饼！...
一加一等于二：按序数性质是一二三四…，首先把一看成一个单位，在序数上是逐加一个单位而形成，由于二是在序数的第二，是两个单位“一”组成；所以一加一等于二。
X是为知数...
我也不知道等于多少...
答: 肯定是啊,但是哥哥也有了小家庭了,他肯定要以自己的家庭为重了,你自己也尽快长大啊!
答: 如果是顺产,胎儿从阴道口生出来,剖腹产就是肚子上开个口子医生把胎儿抱出来。
答: 多喝米汤,多吃猪蹄和喝猪蹄汤,多吃肉,让宝宝多吸吸,到时候奶水就多了,肚子的肉就消失了,以后在带带孩子也会瘦的
海鸟的种类约350种，其中大洋性海鸟约150种。比较著名的海鸟有信天翁、海燕、海鸥、鹈鹕、鸬鹚、鲣鸟、军舰鸟等。海鸟终日生活在海洋上，饥餐鱼虾，渴饮海水。海鸟食量大，一只海鸥一天要吃6000只磷虾，一只鹈鹕一天能吃(2～2.5)kg鱼。在秘鲁海域，上千万只海鸟每年要消耗?鱼400×104t，它们对渔业有一定的危害，但鸟粪是极好的天然肥料。中国南海著名的金丝燕，用唾液等作成的巢被称为燕窝，是上等的营养补品。
根本就没有正式的国际驾照，如果到国外开车，正式的程序：
1、到公证处办理驾照的公证书，可以要求英文或者法文译本（看看到哪个国家而定）；
2、拿公证书到外交部的领事司指定的地点办理“领事认证”，可以登录外交部网站查询，北京有4、5家代办的，在外交部南街的京华豪园2楼或者中旅都可以。
3、认证后在公证书上面贴一个大标志；
4、有的国家还要到大使馆或者领事馆盖章一下。
偶前几天刚刚办过。
无锡至少有两所正规大学：
1、江南大学
2、南京农业大学无锡渔业学院。由于它不直接在无锡召本科生，所以许多人不知道这个学校：它位于山水东[西？]路九号，拥有约20位正教授/研究员，80位副教授/副研究员，和多位首席科学家。去年还有中国工程院的院士一名。
1、江南大学坐落于太湖之滨的江南名城——江苏省无锡市，是教育部直属的国家“211工程”重点建设高校。
　　享有“轻工高等教育明珠”美誉的江南大学，有着久远的历史渊源和深厚的文化底蕴。在1902年创建的三江师范学堂基础上发展起来的中央大学（现南京大学）是江南大学办学的前身。1952年全国高校院系调整时，南京大学食品工业系、浙江大学农化系、江南大学食品工业系以及复旦大学、武汉大学的有关系科合并组建成南京工学院（现东南大学）食品工业系。1958年该系整建制东迁无锡，成立无锡轻工业学院，1995年更名为无锡轻工大学，1998年由隶属中国轻工总会划转直属教育部。2001年1月，经教育部批准，无锡轻工大学、江南学院、无锡教育学院合并组建江南大学。
　　学校学科涉及经济学、法学、教育学、文学、理学、工学、农学、医学、管理学等九大门类，设有生物工程学院、食品学院、纺织服装学院、化学与材料工程学院、设计学院、机械工程学院、通信与控制工程学院、信息工程学院、商学院、法政学院、文学院、师范学院、理学院、外国语学院、土木工程系、医学系、艺术系、体育系等18个院（系），共56个本科专业，全日制在校本科学生18500余人。成人学历教育在籍学生5000余人，网络学历教育在籍学生1万余人。还有经教育部批准的中外合作办学的莱姆顿学院及与社会力量合作办学的江南大学太湖学院。
　　学校设有轻工技术与工程、食品科学与工程等2个博士后流动站和10个博士点，覆盖发酵工程等16个二级博士学科专业和39个硕士学科专业，基本包涵了轻工、纺织、食品的全部领域。现有在校各类硕士研究生、博士研究生2500余人。学校拥有4个国家级和部省级重点学科，建有教育部、国家计委批准的“国家生命科学与技术人才培养基地”，培养本硕连读、本硕博连读的高层次人才。食品科学、发酵工程等2个国家重点学科在国内同类学科中具有独特优势，实力雄厚，处于领先地位，在国际上有较大影响。经近50年的建设与发展，江南大学已成为一所规模结构较为合理，教学质量优异，科研水平上乘，社会服务盛誉，各方面均得到社会公认，在国内外具有较高知名度的多科性大学。
　　学校师资力量雄厚，现有专任教师1519名，其中中国工程院院士3名（2名为双聘院士），教授160名，副教授456名。由300多名博士生导师、硕士生导师组成的学术带头群体，为高层次人才培养、科技创新和社会服务奠定了厚实的基础。学校始终坚持社会主义办学方向，坚持以育人为本，把为经济建设和社会发展培养高质量的人才作为学校的根本任务。经过多年努力，形成了具有自身特点的人才培养体系和教学质量保障体系，做到人才培养与市场需求紧密结合，培养高素质创新型的专门人才。学校注重学生综合素质、基础知识和实践能力的培养，如在本科教学中，将相对狭窄的专业对口教育转到本科通识加特色教育；推进多样化的人才培养方式，学生通过辅修、第二专业、第二学位等途径培养复合型人才；让学生早期介入科研活动，从科研实践中感受和理解知识产生和发展过程，培养学生科学素养、科学精神、创新能力。学校十分重视校园精神文明建设。一年一度的江南之春文化艺术节、科技节、金秋体育节等活动精彩纷呈，暑期社会实践、校园文化生活丰富多彩。在大学生数学建模竞赛、数学竞赛、电子制作竞赛、机器人竞赛、艺术设计竞赛等全国性比赛中，学生连年获得大奖。建校以来，学校已为国家输送了数万名毕业生，许多毕业生已成为各条战线的科技精英和领导骨干。
　　作为我国轻工、食品、生物技术高科技的摇篮与依托单位之一，“九五”期间，学校承担并完成了大批国家重大科技攻关项目及省部级应用基础研究课题，其中有70多项研究成果填补了国内空白，并达到了国际先进水平，30多项科研成果荣获国家和省级科技进步奖。“十五”以来，学校科研实力进一步增强，科技项目和科技成果逐年增多。2003年取得国家、部省级以上科技成果奖励20项，其中有国家科学技术发明二等奖（一等奖空缺）一项，中国石油和化学工业科学技术一等奖一项等。2004年，科技总经费9000多万元，获准立项的纵向科研项目97项，横向科研270多项；鉴定或验收科技成果86项，其中30%以上成果达到国际领先或国际先进水平。全校教职工共发表各类论文2700多篇，出版专著130多部，被国际三大检索收录论文143篇。学校承担的国家“十五”科技攻关“农产品深加工”、“发酵工程关键技术”课题全面通过结题验收并进入后期滚动；国家自然科学基金项目获资助13项；获部省级以上科技成果奖励8项，其中1项科研成果获得江苏省科技进步一等奖；全年申请专利356项，学校专利申请量位居全国高校第7名、江苏省第1名；人文社科领域承担的项目、层次、经费等方面都有较大增长。
　　学校重视面向经济建设主战场，加快科技创新，推进科技成果产业化，建有科技部、国家计委批准的“发酵技术国家工程研究中心”等10个国家级、省部级研究中心、实验室。建立了由海尔集团、茅台酒集团、青岛啤酒集团、北京燕京啤酒集团、绍兴黄酒集团、江苏小天鹅集团等100多家企事业单位加盟的董事会，注重学校与企业、社会之间的联系，促进了产学研的结合和为社会各方面的服务。各院（系）还建有二级董事会，共有400余家企事业单位参加。学校十分重视发挥在轻工、食品、艺术设计、纺织、环境、化工、生物医药等方面的科技优势，积极为全国轻工纺织行业的科技进步、产品开发、人才知识更新服务，积极参与国家西部大开发和为江苏省沿江发展战略、苏北发展战略及海上苏东发展战略服务，积极适应无锡市支柱产业的创新发展、科技和人才需求，在科研开发、技术服务、人才培养等方面与企业开展全面合作，推动企业的技术改造和产品更新换代。与地方政府合资建立的省级大学科技园，成为高科技研究项目的重要孵化基地，为国民经济和社会发展作出贡献。由于学校的优质服务，中国电信、丹尼斯克（中国）有限公司、嘉里粮油（深圳）商务拓展有限公司、东海粮油工业（张家港）有限公司、国民淀粉上海化学有限公司、三得利（中国）投资有限公司、青岛啤酒集团、重庆啤酒集团、杰能科生物工程有限公司、广州天赐高新材料科技有限公司、国际特品（ISP）（香港）有限公司、东洋之花化妆品有限公司等大型企业都在学校设立各类奖学、奖教金，每年发放的奖学金总额达600多万元。
　　学校与国内外的教学科研交流合作频繁，是教育部批准的首批接受外国留学生和港澳台学生的高校。自六十年代开始，就接受和培养来自世界各国的留学生，现有本科、硕士、博士等各级各类留学生260余人。学校已与20多个国家和地区的44所大学建立了紧密的校际交流关系，并与美国、加拿大、日本等近20个国家的高校、机构开展办学、科研等方面的合作。目前正在执行的校际合作与交流项目有17个，其中与澳大利亚、英国一流大学之间的“2+2”学分互认合作项目受到学生的欢迎。学校聘请了50多位国外著名的学者和教授担任学校的名誉教授或客座教授，每年举办国际及双边学术交流会，已逐步成为轻纺、食品、艺术设计等领域的国际交流中心。
　　学校图书馆现有藏书152.76万余册、电子图书37.40万册，中外文期刊3100余种，建有教育部科技查新工作站。学校编辑出版自然科学、人文社会科学、食品与生物技术、教育科学等4种学报及《冷饮与速冻食品工业》和《电池工业》杂志，向国内外公开发行。
　　在教育部、省、市政府的大力支持下，地处无锡蠡湖新城、太湖之畔，占地3100多亩的学校新校区已建成面积36万平方米。新校区以“生态校园•曲水流觞”为设计理念，融青瓦白墙的江南建筑风格与小溪、树林、草坪的多层次园林空间为一体，展现绿色、水乡、文化韵味。设施先进、功能齐全、环境优美的现代化校园，为莘莘学子学习研究提供了良好的条件。
　　钟灵毓秀的江南山水，造就了江南校园开拓进取的学术氛围；蕴涵深厚的人文传统，赋予了江南学子锐意求新的创造精神。迈入新世纪，学校迎来了改革、发展的良好机遇，“211工程”将重点建设和发展工业生物技术、食品科学工程和安全、工业设计创新系统、纤维制品现代加工技术、中小企业管理与发展、轻工过程信息化科学与工程等6个优势和特色明显的学科群，进一步提升学校在轻纺、食品等学科领域的优势地位，使学校的整体办学水平和人才培养质量得到全方位的提高。
　　积百载跬步，创世纪辉煌。江南大学提出的发展总体目标是，经过五至十年时间的努力，把学校建成以工为主、理工结合、工理文交融，科技教育与人文教育协调发展，具有鲜明特色、先进水平，在国内有较大影响的教学研究型开放式多科性大学；通过不断创特色、上水平、求发展、增实力，力争在本世纪中叶，把学校建成国内一流、国际有影响、部分学科达到国际先进水平的综合性大学。
2、南京农业大学无锡渔业学院是南京农业大学与中国水产科学研究院淡水渔业研究中心，在多年联合办学的基础上于1993年7月成立的，她依托南京农业大学雄厚的基础教学条件，和淡水渔业研究中心优越的专业教学条件，为我国及国际水产事业的发展培养了一大批优秀的专业技术人员和管理人才。
学院的宗旨是以推进我国和发展中国家的渔业科学和渔业生产，使渔业产品在当今人类改革食物结构，提高营养水平，创造经济财富方面起重要作用。通过努力，使该院成为一个国际性的渔业科学教育和研究中心。
学院座落在风景秀丽的太湖之滨，中国著名的旅游城市－－无锡的西南角上，与中央电视台太湖影视基地相邻，离市区仅10公里之遥，依山傍水，环境十分幽美，交通便利，有1路和820路公交车直达。学院占地面积26公顷，建筑面积达35000多平方米。
南京农业大学从1984年开始和淡水渔业研究中心联合办学，设淡水渔业专业（专科）。学院于1994年新开设了“淡水渔业”本科专业。现设水产养殖本、专科专业，水产养殖博士点和硕士点，每年招收博士生、硕士、本科、专科各种层次。
该院长期招收外国留学生，为亚太地区名国培养淡水渔业的技术人才，今后还将进一步提高留学生的办学层次，招收硕士研究生，在招收留学生方面曾受到联合国FAO和UNDP、亚洲水产养殖中心网（NACA）的大力支持。
设有以中国工程院院士夏德全研究员为主的淡水鱼类遗传育种生物技术研究室、营养与饲料、特种水产养殖室、水产品病害研究室、渔业环境保护、渔业经济与信息中心、内陆水域增养殖等7个教研室。学院现有教职员工340名，其中具中高级职称的教师有80名。有突出贡献的农业部中青年专家和享受政府特殊津贴的18人。现有博士3人，硕士25人。
在科学研究方面，先后承担和圆满完成了国家自然科学基金、“八六三”、国家攻关和省、部级课题190多项，获得各类奖励成果85项，其中国家科技进步二等奖1项，国家科技进步三等奖4项。92年获农业部农业机构综合科研能力奖。
在多年的联合办学的实践中，南京农业大学无锡渔业学院的领导非常重视提高学院的教学质量，办学条件逐年得到改善，教学管理趋于完善，教风好、学风正，经过多年的努力，学院的各项办学条件已得到改善，教学手段已基本实现了现代化，配备了语音室、电脑房和先进的电教中心。
学院非常重视发展工作。依托淡水渔业研究中心，综合利用经贸部TCDC培训项目的人力、财力、物力。扎实提高教学质量，改善教学条件，学院领导在经费许可的情况下，投入大量的资金，进行教学设施的改造和教学仪器、设备的添置，积极改善学院的办学备件。建院六年来，学院不断改进教学设施，提高教学质量，目前已拥有教学楼、实验室、图书馆、学生宿舍楼、语音室、电脑房、活动健身房、学生食堂、足球场、蓝球场、大客车、教学实习基地等设施，为国家培养水产专业人才创造了较好的条件。
考虑是由于天气比较干燥和身体上火导致的，建议不要吃香辣和煎炸的食物，多喝水，多吃点水果，不能吃牛肉和海鱼。可以服用（穿心莲片，维生素b2和b6）。也可以服用一些中药，如清热解毒的。
确实没有偿还能力的，应当与贷款机构进行协商，宽展还款期间或者分期归还； 如果贷款机构起诉到法院胜诉之后，在履行期未履行法院判决，会申请法院强制执行； 法院在受理强制执行时，会依法查询贷款人名下的房产、车辆、证券和存款；贷款人名下没有可供执行的财产而又拒绝履行法院的生效判决，则有逾期还款等负面信息记录在个人的信用报告中并被限制高消费及出入境，甚至有可能会被司法拘留。
第一步：教育引导
不同年龄阶段的孩子“吮指癖”的原因不尽相同，但于力认为，如果没有什么异常的症状，应该以教育引导为首要方式，并注意经常帮孩子洗手，以防细菌入侵引起胃肠道感染。
第二步：转移注意力
比起严厉指责、打骂，转移注意力是一种明智的做法。比如，多让孩子进行动手游戏，让他双手都不得闲，或者用其他的玩具吸引他，还可以多带孩子出去游玩，让他在五彩缤纷的世界里获得知识，增长见识，逐渐忘记原来的坏习惯。对于小婴儿，还可以做个小布手套，或者用纱布缠住手指，直接防止他吃手。但是，不主张给孩子手指上“涂味”，比如黄连水、辣椒水等，以免影响孩子的胃口，黄连有清热解毒的功效，吃多了还可导致腹泻、呕吐。
合肥政务区网络广告推广网络推广哪家公司比较好 一套能在互联网上跑业务的系统，被网络营销专家赞为目前最 有效的网络推广方式！
1、搜索引擎营销：分两种SEO和PPC，即搜索引擎优化，是通过对网站结构、高质量的网站主题内容、丰富而有价值的相关性外部链接进行优化而使网站为用户及搜索引擎更加友好，以获得在搜索引擎上的优势排名为网站引入流量。
良工拥有十多位资深制冷维修工程师，十二年生产与制造经验，技术力量雄厚，配有先进的测试仪器，建有系列低温测试设备，备有充足的零部件，包括大量品牌的压缩机，冷凝器，蒸发器，水泵，膨胀阀等备品库，能为客户提供迅捷，优质的工业冷水机及模温机维修和保养。
楼主，龙德教育就挺好的，你可以去试试，我们家孩子一直在龙德教育补习的，我觉得还不错。
成人可以学爵士舞。不过对柔软度的拒绝比较大。　　不论跳什么舞，如果要跳得美，身体的柔软度必须要好，否则无法充分发挥出理应的线条美感，爵士舞也不值得注意。在展开暖身的弯曲动作必须注意，不适合在身体肌肉未几乎和暖前用弹振形式来做弯曲，否则更容易弄巧反拙，骨折肌肉。用静态方式弯曲较安全，不过也较必须耐性。柔软度的锻炼动作之幅度更不该超过疼痛的地步，肌肉有向上的感觉即可，动作(角度)保持的时间可由10馀秒至30-40秒平均，时间愈长对肌肉及关节附近的联结的组织之负荷也愈高。
正在加载...
Copyright &
Corporation, All Rights Reserved
确定举报此问题
举报原因(必选)：
广告或垃圾信息
激进时政或意识形态话题
不雅词句或人身攻击
侵犯他人隐私
其它违法和不良信息
报告，这不是个问题
报告原因(必选)：
这不是个问题
这个问题分类似乎错了
这个不是我熟悉的地区
相关问答：123456789101112131415扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
一加一等于多少为什么等于二
作业帮用户
扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
1+1除等于2外,在不同的情况下有不同的答案：1、在二进制时.1+1=10；2、布尔代数时.1+1=1；3、作为代表时.如哥德巴赫猜想；4、单位不同时.如1小时加1分等于61分；5、在急转弯时.如1加1,答案是11；6、特殊情况下.如一个男人加一个孕妇等于三个人；7、实际需要时.如一尺布加一斤米等于一袋米；8、智力测验时.如一滴水加一滴水等于一滴水；9、搞笑回答时.如一只猫加一只老鼠等于一只吃饱了的猫；10、在猜字谜时.如一加1,答案是十；一加一,答案是王、丰、卅等；一加一等于,答案是田、由、甲、申等； 11、.因为这是整个数学的基础.有了1+1=2,才能有1+2=3,1+3=4,.才有了加法运算,有了加法的逆运算减法,相同加数的简便运算乘法,乘法的逆运算除法.有了四则运算,才有了小数,分数,以至于整个算术体系.才能在此基础上引入字母.有了代数后,才能有三角,解析几何以至于数学分析..当然1加1也可以不等于二.不过那就不属于我们现在这个数学的范畴了.
为您推荐：
其他类似问题
算对的时候
设：A+B=C (2A-A)+(2B-B)=2C-C 2A+2B-2C=A+B-C 2(A+B-C)=A+B-C 2=1 1+1=1+2=3 1+1=3
扫描下载二维码豆丁微信公众号
君，已阅读到文档的结尾了呢~~
怎么证明1加1等于2
扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
怎么证明1加1等于2
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='http://www.docin.com/DocinViewer--144.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口您好，欢迎来到新东方
热门搜索：
按拼音检索:
歇后语是我国人民在生活实践中创造的一种特殊语言形式。它一般由两个部分构成，前半截是形象的比喻， 像谜面，后半截是解释、说明，像谜底，十分自然贴切。在一定的语言环境中，通常说出前半截，"歇"去后半截， 就可以领会和猜想出它的本意所以称它为歇后语。
每日一逗：
一加一等于二
相关歇后语
今日热搜歇后语
热门课程推荐
热门歇后语
歇后语排行榜
最近收录的歇后语如何证明一加一等于二？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
如何证明一加一等于二？
本文作者:特斯拉的信徒
有这个必要吗？
如果你期待这里有哥德巴赫猜想的完整证明，我只能说哥们儿你失望了。我说的 1 和 2 可都是纯粹的自然数。你开始不屑一顾了吧：1 ＋ 1 ＝ 2 不是显然的吗？可是你是否考虑过，以前学几何的时候，我们总是从一些公理开始，逐渐推出需要的结论。然而，代数的学习却不是这样。我们有的是加法表和乘法表，而这些表早已成为计算的直觉刻在脑子里。一个靠直觉构建起来的体系似乎不太让人觉得可信。如果连 1 + 1 = 2 这样简单的算式都无法证明，那么所有经由此类运算得到的结果都是不可信的，至少是不科学的。看来，我们需要挖掘一些比 1 + 1 = 2 更基本的东西。
什么是 1，什么是 2？
在证明之前，首先我们要明白什么是自然数，什么是加法。类似于几何的公理化理论体系，我们需要提出几个公理，然后据此定义自然数，进而定义加法。
先来定义自然数。根据自然数的意义（也就是人类平时数数时对自然数的运用方法），它应该是从一个数开始，一直往上数，而且想数几个就可以数几个（也就是自然数有无限个）。据此我们得到以下公理：
公理 1. 0 是一个自然数。
公理 2. 如果 n 是自然数，则 S(n) 也是自然数。
在这里， S(n) 就代表 n 的“后继”，也就是 n 往上再数一个。没错，我们平时所说的 0, 1, 2, 3, ??，无非就是表示上述这种叫做“自然数”的数学对象的符号而已。我们用符号“0”来表示最初的那个自然数，用“1”来表示 0 的后继 S(0)，而 1 的后继 S(1) 则用符号“2”来表示，等等。
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1, 2, 3 构成的数字系统，其中 S(3) = 0（即 3 的后一个数变回 0）。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：
公理 3. 0 不是任何一个数的后继。
但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中 S(3) = 3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条：
公理 4. 若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m，则 S(n) ≠ S(m)。
也就是说，互不相同的两个自然数，它们各自的后继也是两个不同的数。这样一来，上面说到的反例就可以排除了，因为 3 不可能既是 2 的后继，也是 3 的后继。
最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.5），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。
公理 5. （数学归纳法）设 P(n) 为关于自然数 n 的一个性质。如果 P(0) 正确，
且假设 P(n) 正确，则 P(S(n)) 亦真实。那么 P(n) 对一切自然数 n 都正确。
有了这以上的努力，我们就可以这样定义自然数系了：存在一个自然数系 N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理 1 - 5。
什么是加法？
我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：
1. 对于任意自然数 m，0 + m = m；
2. 对于任意自然数 m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。
有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。
如何证明一加一等于二？
至此，我们可以证明 1 + 1 = 2 了：
= S(0) + 1
（根据自然数的公理）
= S(0 + 1)
（根据加法定义 2）
（根据加法定义 1）
（根据自然数的公理）
事实上，根据加法的定义，我们不但可以证明每一个加法等式，还可以进一步证明自然数的加法结合律和交换率等一般规律。类似于加法的定义，还可以定义自然数的乘法并据此证明乘法的结合律、交换率和分配率等。如果大家对这方面问题感兴趣的话，可以看看参考文献[1].
看到这里，不知道你会不会有一种如释重负的感觉。原来，我们所知道的关于数学的一切，关于人类认识世界的一切，都不是建立在直觉之上，而是在接受几个公理的条件下通过理性的方法推导出来的。同时或许你还会有一种自由的感觉：正如你可以不接受欧几里得的公理而构造自己的几何体系一样，你也可以不接受上面的几个公理而建立自己的一套关于数的体系。你可以建立无数种奇奇怪怪的体系。不过如果是为了解释自然的话，至少从目前的角度看，现有的这套还是更好一些。
一些历史背景
上面所说的公理 1 - 5 便是著名的皮亚诺公理，它是意大利数学家皮亚诺在 1889 年发表的。虽然描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化，但这套体系本身一直延用至今。根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，通过引入减法可以得到整数系，再引入除法得到有理数体系。随后，通过计算有理数序列的极限（由数学家康托提出）或者对有理数系进行分割（由戴德金提出）得到实数系 [2]。这一套公理化实数体系连同同时期魏尔斯特拉斯在微积分分析化过程中的贡献（例如极限定义中的 ε-δ 语言）一道，使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上 [3]。
[1] Analysis [M]. Terence Tao
[2] 数学史概论（第二版）[M]. 李文林
[3] A History of Mathematics, an Introduction (Second Edition) [M]. Victor J. Katz
你可能感兴趣
好复杂。。。。。。身为中学生的偶，看不懂啊啊啊啊！！！！
引用 Janish 的回应：看到过一个帖子标题是“你才是数学家！你全家都是数学家！！”数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情理所当然？如果大家理所当然的认为欧几里得第五公理成立就不会有黎曼几何，没黎曼几何就没广义相对论，木有广义相对论，估计现在大家还在头疼gps的误差问题了...更别说早期微积分的建立了，如果没人刨根问底的弄出来ε-δ表达，估计现在微积分也没人敢用在工程上（因为会有好多种计算方式得出来不同的结果）...
引用 lhb5883 的回应：我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?确实是的，S(n) + m = S(n + m)，其中S(n+m)已经含有加法了，因此又回到了1+1=2的证明，相当于用结论证明结论了吧？
显示所有评论
全部评论(164)
谢谢作者的介绍，优美的数学
好复杂。。。。。。身为中学生的偶，看不懂啊啊啊啊！！！！
我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?
引用 Corvusy 的回应：那考虑这个：S(3)=3，S(2)=4，其它一样，即 0 1 2 4 5 6 ……、3（注意3不在其它数之前或之后），似乎也满足这个公理体系？他这上面定义的自然数是一整个数列，怎么会存在一个前后都没有数的3呢？
那个...常用的0不是自然数吧...当然你非要说文中的0就是常用的1也不是不行，不过至少说明一下吧...
引用 lhb5883 的回应：我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?确实是的，S(n) + m = S(n + m)，其中S(n+m)已经含有加法了，因此又回到了1+1=2的证明，相当于用结论证明结论了吧？
引用 Corvusy 的回应：那考虑这个：S(3)=3，S(2)=4，其它一样，即 0 1 2 4 5 6 ……、3（注意3不在其它数之前或之后），似乎也满足这个公理体系？这个不满足归纳法...比如简单的命题，P:a属于{0,1,2,4...}显然P(0)成立，对任意的n，如果P(n)成立，那么P(S(n))也成立但是P(3)不成立。
引用 KIMBLIN 的回应：引用 lhb5883 的回应：我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?确实是的，S(n) + m = S(n + m)，其中S(n+m)已经含有加法了，因此又回到了1+1=2的证明，相当于......这个不是这样的...公理2只定义了运算S，加法是通过0+m=m和n+m=S(S(n-1)+m)=...=S(S(...S(0+m)...))这种形式定义的...那个S(n+m)是要递归的向下展开的...
引用 绿咸鱼 的回应：引用 KIMBLIN 的回应：引用 lhb5883 的回应：我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?确实是的，S(n) + m = S(n + m)，其中S(n+m)已经含有加法了，因此又......这么说貌似合理，但这不相当于设定两条定义证明一个结论了？
引用 KIMBLIN 的回应：这么说貌似合理，但这不相当于设定两条定义证明一个结论了？ 没错啊，这个其实是解释我们常用的数和运算符号背后是有着怎样的严格定义，就和欧式几何一样，5条公理弄出来那么多漂亮的结论...
呆...查了下维基百科，自然数确实有用非负整数来做定义的...果然还是接触太少了么？...捂脸爬走...另外...比较常用的还是正整数这个定义吧，至少maple里面的自然数就是从1开始的啊...
我也觉得公理用了加法了……
引用 小风 的回应：他这上面定义的自然数是一整个数列，怎么会存在一个前后都没有数的3呢？有了这以上的努力，我们就可以这样定义自然数系了：存在一个自然数系 N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理 1 - 5。是一个“数系”，不是“数列”，定义没有强调有顺序，顺序是来自S(n)=n+1（当然是在一切有了定义之后）
引用 绿咸鱼 的回应这个不满足归纳法...比如......归纳法……这个倒是……不够后来发现似乎用公理2 就可以推翻了……
这个我记着陶哲轩的实分析那本书前面对整数什么的推理很详细 貌似中国教育缺这一块~~~
Terence Tao同楼上
我赫然被这个名字闪亮了眼睛
其实是人择原理...O(∩_∩)O哈！
引用 sevenseas 的回应：这个我记着陶哲轩的实分析那本书前面对整数什么的推理很详细 貌似中国教育缺这一块~~~...翻出大学四年的教科书...将近一半的书里面第一章全是集合论的泪流满面...
应用数学专业
挺精彩的哦！一切法则定理命题定律公式都建立在公理之上啊，真希望可以把公理给推翻了，亲眼看数学的全体崩溃。但是记得公理只要不自相矛盾（完备？）就成立，而且不可证明。想推翻它貌似不可能。因为公理其实在自圆其说呀……个人觉得而已。第一次回复，纪念
看到过一个帖子标题是“你才是数学家！你全家都是数学家！！”数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情
引用 Corvusy 的回应：那考虑这个：S(3)=3，S(2)=4，其它一样，即 0 1 2 4 5 6 ……、3（注意3不在其它数之前或之后），似乎也满足这个公理体系？这个序列的确符合设定体系，但是注意作者其实只是用S(N)表示N的后继而以，在你的排列方式里，4就是2的后继。 可以理解为你在你的世界里，用符号“4”代替了现实世界中的符号“3”，用符号“5”代替了现实世界中的符号“4”，等等。这并没有什么矛盾，看起来有问题是因为你仍然把4理解为3的后继。比如我喜欢规定 S(3)=X, S(X)=5,S(5)=6，那么我的自然数列就是 0，1，2，3，X，5，6，... 其实只不过是人对数字符号的选择而已。
引用 KIMBLIN 的回应：引用 lhb5883 的回应：我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?确实是的，S(n) + m = S(n + m)，其中S(n+m)已经含有加法了，因此又回到了1+1=2的证明，相当于......一般可以这么理解，m+n 被定义为对m和n的一种操作，比如结果是f(m,n) 。 这种操作结果是什么我们一开始并不知道，但是确定的事实是： f(0,m) = m 以及 f(S(n),m) = S(f(m,n))，然后作者不过是从这里开始证明了f(1,1)=S（1）=2。 这样就不涉及未对加法进行定义的问题。
引用 Janish 的回应：看到过一个帖子标题是“你才是数学家！你全家都是数学家！！”数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情理所当然？如果大家理所当然的认为欧几里得第五公理成立就不会有黎曼几何，没黎曼几何就没广义相对论，木有广义相对论，估计现在大家还在头疼gps的误差问题了...更别说早期微积分的建立了，如果没人刨根问底的弄出来ε-δ表达，估计现在微积分也没人敢用在工程上（因为会有好多种计算方式得出来不同的结果）...
引用 绿咸鱼 的回应：引用 Janish 的回应：看到过一个帖子标题是“你才是数学家！你全家都是数学家！！”数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情理所当然？如果大家理所当然的认为欧几里得第五公理成立就不会有黎......哈哈,兄台不要太费神试图跟外行解释这些. 多数人活了一辈子都用不到微积分. 就像你家楼下卖西瓜的大娘不明白为什么傅利叶级数展开很好用一样. 你用就觉得重要,不用就不觉得重要. 如果你试图跟她解释甚至争辩,那就是白费时间.
数学把我们是生活打点的多有条理，要是现在说推翻它，太诡异了吧。一套乱的系统怎么能操作的如此猛烈？
精彩！数学最伟大！
太精彩了，看来几次和评论才看明白。数学就是一门严谨的科学。
引用 sylnp 的回应：这个序列的确符合设定体系，但是注意作者其实只是用S(N)表示N的后继而以，在你的排列方式里，4就是2的后继。 可以理解为你在你的世界里，用符号“4”代替了现实世界中的符号“3”，用符号“5”代替了现实世界中的符号“4”，等等。这并没有什么矛盾，看起来有问题是因为你仍然把4理解为3的后继。我说的问题并不是这个，而是独立于序列之外的另一个序列（在这里只有一个3），不过反正解决了。另外这个公理体系是不是隐含了这样一条：这个数系中的数（自然数）只能来自于公理1和2（即一个自然数要么是0，要么是另一个非自身直接或间接后继的自然数的后继而没有其它来源）？（注意到公理3 4是对S(n)的限制，而公理5是对整个数系的限制，直接说明自然数来源的只有公理1 2 ）
一直对于“公理是不需要证明的”这句话心存疑虑，总觉得这样用公理推导只是为了符合结论而设定过程而已。。。
显示所有评论
(C)果壳网&&&&京ICP证100430号&&&&京网文[-239号&&&&新出发京零字东150005号&&&&
违法和不良信息举报邮箱：&&&&举报电话：&&&&&&&&