67014 条评论分享收藏感谢收起pbc.gov.cn/diaochatongjisi/116219/index.html
主要包括社会融资规模、金融统计数据、货币统计、金融机构信贷收支统计、金融市场统计、企业商品价格指数等等，数据权威且容易查找，实用性强。中国银行业监督管理委员会
主要包括银行业的数据统计，包括资产负债规模、主要监管数据等。国内各类型银行业金融机构 包括政策性银行、国有商业银行、股份制银行、城商行、农商行、农信社、信托、财务公司等等。这个信息及其好用，位于银监会网站内，但入口嵌得较深，平时不好找到。看到这里你还不点赞吗T_T中国证券监督管理委员会
主要包括证券市场、期货市场相关数据，每天更新快报，并有周报、月报等定期更新。中国国家统计局
主要包括国家经济宏观数据，社会发展、民生相关重要数据及信息，非常全面，且定期发布统计出版刊物，实用性强。国家数据
数据源来自国家统计局，但排版更清晰简洁，包括国计民生各个方面的月度数据、季度数据、年度数据、各地区数据、部门数据以及国际数据。强推。数据_中国政府网
主要包括CPI、GDP、PPI、工业生产增长指数、固定资产投资、社会消费品零售总额、粮食产量等的指数统计，只列出了主要数据，数据来源于国家统计局，点击会跳转至统计局的国家数据网站。查找起来比较简洁清晰，适合需要快速获取这些基础数据的人群。中国经济数据库 中国互联网络信息中心 CNNIC
主要包括互联网发展相关基础数据，相对第三方机构的互联网数据而言，数据更宏观且权威。中国国家图书馆-期刊资源库
作为一个碉堡的国家图书馆，免费注册账号后可链接至国内网大多数的资源库（同一账号链接过去无需再次注册），包括知网、万方等一系列国内网期刊数据库。对毕业后享受不了大学图书馆的数据库福利的我们来说简直天大福音！！QAQ【第三方机构统计数据】
主要包括199it、搜数网、统计网、数据堂、淘宝指数、百度指数、艾瑞咨询、知网数据、万方数据发布的数据统计信息或研究报告。（严格来说不全是第三方机构，部分机构为国家相关部门下属事业单位，在此不做区分）199it 互联网数据统计
主要针对互联网专题的数据统计，侧重于网罗各种互联网相关报告，数据权威性一般，但大部分报告质量很高，启发性和可读性非常强。中国资讯行_搜数网
主要包括下述分类，可在国家统计局数据不太好找的情况在把这个网站作为替代工具。中国统计网_数据分析
侧重于数据分析。数据堂淘宝指数 百度指数 艾瑞咨询
定期发布互联网相关数据及报告，主要侧重于发布自家报告，在国内的互联网咨询服务方面报告相对出色。知网_统计数据 万方数据
这两个无须介绍。账号可通过上述介绍的，通过中国国家图书馆的注册账号进去，即可免费合法下载资源。大数据搜索导航
作为导航，分类汇集了部分数据网站，主要侧重于互联网相关，也包括了上面所提到的一些数据源。读读日报：FinTech金融科技
这是我个人创建的日报，分享和探讨与互联网金融、互联网+、战略咨询相关，主要来自于麦肯锡、BCG、罗兰贝格、企鹅智库等机构发布的文章，内容均经过我的筛选和研读觉得适合收藏才会发布，欢迎关注。以上。赞同 89131 条评论分享收藏感谢收起诛仙（萧鼎） 七界传说（心梦无痕） 盗墓笔记（南派三叔） 鬼吹灯（天下霸唱） 间客（猫腻） 雪中悍刀行（烽火戏诸侯） 凡人修仙传（忘语） 魔天记（忘语） 一世之尊（爱潜水的乌贼） 择天记&br&&br&（猫腻） 通天剑主（剑游太虚） 阳神（梦入神机） 大周皇族（皇甫奇） 青帝（荆柯守） 修真世界（方想） 紫川（老猪） 天醒之路（蝴蝶蓝） 无仙（曳光） 紫府仙缘（百里玺）仙逆（耳根）百炼&br&&br&成仙（幻雨） 无上真身（乘风御剑） 无上真魔（皇甫奇） 剑道独尊（剑游太虚）&br&&br& 看过太多就不一一赘述了，个人觉得鬼吹灯、凡人修仙传、无仙、百炼成仙、剑道独尊名字起得不错，百炼成仙这个书名最喜欢，很可惜写的不是很好。喜欢剑仙剑侠的可以看剑游太虚大大和乘风御剑&br&&br&大大两位的，风格都很接近，我很喜欢。七界传说是我唯一买过的实体书，世界观很不错，在当时算是神作，最喜欢妖皇裂天。无仙和无上真魔的主角性格跟我很像，大爱，就算没后续我也看了好几遍&br&&br&。一世之尊很杂，但是比起现在千篇一律的文章来讲算是蛮有创造力的了，只能说作者脑洞大开吧。凡人修仙传看过三遍，网上经常把它和仙逆作比较，作为古典仙侠迷的我还是力挺凡人的。魔天记中&br&&br&的“通玄”这个境界我很喜欢，修为通玄，形容得恰如其分。七界传说的心欲无痕是我最喜欢的功法，盗墓笔记情节感强，鬼吹灯则叙事细节更擅，盗墓小说从来不用眼睛看，周建龙老师的嗓音配上背&br&&br&景音乐简直就是催眠神曲。仙侠玄幻无非在故事情节和武斗场景之上相较高低，个人比较喜欢打斗细节叙述感强的作者。看过这么多书，我发现其实每个作者写的每本书的风格其实都差不多，能够跨多&br&&br&领域作战的写手少之又少，但是我一般都只会看到书中的精华所在，对于不喜欢的基本无视掉，就像神墓我只记得修我战”舰“，杀上九天，仙逆也剩下那句吾辈修士，何惜一战，喜欢细节出彩的作者&br&&br&，特别是用心起章节名的。上班之后看书的时间越来越少了，最近又要打s5定级赛，荒废很久了已经，希望小说界能够百花齐放，为读者带来更精彩的饕餮盛宴。
诛仙（萧鼎） 七界传说（心梦无痕） 盗墓笔记（南派三叔） 鬼吹灯（天下霸唱） 间客（猫腻） 雪中悍刀行（烽火戏诸侯） 凡人修仙传（忘语） 魔天记（忘语） 一世之尊（爱潜水的乌贼） 择天记 （猫腻） 通天剑主（剑游太虚） 阳神（梦入神机） 大周皇族（皇…
其实这类书感情比较细腻，好看的就那几本&br&管平潮的仙路烟尘算一本，意境优美&br&树下野狐的仙楚算一本，读完感慨万千&br&还有一本幽冥仙途，很喜欢&br&如果喜欢诛仙超过尘缘，推荐你看三生三世十里桃花&br&我最喜欢的还是尘缘，不太好超越。
其实这类书感情比较细腻，好看的就那几本 管平潮的仙路烟尘算一本，意境优美 树下野狐的仙楚算一本，读完感慨万千 还有一本幽冥仙途，很喜欢 如果喜欢诛仙超过尘缘，推荐你看三生三世十里桃花 我最喜欢的还是尘缘，不太好超越。
前方干货请注意！&br&&br&久坐本身是不科学的，因为坐位腰椎受到的压力是站立位的2倍以上，对腰椎来说是难以承受之重。所以，建议你一定要定期起身活动。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/5d9f9de2ce_b.jpg& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&303& class=&content_image& width=&400&&&/figure&&br&&br&如果确实因为工作原因要长时间办公，那我就把著名的麦肯基疗法推荐给你，以最简单的2步，轻松搞定腰痛。&br&&br&请听我慢慢说。&br&&br&首先我们一定要知道为什么会腰痛。这两张图我们可以看到，腰椎&br&是向前凸出的，这种结构是人类进化几万年的结果，可以使我们的腰部保持舒适的直立状态。&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/c633b2fbce554d5caba924_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/c633b2fbce554d5caba924_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/292bc4fa2f7_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/292bc4fa2f7_r.jpg&&&/figure&让我们把腰椎结构进一步放大，可以看到它前后都是有韧带包绕的。这些韧带主要作用是加固腰椎，让腰椎保持稳定性。但是，由于这些韧带血液循环比较差，当我们腰部长期保持在一个错误的姿势时，韧带就会发生细微撕裂引起疼痛。这是大部分人腰痛的原因。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/7d4f07a27d18edab40e2b3_b.jpg& data-rawwidth=&411& data-rawheight=&497& class=&content_image& width=&411&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/de213b5e479e5f79673b6bdaeaf7482a_b.jpg& data-rawwidth=&464& data-rawheight=&832& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&464& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/de213b5e479e5f79673b6bdaeaf7482a_r.jpg&&&/figure&&br&当韧带这层防线突破以后，腰椎和腰椎之间的椎间盘可能因为你的错误姿势被挤出来，压迫你的神经，让你双腿发麻、无力，这就是腰椎间盘突出。严重的病人会出现大小便失禁、阳痿，甚至需要手术。&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/5745c56fcf2d57ffaeb8cd_b.jpg& data-rawwidth=&266& data-rawheight=&308& class=&content_image& width=&266&&&/figure&&br&下图就是一些错误的姿势，可以发现，这些错误姿势无一例外的都没有保持腰部原有的前凸姿势，所以很容易撕裂腰椎韧带及其周围组织，引起腰痛。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/abcb4fce93fa_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/abcb4fce93fa_r.jpg&&&/figure&&br&那我们怎么通过2步快速治疗腰痛呢？&br&&br&?第1步，时刻让你的腰部保持前凸姿势。&br&&br&如果你要搬东西，请先蹲下来再搬，时刻使自己的腰椎保持前凸，这样就可以避免对腰部的损伤。&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/f15ebee9cd552a_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/f15ebee9cd552a_r.jpg&&&/figure&如果需要长时间办公，那最好准备一把人体工学椅，这样的椅子可以把腰部支撑起来，使其保持前凸姿势，防止腰痛发生。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/da32f77ae63bc91d63f9c1_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/da32f77ae63bc91d63f9c1_r.jpg&&&/figure&如果你在外面，比如在开车、上课之类，那你可以准备一个腰部支撑卷，只要顶在腰部，就能保持腰部的前凸姿势，防止腰痛发生。&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/ecf9b519ad_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/ecf9b519ad_r.jpg&&&/figure&很简单吧？不管你在哪里在干嘛，时刻记住一件事，保持腰部前凸姿势，这是腰痛自我预防的核心！&br&&br&&br&第二步，康复训练，这一步对缓解腰痛非常重要，但也需要你很有耐心，循序渐进。&br&&br&√首先是伸展运动&br&&br&如果你身边有床或平地可以随时躺下，伸展运动可以迅速帮你缓解腰痛，恢复变形的腰椎，让腰部损伤逐渐恢复。动作要领是先平躺放松，然后缓慢撑起上身使腰部收紧并坚持数秒。每天6-8组，每组做10次。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/dc109cbab67b01c1df33e_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/dc109cbab67b01c1df33e_r.jpg&&&/figure&&br&如果你在户外或者办公室，站立位的伸展运动也是个次优的选择，效果没有卧位伸展运动好，但同样有效。动作要领是双手握住后腰部，躯干尽量向后弯曲。每天做6-8组，每组10次。&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/0feb96cecc1ef_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/0feb96cecc1ef_r.jpg&&&/figure&&br&√然后是弯曲运动&br&&br&伸展运动使腰部疼痛缓解2周后，可以在伸展的同时做弯曲运动。弯曲运动能帮你恢复腰部组织弹性，避免腰部僵硬，相当于给腰部进行二次加固。每天3-4组，每组5-6次，注意根据腰部弯曲度循序渐进，不可激进，否则可能带来损伤。图片显示的这三组是由易到难的三组动作。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/bcae3f2ac74143ec3aeb4_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/bcae3f2ac74143ec3aeb4_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/8effb8ada971bc_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/8effb8ada971bc_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/45f8fd5eb314a881e6e5aae_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&896& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/45f8fd5eb314a881e6e5aae_r.jpg&&&/figure&另外，运动后错误的坐姿也是导致腰部损伤的重要原因，它比非运动条件下的损伤更大，所以也请密切注意。下图为错误示范。&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/da7d00eb567ec20b5e3e7abd_b.jpg& data-rawwidth=&515& data-rawheight=&361& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&515& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/da7d00eb567ec20b5e3e7abd_r.jpg&&&/figure&本文的核心内容来自《麦肯基疗法》一书，更加详细的内容可以购书自学，我只是知识的搬运工。&br&&br&最后给大家介绍一个刚刚成立的医学科普公众号。与其他类似公众号不同，作为医生，我联合一些医生给大家专注分享那些有用易懂的医学知识，只做精品，整合各类医学信息，解决大家喜闻乐见的生活类医学问题。目的只有一个，就是让大家的生活变得更轻松更简单。我会努力的！&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//weixin.qq.com/r/EDt2bjzEkmHtrXgN924C& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&weixin.qq.com/r/EDt2bjz&/span&&span class=&invisible&&EkmHtrXgN924C&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&
前方干货请注意！ 久坐本身是不科学的，因为坐位腰椎受到的压力是站立位的2倍以上，对腰椎来说是难以承受之重。所以，建议你一定要定期起身活动。 如果确实因为工作原因要长时间办公，那我就把著名的麦肯基疗法推荐给你，以最简单的2步，轻松搞定腰痛。 请…
&p&用A公司和B公司举例&br&&br&A有数据库 有业务逻辑 但A不愿意把数据库的访问权限给B ，&br&于是A方自己开发了一套API（数据查询，业务逻辑等）代码，&br&表现形式是URL地址就是以http开头的网页地址，&br&告知了B如何使用该地址（即沟通的密钥或token，总之是一些安全机制，确保只有B可以访问，而不是CDEF这些阿猫阿狗的黑客也凑热闹）。&br&于是乎B就能对A方提供的API进行各种请求达到获取数据结果或者发送业务请求的目的。&br&&br&还有一些API叫做公开API，是啥意思呢 就是A公司把他的数据或业务公开给广大的用户，比如C，D，E，F公司
。这些公司的程序员通过简单的在A公司注册，获取了使用公开API的权限，就可以开发代码调用这些API实现一些功能。 &br&&br&比如国家的水电煤缴费系统假设是由A公司控制的，A公司开放缴费接口，B，C，D，E 等各家省级代理公司可以根据商业合同拿到A公司的缴费API接口 实现他们自己区域的缴费服务， 比如用户能在淘宝上缴水电煤，也可以在微信上缴水电煤。 其实就是淘宝和微信相当于B，C公司，实现了上游某大Boss的水电煤缴费API。&br&（以上例子并非真实，只是为了说明问题杜撰的，请大家不要钻牛角尖 说水和电不是由同一个大Boss控制的）&/p&&p&&br&说了这么多大家就明白了API就好比半开放，卖艺不卖身的意思。&br&&br&在不考虑商业合同和道德的前提下，API的提供者拥有最终话语权，API接口的提供者说封谁就封谁，比如微信接口，说关闭就关闭。API提供者的姿态就是API是我家提供的，我想给谁用就给谁用，我想什么时候停止你使用就什么时候停止你使用。&/p&
用A公司和B公司举例 A有数据库 有业务逻辑 但A不愿意把数据库的访问权限给B ， 于是A方自己开发了一套API（数据查询，业务逻辑等）代码， 表现形式是URL地址就是以http开头的网页地址， 告知了B如何使用该地址（即沟通的密钥或token，总之是一些安全机制，…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-8786bad7c66c2da720747_b.jpg& data-rawwidth=&638& data-rawheight=&557& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&638& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-8786bad7c66c2da720747_r.jpg&&&/figure&本科学的电子信息工程，用的最多的就是傅里叶变换。但大多数 EE 的学生只是会套用傅里叶变换的公式而已，对其数学本质却了解得比较少。我不敢说掌握了数学本质，只能说从某个角度有了一些理解。&p&之前知友&a href=&http://www.zhihu.com/people/50e52c29a63fad9c6519& data-hash=&50e52c29a63fad9c6519& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@Heinrich& data-hovercard=&p$b$50e52c29a63fad9c6519&&@Heinrich&/a& 写过一篇&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&傅里叶分析之掐死教程&/a&，这是一篇非常浅显易懂的傅里叶变换科普文，写得很好。而本文则侧重从数学的角度（准确地说是从线性空间的角度）介绍傅里叶变换，要求读者具备基本的高等数学和线性代数知识，目的是使读者对傅里叶变换有一个更好的理解。&/p&&p&本文分为五部分。第一部分介绍一些基本的数学概念，第二部分介绍傅里叶基和傅里叶级数，第三部分介绍傅里叶变换，第四部分回归 EE 的内容，第五部分总结。&/p&&h2&一、基本概念&/h2&&p&&b&1.域&/b&&/p&&p&域是代数中一个非常重要的概念，是一种特殊的环（交换除环）。介绍域是为介绍线性空间做准备，而域的准确概念在本文中并不重要。因此为了方便，大家可以把域理解为一个&b&可以做加减乘除的集合&/b&。也就是说，域由一个集合和四则运算构成，这个集合内的元素两两间可以做这四种运算（除了除以 0），结果依然在这个集合里。&/p&&p&常见的域有有理数域&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&、实数域&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&和复数域&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D& alt=&\mathbb{C}& eeimg=&1&& ，它们分别是全体有理数、实数、复数关于数的加减乘除构成的。&/p&&p&&b&2.线性空间&/b&&/p&&p&线性空间的概念是建立在域的基础上的。假设&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&是一个域，而&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&是一个集合。如果&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&内的元素之间可以做&b&加法&/b&（也就是说两个元素做加法的结果仍然在集合内），&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&可以做&b&数乘&/b&（和域内的乘法不同，数乘是说&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中的一个元素和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&中的一个元素做数乘结果仍在&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&内。数乘可以理解为一个二元函数，它把&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&内的一个元素和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&内的一个元素映射到&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&内的一个元素），这个&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&就叫做&b&域&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&上&/b&的&b&一个线性空间&/b&。（&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中的元素可以称为&b&向量&/b&）&/p&&p&当然了，上边所说的加法和乘法还要满足几个性质，比如加法要构成阿贝尔群等等。但为了方便，这里不详细说明，只是举几个线性空间的例子。&/p&&p&比如对&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cforall+n+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%2C%5Cmathbb%7BR%7D%5En& alt=&\forall n \in \mathbb{Z},\mathbb{R}^n& eeimg=&1&&（n 维欧式空间）是实数域&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的线性空间。因为空间中任意两个向量做加法（按照一般向量加法）或用一个实数乘一个向量，结果仍然是一个 n 维欧式空间里的向量。&/p&&p&而定义在闭区间&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&&上的连续函数也构成一个&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的线性空间。因为任意两个连续函数的和仍然是原来区间上的连续函数，一个连续函数乘一个实数也是连续函数。&/p&&p&下面将介绍线性空间有关的一些概念，先介绍线性组合。&/p&&p&&b&3.线性组合&/b&&/p&&p&我们知道线性空间内的元素可以做加法，线性空间中的元素可以和域上的元素做数乘。因此我们取&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中的一些向量&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha_1%2C%5Chdots%2C%5Calpha_r& alt=&\alpha_1,\hdots,\alpha_r& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&中的一些数&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda_1%2C%5Chdots%2C%5Clambda_r& alt=&\lambda_1,\hdots,\lambda_r& eeimg=&1&&，然后做运算&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha%3D%5Clambda_1%5Calpha_1%2B%5Ccdots%2B%5Clambda_r%5Calpha_r& alt=&\alpha=\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_r\alpha_r& eeimg=&1&&&br&&p&上式的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&&就叫做&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha_1%2C%5Chdots%2C%5Calpha_r& alt=&\alpha_1,\hdots,\alpha_r& eeimg=&1&&的一个&b&线性组合&/b&。&/p&&p&这样，给定一些&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中的向量，就可以通过它们的线性组合得到更多向量。而我们比较关心能不能得到 0 向量（0 向量是每个线性空间中唯一满足下列条件的一个元素：对任意元素&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha+%5Cin+V%2C0%2B%5Calpha%3D%5Calpha& alt=&\alpha \in V,0+\alpha=\alpha& eeimg=&1&&）。显然当所有的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda_i& alt=&\lambda_i& eeimg=&1&&都取域中的 0 元素（和 0 向量的定义类似，因为域中的元素和线性空间中的元素均构成阿贝尔群）时结果为 0 。那么当至少有一个&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda_i& alt=&\lambda_i& eeimg=&1&&不为 0 时，它们的线性组合能不能为 0 呢？&/p&&p&如果可以为 0 ，我们就称这些向量&b&线性相关&/b&，反之称为&b&线性无关&/b&。我们更关心线性无关的情况，它是我们介绍基和维数必不可少的。&/p&&p&&b&4.基与维数&/b&&/p&&p&我们在&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中找到了一些线性无关的向量，这些向量可以通过线性组合构成无数其他向量。细心的你可能已经发现了：这些向量的所有线性组合构成的向量就构成了一个线性空间。这个空间中的元素一定属于&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&，因此它叫做&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&的一个子空间。&/p&&p&如果构成的线性空间恰好是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&，我们称这些向量是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&的&b&一组基&/b&，而向量的个数叫做&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&的&b&维数&/b&。如果&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&中有无限多个线性无关的向量，它就是无限维的。&/p&&p&在这里我们不加证明地给出：任何非零线性空间均有基。&/p&&p&&b&5.内积&/b&&/p&&p&之前我们介绍线性空间包括了两种运算：第一种是空间内向量的加法，第二种是空间内向量与域中元素的数乘。而内积则是空间内两向量的运算，或者我们可以理解为把空间中两个元素映射为域中一个元素的一个二元函数。我们规定这个函数应该满足一些性质。&/p&&p&首先我们规定，内积是双线性的。在介绍双线性之前，我们先讲讲线性。线性就是说一个一元函数把线性组合映射为线性组合，即&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28%5Clambda_1%5Calpha_1%2B%5Ccdots%2B%5Clambda_r%5Calpha_r%29%3D%5Clambda_1f%28%5Calpha_1%29%2B%5Ccdots%2B%5Clambda_rf%28%5Calpha_r%29& alt=&f(\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_r\alpha_r)=\lambda_1f(\alpha_1)+\cdots+\lambda_rf(\alpha_r)& eeimg=&1&&恒成立.&/p&&p&而双线性是针对二元函数的，它是说固定其中任何一个变量后，这个一元函数都是线性的。&/p&&p&除了双线性，内积还必须是&b&正定的&/b&。即一个向量和它自己的内积必须是非负的，而非零向量和它自己的内积必须是正的。&/p&&p&容易验证，对于欧式空间中的向量点乘是满足这个性质的。而我们前边提到的闭区间上的连续函数，可以定义其内积为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%3Cf%2Cg%5Cright%3E%3D%5Cint_a%5Eb+f%28x%29g%28x%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=&\left&f,g\right&=\int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x& eeimg=&1&&.&/p&&p&最后，我们定义两个向量&b&正交&/b&是指它们的内积为零。&/p&&p&&b&6.赋范线性空间&/b&&/p&&p&我估计很多人能看到这已经准备选择狗带了，但是我还是要讲。&/p&&p&我保证这是最后一个概念了……而且我尽量简单粗暴。&/p&&p&首先我们介绍一个概念：范数。对于&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的线性空间，我们定义它的范数为&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%7C%5Calpha%7C%7C%3D%5Csqrt%7B%5Cleft%3C%5Calpha%2C%5Calpha%5Cright%3E%7D& alt=&||\alpha||=\sqrt{\left&\alpha,\alpha\right&}& eeimg=&1&&&p&这样的范数也叫作由&b&内积诱导的范数&/b&。内积诱导的范数除了要满足正定性之外，还要满足三角不等式（&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%7C%5Calpha%2B%5Cbeta%7C%7C+%5Cleq+%7C%7C%5Calpha%7C%7C%2B%7C%7C%5Cbeta%7C%7C& alt=&||\alpha+\beta|| \leq ||\alpha||+||\beta||& eeimg=&1&&）、CS不等式（&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Calpha+%5Ccdot+%5Cbeta%7C%5Cleq+%7C%7C%5Calpha%7C%7C%5Ccdot+%7C%7C%5Cbeta%7C%7C& alt=&|\alpha \cdot \beta|\leq ||\alpha||\cdot ||\beta||& eeimg=&1&&）。&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的线性空间如果构造了这样的范数，就称它为&b&赋范线性空间。&/b&&/p&&br&&p&我不知道有多少人有耐心读到这，如果上边的内容有疑问可以去看任何一本高等代数教材，各种概念并不需要理解得很具体，建议理解得不透彻的读者&b&利用欧式空间进行类比&/b&。下边将开始介绍傅里叶基和傅里叶级数。&/p&&h2&二、傅里叶基和傅里叶级数&/h2&&p&&b&1.傅里叶基&/b&&/p&&p&我们回忆一下刚才讲的正交的概念：两个向量的内积为 0 。如果一个空间有一组基两两正交，那么它就叫做一组&b&正交基&/b&。&/p&&p&我们可以证明，定义在&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D& alt=&[-\pi,\pi]& eeimg=&1&&上的所有平方可积的函数构成线性空间，规定其内积为&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%3Cf%2Cg%5Cright%3E%3D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Df%28x%29g%28x%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=&\left&f,g\right&=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\mathrm{d}x& eeimg=&1&&&p&（为了简单起见，只考虑实值函数，复函数则其中一个取共轭即可）&/p&&p&我们不加证明地给出：这个空间内的每个向量都可以表示为其一组基的&b&无限线性组合&/b&。这就是 &b&Fourier 展开&/b&。常取的基是&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+1%2C%5Csin+nx%2C%5Ccos+nx+%5Cright%5C%7D+%28n+%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%29& alt=&\left\{ 1,\sin nx,\cos nx \right\} (n \in \mathbb{N})& eeimg=&1&& 或 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+%5Cexp%28inx%29+%5Cright%5C%7D+%28n+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%29& alt=&\left\{ \exp(inx) \right\} (n \in \mathbb{Z})& eeimg=&1&&&br&&/p&&p&容易证明这些基都是正交的，而且不能找到另外一个向量和它们全正交（这样的一组向量叫做&b&极大正交向量族&/b&）。这样，我们就可以把任何一个&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D& alt=&[-\pi,\pi]& eeimg=&1&&上的平方可积的函数通过这些基的线性组合表示出来，这组基就叫做&b&傅里叶基&/b&。&/p&&p&&b&2.傅里叶级数&/b&&/p&&p&傅里叶级数实际上就是把这个空间中的一个向量通过基的线性组合的方式写出来。我们已经知道了，两个正交的向量内积为 0 ，因此如果一个函数是由正交基的线性组合表示，我们可以很容易地求得它的系数。&/p&&p&设&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Da_0%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%28+a_n+%5Ccos+nx+%2B+b_n+%5Csin+nx+%5Cright%29+& alt=&f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) & eeimg=&1&&（这就是傅里叶级数，实际上就是一个基的线性组合，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a_0& alt=&a_0& eeimg=&1&&是 1 的系数，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a_n& alt=&a_n& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b_n& alt=&b_n& eeimg=&1&&分别是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos+nx+& alt=&\cos nx & eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csin+nx& alt=&\sin nx& eeimg=&1&&的系数）。现在我们想计算每一个基的系数。为此，我们试着计算一下它和其中一项的内积，比如&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Df%28x%29%5Ccos+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx+%3D+a_0%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Ccos+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%2B%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_m%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Ccos+mx+%5Ccos+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%2B%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_m%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Csin+mx+%5Ccos+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=&\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x = a_0\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\mathrm{d}x+\sum_{m=1}^{\infty}a_m\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx \cos nx\mathrm{d}x+\sum_{m=1}^{\infty}b_m\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx \cos nx\mathrm{d}x& eeimg=&1&&&br&&p&不过注意到不同的向量都是正交的，所以非零项只有&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Ccos+%5E2+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Cpi+a_n& alt=&a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos ^2 nx\mathrm{d}x=\pi a_n& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&好简单啊！也就是说，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Df%28x%29%5Ccos+nx%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=&a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&这么说似乎还是不明显，我这么写：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%3Cf%28x%29%2C%5Ccos+nx%5Cright%3E%7D%7B%5Cleft%3C+%5Ccos+nx%2C%5Ccos+nx%5Cright%3E%7D& alt=&a_n=\frac{\left&f(x),\cos nx\right&}{\left& \cos nx,\cos nx\right&}& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&类比一下欧几里得空间。比如说二维欧式空间&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5E2& alt=&\mathbb{R}^2& eeimg=&1&&中，我取一组正交基&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%281%2C0%29%2C%280%2C2%29& alt=&(1,0),(0,2)& eeimg=&1&&，那么向量&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%283%2C4%29& alt=&(3,4)& eeimg=&1&&写成这组基的线性组合时系数分别是多少呢？答案就是&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cleft%3C%283%2C4%29%2C%281%2C0%29%5Cright%3E%7D%7B%5Cleft%3C%281%2C0%29%2C%281%2C0%29%5Cright%3E%7D%3D3& alt=&\frac{\left&(3,4),(1,0)\right&}{\left&(1,0),(1,0)\right&}=3& eeimg=&1&&和&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cleft%3C%283%2C4%29%2C%280%2C2%29%5Cright%3E%7D%7B%5Cleft%3C%280%2C2%29%2C%280%2C2%29%5Cright%3E%7D%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B4%7D%3D2& alt=&\frac{\left&(3,4),(0,2)\right&}{\left&(0,2),(0,2)\right&}=\frac{8}{4}=2& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&完全一样耶！&/p&&p&实际上从空间的角度，二者确实没有什么本质区别。&/p&&p&那么现在我们已经理解了，傅里叶基其实就是这个函数构成的空间中的一组正交基，而傅里叶级数就是把空间里的元素写成基的线性组合。但我们注意到这里的函数是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D& alt=&[-\pi,\pi]& eeimg=&1&&的，如果换一个区间，结果会如何呢？&/p&&h2&三、傅里叶变换&/h2&&p&我们把区间换成&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-a%2Ca%5D& alt=&[-a,a]& eeimg=&1&&，这样相当于把每个函数“拉伸”了&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%2F%5Cpi& alt=&a/\pi& eeimg=&1&&，这样每个基也拉伸了&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%2F%5Cpi& alt=&a/\pi& eeimg=&1&&倍，变成了&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+1%2C%5Csin+n%5Comega+x%2C%5Ccos+n%5Comega+x+%5Cright%5C%7D+%28n+%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D%29& alt=&\left\{ 1,\sin n\omega x,\cos n\omega x \right\} (n \in \mathbb{N})& eeimg=&1&& 或 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B+%5Cexp%28in%5Comega+x%29+%5Cright%5C%7D+%28n+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%29& alt=&\left\{ \exp(in\omega x) \right\} (n \in \mathbb{Z})& eeimg=&1&&,&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Ba%7D& alt=&\omega = \frac{\pi}{a}& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&而傅里叶级数就变成了&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Da_0%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n+%5Ccos+n%5Comega+x+%2B+b_n+%5Csin+n%5Comega+x& alt=&f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos n\omega x + b_n \sin n\omega x& eeimg=&1&&或&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n%5Cexp%28in%5Comega+x%29& alt=&f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\exp(in\omega x)& eeimg=&1&&.&br&&/p&&p&下面我们考虑指数函数形式的傅里叶级数在&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a+%5Crightarrow%5Cinfty& alt=&a \rightarrow\infty& eeimg=&1&&时的情形。&/p&&p&1.在区间变为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5B-a%2Ca%5D& alt=&[-a,a]& eeimg=&1&&后，傅里叶系数变为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%5Cint_%7B-a%7D%5E%7Ba%7Df%28t%29%5Cexp%28-in%5Cpi+t%2Fa%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt& alt=&a_n=\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}f(t)\exp(-in\pi t/a)\mathrm{d}t& eeimg=&1&&。&/p&&p&2.在&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的傅里叶展开中，把傅里叶系数带入，得到&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Clim_%7Ba+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%5Cleft%5B+%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%5Cint_%7B-a%7D%5E%7Ba%7Df%28t%29%5Cexp%28-in%5Cpi+t%2Fa%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt+%5Cright%29%5Cexp%28in%5Cpi+x%2Fa%29++%5Cright%5D+& alt=&f(x)=\lim_{a \rightarrow \infty}\left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left( \frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}f(t)\exp(-in\pi t/a)\mathrm{d}t \right)\exp(in\pi x/a)
\right] & eeimg=&1&&&br&&p&3.上式的积分式是关于变量&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&的，而外边的项&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexp%28in%5Cpi+x%2Fa%29& alt=&\exp(in\pi x/a)& eeimg=&1&&与&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&无关。因此可以写成&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Clim_%7Ba+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%5Cleft%5B+%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%5Cint_%7B-a%7D%5E%7Ba%7Df%28t%29%5Cexp%28in%5Cpi+%28x-t%29%2Fa%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt+%5Cright%29++%5Cright%5D+& alt=&f(x)=\lim_{a \rightarrow \infty}\left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left( \frac{1}{2a}\int_{-a}^{a}f(t)\exp(in\pi (x-t)/a)\mathrm{d}t \right)
\right] & eeimg=&1&&&br&&p&4.我们现在希望上式是黎曼和的形式，这样就可以写成定积分。为此取&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda_n%3D%5Cfrac%7Bn%5Cpi%7D%7Ba%7D%2C%E3%80%81%5Clambda%3D%5Clambda_%7Bn%2B1%7D-%5Clambda_n%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Ba%7D& alt=&\lambda_n=\frac{n\pi}{a},、\lambda=\lambda_{n+1}-\lambda_n=\frac{\pi}{a}& eeimg=&1&&，这样上式变成&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Clim_%7Ba+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%5Cleft%5B+%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-a%7D%5E%7Ba%7Df%28t%29%5Cexp%28i%5Clambda_n%5Cpi+%28x-t%29%2Fa%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt++%5Cright%5D+%E3%80%81%5Clambda& alt=&f(x)=\lim_{a \rightarrow \infty}\left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-a}^{a}f(t)\exp(i\lambda_n\pi (x-t)/a)\mathrm{d}t
\right] 、\lambda& eeimg=&1&&&br&&p&5.当&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Crightarrow+%5Cinfty& alt=&a\rightarrow \infty& eeimg=&1&&时，&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%5Clambda%5Crightarrow+0& alt=&\Delta \lambda\rightarrow 0& eeimg=&1&&，上式作为黎曼和的形式可以写成定积分:&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%5B%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df%28t%29%5Cexp%28i%5Clambda%5Cpi+%28x-t%29%2Fa%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt++%5Cright%5D+%5Cmathrm%7Bd%7D%5Clambda& alt=&f(x)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(i\lambda\pi (x-t)/a)\mathrm{d}t
\right] \mathrm{d}\lambda& eeimg=&1&&&br&&p&6.上式略作变形，得到&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df%28t%29%5Cexp%28-i%5Clambda+t%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt++%5Cright%29+%5Cexp%28i%5Clambda+x%29%5Cmathrm%7Bd%7D%5Clambda& alt=&f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(-i\lambda t)\mathrm{d}t
\right) \exp(i\lambda x)\mathrm{d}\lambda& eeimg=&1&&&br&&br&&p&这样，我们从傅里叶级数出发，在&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=a%5Crightarrow+%5Cinfty+& alt=&a\rightarrow \infty & eeimg=&1&&的情形下得到了一个式子。这个式子的本质仍然是一个求和式，只是因为极限所以写成了积分式。它把&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&写成了&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexp%28i%5Clambda+x%29%5Cmathrm%7Bd%7D%5Clambda& alt=&\exp(i\lambda x)\mathrm{d}\lambda& eeimg=&1&&的线性组合。&/p&&p&&b&等等！&/b&&/p&&p&&b&线性组合？！&/b&&/p&&p&确实如此啊。只是这里的变量&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&是取遍整个数轴的。相当于对实数轴上的每个点都对应了这个函数的一个“基”，而这个积分式就是这些基的“线性组合”。&/p&&p&括号里的那堆东西，也就是&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cwidehat%7Bf%7D%28%5Clambda%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df%28t%29%5Cexp%28-i%5Clambda+t%29%5Cmathrm%7Bd%7Dt++& alt=&\widehat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\exp(-i\lambda t)\mathrm{d}t
& eeimg=&1&&&br&&p&就叫做这个函数的&b&傅里叶变换&/b&。&/p&&p&傅里叶变换是这样一个函数，它在&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&处的函数值&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cwidehat%7Bf%7D%28%5Clambda%29& alt=&\widehat{f}(\lambda)& eeimg=&1&&表示函数&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&在&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clambda& alt=&\lambda& eeimg=&1&&对应的基上的系数。至此我们就完成了傅里叶变换从空间角度的介绍。&/p&&p&补充：&/p&&p&前边我们已经定义了范数，而两个向量之间的距离可以用它们差的范数刻画。空间中有一向量序列&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=v_1%2Cv_2%2C%5Cldots& alt=&v_1,v_2,\ldots& eeimg=&1&&是&b&柯西列&/b&，如果它满足对任意的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon+%3E+0& alt=&\epsilon & 0& eeimg=&1&&,存在正整数&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&，使得对任意的&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=m%2Cn%3EN& alt=&m,n&N& eeimg=&1&&,有&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%7Cv_m-v_n%7C%7C%3C%5Cepsilon& alt=&||v_m-v_n||&\epsilon& eeimg=&1&&。也就是说，在柯西列中，我们总可以去掉有限个元素，使得剩余的项两两之间的最大距离小于一个给定的正数。&/p&&p&柯西列都是收敛的。如果空间中任何一个柯西列都收敛到空间内部，我们就称这个空间是&b&完备的&/b&。&/p&&p&完备的内积空间叫做&b&希尔伯特空间&/b&。希尔伯特空间中的极大正交向量组称为&b&希尔伯特基&/b&。傅里叶基是 Lebesgue 函数空间&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%5E2%28%5B-a%2Ca%5D%29& alt=&L^2([-a,a])& eeimg=&1&&（&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%5E2& alt=&L^2& eeimg=&1&&指平方可积函数构成的函数空间，它和平方可和序列构成的空间均为希尔伯特空间）上常取的一组基。&/p&&p&另外，从基的角度，先引出傅里叶级数，再通过极限去说明傅里叶变换更好一些。但其实傅里叶变换更加自然，而傅里叶级数只是紧致阿贝尔群上的傅里叶变换。&/p&&h2&四、回归信号&/h2&&p&我们再从信号分析的角度考虑上述结果。我们求傅里叶变换说的是把信号从“&b&时间域&/b&”变换到“&b&频率域&/b&”，而频率域对应值就代表“信号”在该点的“&b&频率分量&/b&”。为什么我们可以说“频率分量”呢？就是因为每一个频率都代表了一个基，原信号可以写成这些基的线性组合，而每个基上的系数就代表了信号在这个基（频率）上的分量大小。&/p&&p&回忆我们高中时候学物理，做平抛、斜抛运动的题时，总是二话不说地水平竖直分解运动，为什么呢？因为对于平面内的运动，水平和竖直就是两组“基”（并不十分准确，理解即可）。那么为什么非得水平和竖直而不是斜 30° 角呢？这我们就要考虑重力了。重力只在竖直方向有作用，它在水平这组基下的分量为 0 。所以说，基的选取也很重要。&/p&&p&而信号的分解为什么要在三角函数或指数函数里进行分解呢？首先我们要说明，这两个分解的本质是一样的，因为三角函数的定义就是通过指数函数的（与欧拉公式无关，见&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&余翔关于欧拉公式的一个回答&/a&）。一方面，三角函数具有非常好的性质，简单的三角函数非常容易分析，产生也很自然。另一方面，三角函数非常好地刻画了信号的频率，而这也是我们非常关心的。&/p&&p&从基的线性组合的角度，傅里叶变换的很多性质都是显然的，请读者自己试着证明。&/p&&h2&五、总结&/h2&&p&傅里叶变换是 EE 专业学生的“命根子”，几乎所有的信号处理都需要依靠傅里叶变换。毫无疑问，对傅里叶变换更深层的理解，有助于我们更好地学习和研究。本文的理解角度也是我认为最适合 EE 专业学生的理解方式。&/p&&p&然而本文只是一个概念性的介绍，如果要真正地理解，可以仔细阅读参考文献中列举的资料。如果文章有不妥之处，也请大家批评指正。（因为本文不是介绍知识，里边掺杂了自己的理解）&/p&&h2&参考文献&/h2&&p&[1] 张贤科. 高等代数学, (第二版)[M]. 清华大学出版社, 2004.&/p&&p&[2] Albert, Boggess, 赵树森. 小波与傅里叶分析基础[M]. 电子工业出版社, 2010.&/p&
本科学的电子信息工程，用的最多的就是傅里叶变换。但大多数 EE 的学生只是会套用傅里叶变换的公式而已，对其数学本质却了解得比较少。我不敢说掌握了数学本质，只能说从某个角度有了一些理解。之前知友 写过一篇，这是一篇非…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/d86a52caeaa909e86ee9_b.jpg& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&403& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&https://pic2.zhimg.com/d86a52caeaa909e86ee9_r.jpg&&&/figure&&p&作
昊&/p&&p&知
乎：Heinrich&/p&&p&微
博：@花生油工人 &/p&&p&知乎专栏：与时间无关的故事&/p&&p&谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。&/p&&p&&b&转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。&/b&&/p&&br&&p&——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————&/p&&p&我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……&/p&&p&这篇文章的核心思想就是：&/p&&h2&要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。&/h2&&p&傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。&/p&&p&————以上是定场诗————&/p&&p&下面进入正题：&/p&&p&抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……&/p&&p&p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。&/p&&h2&一、什么是频域&/h2&&p&从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现&u&世界是永恒不变的&/u&，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。&/p&&p&先举一个&u&&b&公式上并非很恰当&/b&&/u&，但意义上再贴切不过的例子：&/p&&p&在你的理解中，一段音乐是什么呢？&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/2caa1b75825_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&270& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/2caa1b75825_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/8e1fce9d7607d97cebf73e1f36f03f06_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&272& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/8e1fce9d7607d97cebf73e1f36f03f06_r.jpg&&&/figure&&br&好的！下课，同学们再见。&/p&&p&是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。&/p&&p&现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。&/p&&p&将以上两图简化：&/p&&p&时域：&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/d4fa1de41ac84a56e432_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&440& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/d4fa1de41ac84a56e432_r.jpg&&&/figure&&br&频域：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/1ca366b593d877a16c8ab9_b.jpg& data-rawwidth=&137& data-rawheight=&199& class=&content_image& width=&137&&&/figure&&br&&p&在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。&/p&&p&所以&/p&&h2&你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。&/h2&&p&抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。&/p&&p&而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。&/p&&h2&二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱&/h2&&p&还是举个栗子并且有图有真相才好理解。&/p&&p&如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/055bf33bbc5dbeb75dd9_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&616& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/055bf33bbc5dbeb75dd9_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&/p&&p&第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）&/p&&p&第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)&/p&&p&第三幅图是4个发春的正弦波的叠加&/p&&p&第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加&/p&&p&随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？&/p&&p&（只要努力，弯的都能掰直！）&/p&&p&随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）&/p&&p&不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没&br&有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。&/p&&p&还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/563deb4aba_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1289& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/563deb4aba_r.jpg&&&/figure&&br&&p&在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。&br&&/p&&p&这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。&/p&&p&好了，关键的地方来了！！&/p&&p&如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。&/p&&p&对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。&/p&&p&时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&的正弦波cos（&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&t）看作基础，那么频域的基本单元就是&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&。&/p&&p&有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。&/p&&p&接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/81cac162c2d76df75a6690a_b.jpg& data-rawwidth=&560& data-rawheight=&201& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&560& data-original=&https://pic3.zhimg.com/81cac162c2d76df75a6690a_r.jpg&&&/figure&&br&&p&正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/e15e1db741930_b.jpg& data-rawwidth=&256& data-rawheight=&256& class=&content_image& width=&256&&&/figure&&br&&/p&&p&知乎不能传动态图真是太让人惋惜了……&/p&&p&想看动图的同学请戳这里：&/p&&p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_square_wave_circles_animation.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series square wave circles animation.gif&/a&&/p&&p&以及这里：&/p&&p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif&/a&&/p&&p&点出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki写的哪有这里的文章这么没节操是不是。&/p&&p&介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/e2e3c0af3bdbcba721cda9e_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&567& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/e2e3c0af3bdbcba721cda9e_r.jpg&&&/figure&&br&这是什么奇怪的东西？&/p&&p&这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/bd33d94e2fc8b174f0d14ab_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/bd33d94e2fc8b174f0d14ab_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&再清楚一点：&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/40cf849e55edd_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&481& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/40cf849e55edd_r.jpg&&&/figure&可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。&br&&/p&&p&动图请戳：&/p&&p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_and_transform.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series and transform.gif&/a&&/p&&p&老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。&/p&&p&但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？&/p&&br&&p&我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……&/p&&h2&三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱&/h2&&p&&u&上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。&/u&&/p&&p&在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。&/p&&p&先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：&/p&&p&先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。&/p&&p&好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。&/p&&p&别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？&/p&&p&好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。&/p&&p&但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。&/p&&p&所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。&/p&&p&再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。&/p&&p&傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。&/p&&p&————————————————————————————————————&/p&&p&下面我们继续说相位谱：&/p&&p&通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/01dc098e26a_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&856& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/01dc098e26a_r.jpg&&&/figure&&br&&p&鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ea7b14d1fc7e11d322fcb_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&758& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ea7b14d1fc7e11d322fcb_r.jpg&&&/figure&&br&这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。&/p&&p&在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”&/p&&p&注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。&br&&/p&&p&最后来一张大集合：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/77bab880cd55b6846f12_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&663& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/77bab880cd55b6846f12_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&四、傅里叶变换（Fourier Transformation）&/b&&/h2&&p&相信通过前面三章，大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过，这个栗子是一个公式错误，但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢？&br&&/p&&p&傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗：&/p&&h3&往昔连续非周期，&/h3&&h3&回忆周期不连续，&/h3&&h3&任你ZT、DFT，&/h3&&h3&还原不回去。&/h3&&p&（请无视我渣一样的文学水平……）&/p&&p&在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，可惜这些回忆都是零散的片段，往往只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。&/p&&p&是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。&/p&&br&&p&比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。&/p&&p&而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。&/p&&p&算了，还是上一张图方便大家理解吧：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/419cd0b2e965aca25d5f8a5a_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/419cd0b2e965aca25d5f8a5a_r.jpg&&&/figure&&br&或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。&/p&&p&所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。&/p&&p&因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？&/p&&h2&&b&你见过大海么？&/b&&/h2&&p&为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/a185beacc5372_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&383& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/a185beacc5372_r.jpg&&&/figure&&br&以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？&/p&&p&尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……&/p&&p&直到变得像波涛起伏的大海：&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ece53f825c6de629befba3de12f929a7_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&422& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ece53f825c6de629befba3de12f929a7_r.jpg&&&/figure&&br&&p&很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。&/p&&p&不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。&/p&&p&不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——&/p&&h2&五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式&/h2&&p&虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢?&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/42e1f6dc43eba389a5df4_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/42e1f6dc43eba389a5df4_r.jpg&&&/figure&这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。&br&&/p&&p&我们知道乘-1其实就是乘了两次 i使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了90度。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/3e88eebdda51dee88358_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/3e88eebdda51dee88358_r.jpg&&&/figure&&br&同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。&/p&&p&现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/ac148a3bb2_b.jpg& data-rawwidth=&161& data-rawheight=&20& class=&content_image& width=&161&&&/figure&这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于Pi的时候。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/57aabba66d545ab5a864cd_b.jpg& data-rawwidth=&93& data-rawheight=&20& class=&content_image& width=&93&&&/figure&经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数1和0，虚数i还有圆周率pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“&/p&&p&这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/974efc6a99e06dcdccbe93_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/974efc6a99e06dcdccbe93_r.jpg&&&/figure&&br&欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。&/p&&p&关于复数更深的理解，大家可以参考：&/p&&p&&a href=&http://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&复数的物理意义是什么？&/a&&br&&/p&&p&这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。&/p&&h2&&b&六、指数形式的傅里叶变换&/b&&/h2&&p&有了欧拉公式的帮助，我们便知道：&b&正弦波的叠加&/b&，也可以理解为&b&螺旋线的叠加&/b&在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？&/p&&p&&b&光波&/b&&/p&&p&高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/c2d7bfc819ebcbea8d6f2cd_b.jpg& data-rawwidth=&277& data-rawheight=&174& class=&content_image& width=&277&&&/figure&&br&所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。&/p&&p&但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从0到无穷所有频率的组合。&/p&&br&&p&这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：&/p&&p&第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。&/p&&p&另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bit%7D%3Dcos%28t%29%2Bi.sin%28t%29& alt=&e^{it}=cos(t)+i.sin(t)& eeimg=&1&&&br&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7B-it%7D%3Dcos%28t%29-i.sin%28t%29& alt=&e^{-it}=cos(t)-i.sin(t)& eeimg=&1&&&br&&p&将以上两式相加再除2，得到：&/p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=cos%28t%29%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bit%7D%2Be%5E%7B-it%7D%7D%7B2%7D+& alt=&cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2} & eeimg=&1&&&br&&p&这个式子可以怎么理解呢？&/p&&p&我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而cos(t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！&/p&&p&举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。&/p&&p&这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。&/p&&br&&p&好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：&/p&&p&想象一下再往下翻：&/p&&p&|&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/f116ae26859bdc80b28ea0f8f894ccc0_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&620& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/f116ae26859bdc80b28ea0f8f894ccc0_r.jpg&&&/figure&&br&是不是很漂亮？&/p&&p&你猜猜，这个图形在时域是什么样子？&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/0fdfa0a9b6eeac_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&628& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/0fdfa0a9b6eeac_r.jpg&&&/figure&&br&哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。&/p&&p&顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。&/p&&p&如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。&/p&&br&&p&好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/097cf436a72_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&980& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/097cf436a72_r.jpg&&&/figure&&p&好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：&/p&&br&&p&这篇文章第一次被写下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。&/p&&p&你们猜我的了多少分？&/p&&p&6分&/p&&p&没错，就是这个数字。而这6分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的6分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。&/p&&p&那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？&/p&&p&45分&/p&&p&没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。&/p&&p&在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。&/p&&p&后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。&/p&&p&这次，我考了满分，而及格率只有一半。&/p&&p&老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？&/p&&p&缺少了目标的教育是彻底的失败。&/p&&p&在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！&/p&&p&好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先讲本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！&/p&&p&这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。&/p&&p&最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。&/p&&p&本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。&/p&&p&最后，祝大家都能在学习中找到乐趣。…&/p&
作 者：韩 昊知 乎：Heinrich微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于，…
&ol&&li&国家一级的相关部门，比如统计局，海关，人行等都有大量的可用数据，《统计年鉴》就是统计局的数据产品之一；&br&&/li&&li&各省市地方的统计部门；&br&&/li&&li&行业组织和协会的统计数据，PMI就是中国物流与采购协会做的。他们的数据来自自己的团队渠道统计及会员企业的汇总；&/li&&li&各种付费的数据库，比如CEIC，他们相当于收集者；&br&&/li&&li&有些数据有专门的咨询机构在做，比如互联网的艾瑞，电影的艺恩，投资的清科等；&br&&/li&&li&部分大的投研机构有自建团队；&/li&&li&实际上，即使上述方式都行不通。你仍然可以通过100种方式找到合适的人来提供需要的数据，只要你肯花A.时间、B.金钱；当然，你还要有一颗想要获得靠谱数据的心。&/li&&/ol&（当年写报告时候打了几十通电话找到合适的人，或者花几万块钱去找所谓调查公司，只为了几个市面上找不到的数据，这种事情我会乱说么）&br&&br&以上
国家一级的相关部门，比如统计局，海关，人行等都有大量的可用数据，《统计年鉴》就是统计局的数据产品之一； 各省市地方的统计部门； 行业组织和协会的统计数据，PMI就是中国物流与采购协会做的。他们的数据来自自己的团队渠道统计及会员企业的汇总；各种…
很多刚入门的知友问如何学习数据分析，我录了个视频，用案例讲了怎样做数据分析，数据分析方法论，以及涉及哪些知识领域，请点击&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//dwz.cn/data-go& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&dwz.cn/data-go&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&访问。&br&&br&如果您看完下图了解到数据分析该如何入门，请随手点赞，谢谢~~&br&&br&&b&&u&数据分析知识结构简明图&/u&&/b&&br&&b&&u&正确的逻辑是：“方法论”（右图）指导“数据分析方法”的使用，分析工具（Python、R等）支撑“数据分析方法”，在学习工具的同时，千万不要忘记方法论的指导。&/u&&/b&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/2bddaaceec8de06c0e0244_b.jpg& data-rawwidth=&1680& data-rawheight=&1050& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1680& data-original=&https://pic