【数学】已知三个非零向量abc中的任意两个都不共线,若a+b与c共线,且b+c与a共线,试问：向量a+向量c与向量b是否共线?证明你的结论.-学路网-学习路上 有我相伴
已知三个非零向量abc中的任意两个都不共线,若a+b与c共线,且b+c与a共线,试问：向量a+向量c与向量b是否共线?证明你的结论.
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已知非零向量AB,AC和BC满足(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0,且AC?...试题答案:∵非零向量AB,AC和BC满足(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0,∴∠A的角平分线与BC边垂直,∴△ABC为等腰三角形,∵AC?BC|AC|?|BC|=22,∴cos∠C=AC?BC|AC|?|BC|=...已知非零向量AB与向量AC满足(向量AB除以/向量AB/+向...向量AB与向量AC满足(向量AB比向量AB的摩+向量AC比向量AC的摩)*向量BC=0,可知AB与AC边上的单位向量的和与BC垂直,由向量加法的平行四边形法则可知两个单位向量...已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是A.a&#47...∵|a+b|=|a-b|∴(|a+b|)²=(|a-b|)²即a²+2ab+b²=a²-2ab+b²∴4ab=0∴ab=0∴a⊥b,选B已知非零向量AB与AC满足(AB/|AB|+AC/|AC|)*BC=0,且(A...|AB|表示AB边的单位向量,AC/|AC|表示AC边的单位向量,所以(AB/|AB|+AC/|AC|)表示的向量在角BAC的角平分线上,因为(AB/|AB|+AC/|AC|)*BC=0,所...已知两个非零向量e1,e2不共线,如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,A...CD=AC+AD=5e1+5e2=5(e1+e2)=5ABAD=3e1-3e2=5(e1+e2)-(2e1+8e2)=5AB-AC因此ABCD共面已知三个非零向量abc中的任意两个都不共线,若a+b与c共线,且b+c与a共线,试问：向量a+向量c与向量b是否共线?证明你的结论.(图3)已知三个非零向量abc中的任意两个都不共线,若a+b与c共线,且b+c与a共线,试问：向量a+向量c与向量b是否共线?证明你的结论.(图5)已知三个非零向量abc中的任意两个都不共线,若a+b与c共线,且b+c与a共线,试问：向量a+向量c与向量b是否共线?证明你的结论.(图7)已知三个非零向量abc中的任意两个都不共线,若a+b与c共线,且b+c与a共线,试问：向量a+向量c与向量b是否共线?证明你的结论.(图9)已知三个非零向量abc中的任意两个都不共线,若a+b与c共线,且b+c与a共线,试问：向量a+向量c与向量b是否共线?证明你的结论.(图11)已知三个非零向量abc中的任意两个都不共线,若a+b与c共线,且b+c与a共线,试问：向量a+向量c与向量b是否共线?证明你的结论.(图18)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:已知三个非零向量abc中的任意两个都不共线,若a+b与c共线,且b+c与a共线,试问：向量a+向量c与向量b是否共线?证明你的结论.已知两个非零向量e1,e2不共线,如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,A...CD=AC+AD=5e1+5e2=5(e1+e2)=5ABAD=3e1-3e2=5(e1+e2)-(2e1+8e2防抓取，学路网提供内容。我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:已知三个非零向量abc中的任意两个都不共线,若a+b与c共线,且...0向量因为(a+b)//c,(b+c)//a,设a+b=αc,b+c=βa两式相减得a-c=αc-βa,移项得(1+α...a因为防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:已知a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b则a与b的夹角是...(a-2b)⊥a得a^2-2ba=0.a^2=2ab,|a|^2=2ab.(b-2a)⊥b得b^2-2ba=0.b^2防抓取，学路网提供内容。(a+b)=λc已知非零向量AB,AC和BC满足(AB/|AB|+AC/|AC|)BC=0,且...(AB/|AB|+AC/|AC|)BC=0,说明角A的角平分线与BC边垂直,可判断三角形为等腰三角形防抓取，学路网提供内容。(b+c)=ua已知三个非零向量a,b,c满足a+b+c=0,试问表示他们的有向线段...不是。必须满足a,b,c不共线。防抓取，学路网提供内容。两式相减得：已知向量abc是三个非零向量,a垂直于b,实数x1,x2是方程ax^2+...∵X1,X2,是方程ax²+bx+c=0的两个实根∴ax1²+bx1+c=0....(1)ax2&su防抓取，学路网提供内容。a-c=λc-ua有图，已知3个非齐次方程的解，求这个方程的通解？...答：非齐次线性微分方程两个特解的差是其对应的齐次线性微分方程的解(1-x^2)、(x-x^2)线性无关，可以作为对应的齐次线性微分方程的通解1，x防抓取，学路网提供内容。(1+u)a=(1+λ)c已知三个非零实数abc同时满足ax=b+c，bx=c+a，cx=a...问：已知三个非零实数abc同时满足ax=b+c，bx=c+a，cx=a+b，则a的值为答：应该是求x吧，a可以为满足a+b+c=防抓取，学路网提供内容。如果u= - 1,则λ= -1,此时也不能说明：a,c共线；已知三个非负数a,b,c满足3a+2b+c=5，2a+b一3c=1，...问：已知三个非负数a,b,c满足3a+2b+c=5，2a+b一3c=1，若m=3a+b一7c，求m的...答：先找出关于m=3防抓取，学路网提供内容。如果 u≠1a=(1+λ)/(1+u)c,a,c,共线；已知3个非负数a，b，c满足条件：3a+2b+c＝52a+b?3c...问：已知3个非负数a，b，c满足条件：3a+2b+c＝52a+b?3c＝1，3a+b-7c的最大值...答：解方程组3a+2b+防抓取，学路网提供内容。已知三个非零向量abc中的任意两个都不共线,若a+b与c共线,且...0向量因为(a+b)//c,(b+c)//a,设a+b=αc,b+c=βa两式相减得a-c=αc-βa,移项得(1+α...a因为向量a、c中不平行,所以只有1+α=0,1+β=0即α=-1,β=-1也就是a+b=-c即...已知a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b则a与b的夹角是...(a-2b)⊥a得a^2-2ba=0.a^2=2ab,|a|^2=2ab.(b-2a)⊥b得b^2-2ba=0.b^2=2ab,|b|^2=2ab.ab=|a||b|cosxcosx=ab/(|a||b|)=ab/2ab=1/2x=60度已知非零向量AB,AC和BC满足(AB/|AB|+AC/|AC|)BC=0,且...(AB/|AB|+AC/|AC|)BC=0,说明角A的角平分线与BC边垂直,可判断三角形为等腰三角形,又AC/|AC|*BC/|BC|=根号2/2,角C的余弦值为二分之根号2,角C为45度,故三角形为等腰直角...已知三个非零向量a,b,c满足a+b+c=0,试问表示他们的有向线段...不是。必须满足a,b,c不共线。
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必修四2.4.2平面向量线性运算的坐标表示优秀试题练习题
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平面向量的线性运算（课后练习）
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1．下列等式：①0eqavs4al（－）a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋（－a）＝0；④a＋0eqavs4al（＝）a；⑤a－b＝a＋（－b）．正确的个数是（）
A．2 B．3C．4 D．5
2．若a＋b＋c＝0，则a，b，c（）
A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B．一定不可能构成三角形
C．都是非零向量时能构成三角形D．一定可构成三角形
3．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则eqf（||，||）的值为（）
A.eqf（1，2） B.eqf（1，3）C.eqf（1，4） D.eqf（1，6）
4．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），那么＝（）
A.eqf（1，2）－eqf（1，3） B.eqf（1，4）＋eqf（1，2）
C.eqf（1，3）＋eqf（1，2） D.eqf（1，2）－eqf（2，3）
5．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于（）
A．30° B．60°C．90° D．120°
6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＋＝，则点P与△ABC的关系为（）
A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部
C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.
8．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．
9．设向量e1，e2不共线，＝3（e1＋e2），＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．
10．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m，n的值．
11.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝eqf（2，3），＝a，＝b.2017高考数学一轮考点训练-平面向量与复数（含答案）
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2017高考数学一轮考点训练-平面向量与复数（含答案）
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2017高考数学一轮考点训练-平面向量与复数（含答案）
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y k J.COm 第五章 平面向量与复数考纲链接&1.平面向量(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示．(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．2．数系的扩充和复数的引入(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．(2)了解复数的代数表示法及其几何意义．(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．
§5.1　平面向量的概念及线性运算&&
1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB→的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.aa是一个与a同向的____________．－a|a|是一个与a________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________．(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．2．向量的加法和减法(1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为________以第二个向量b的终点B为________的向量OB→就是a与b的________(如图1)．推广：A1A2→＋A2A3→＋…＋An－1An＝____________.&&&&&&&&& 图1&&&&&&&& 　　　　图2
②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2)．在图2中，BC→＝AD→＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a＋b＝____________(交换律)；(a＋b)＋c＝____________(结合律)；a＋0＝____________＝a.(2)向量的减法&已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝____________，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①λa＝____________；②当λ&0时，λa与a的方向____________；当λ&0时，λa与a的方向____________；当λ＝0时，λa＝____________.(2)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝____________；②(λ＋μ)a＝____________；③λ(a＋b)＝____________.4．两个向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．
自查自纠：1．(1)大小　方向　长度　AB→　(2)长度为0　任意(3)1个单位长度　单位向量　方向相反(4)相同　相反　非零　共线向量　平行(5)相等　相同　(6)相等　相反(7)字母　有向线段　坐标2．(1)①起点　终点　和　A1An→　②对角线AC→③b＋a　a＋(b＋c)　0＋a　(2)a－b3．(1)λa　①|λ||a|　②相同　相反　0(2)①μ(λa)　②λa＋μa　③λa＋λb4．b＝λa
& 设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)A．0& B．1& C．2& D．3解：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.& 设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则(　　)A.AD→＝－13AB→＋43AC→& &B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→& &D.AD→＝43AB→－13AC→解：AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13(AC→－AB→)＝－13AB→＋43AC→.故选A.& (;湖北联考)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，则OC→等于(　　)A．2OA→－OB→& &B．－OA→＋2OB→C.23OA→－13OB→& &D．－13OA→＋23OB→解：由2AC→＋CB→＝0得2OC→－2OA→＋OB→－OC→＝0，故OC→＝2OA→－OB→.故选A.& (;北京)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________，y＝________．解：在△ABC中，MN→＝AN→－AM→＝12(AB→＋AC→)－23AC→＝12AB→－16AC→，所以x＝12，y＝－16.故填12；－16.& (;全国)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．解：由于λa＋b与a＋2b平行，且a＋2b≠0，∴存在唯一的实数μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0.∵a，b不平行，&&&&&&&& ∴λ－μ＝0，1－2μ＝0， 解得λ＝μ＝12.故填12.
&类型一　向量的基本概念&　给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，可得AB→＝DC→.故“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．由a＝b可得|a|＝|b|且a∥b；由|a|＝|b|且a∥b可得a＝b或a＝－b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
点拨：(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是a方向上的单位向量．
&　下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB→与向量CD→共线，则A，B，C，D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b为零向量，则a与c不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.类型二　向量的线性运算&　(1) 在△ABC中，AB边上的高为CD，若CB→＝a，CA→＝b，a•b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝(　　)A.13a－13b& &&B.23a－23bC.35a－35b& &&D.45a－45b解：∵a•b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝5，CD＝255，∴BD＝55，AD＝455.∴AD→＝45AB→＝& 45(CB→－CA→)＝45a－45b.故选D.
(2)在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于(　　)A.23b＋13c& &&B.53c－23bC.23b－13c& &&D.13b＋23c解：∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝2(AC→－AD→)，∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.故选A.
点拨：(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
&　(1)(;福建模拟)在△ABC中，AD→＝2DC→，BA→＝a，BD→＝b，BC→＝c，则下列等式成立的是(　　)A．c＝2b－a& &B．c＝2a－bC．c＝3a2－b2& &D．c＝3b2－a2解：因为在△ABC中，BC→＝BD→＋DC→＝BD→＋& 12AD→＝BD→＋12(BD→－BA→)＝32BD→－12BA→，所以c＝32b－12a.故选D.
&(2)(;全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝(　　)A.AD→& B.12AD→& C.BC→& D.12BC→解：EB→＋FC→＝12(AB→＋CB→)＋12(AC→＋BC→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→.故选A.类型三　向量共线的充要条件及其应用&　已知A，B，C是平面内三个不相同的点，O是平面内任意一点，求证：向量OA→，OB→，OC→的终点A，B，C共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.证明：(1)先证必要性．若OA→，OB→，OC→的终点A，B，C共线，则AB→∥BC→，∴存在实数m使得BC→＝mAB→，即OC→－OB→＝m(OB→－OA→)，∴OC→＝－mOA→＋(1＋m)OB→.令λ＝－m，μ＝1＋m，则λ＋μ＝－m＋1＋m＝1，即存在实数λ，μ，使得OC→＝λOA→＋μOB→，且&&& λ＋μ＝1.(2)再证充分性．若OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1，则OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→，∴OC→－OB→＝λ(OA→－OB→)，即BC→＝λBA→，∴BC→∥BA→，又BC与BA有公共点B，∴A，B，C三点共线．综合(1)(2)可知，原命题成立．
点拨：证明三点A，B，C共线，借助向量，只需证明由这三点A，B，C所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB→＝λBC→.但证明两条直线AB∥CD，除了证明存在一个实数λ，使AB→＝λCD→外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．
&　(1)已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)A．A，B，D& &&B．A，B，C& C．B，C，D& &&D．A，C，D解：BD→＝BC→＋CD→＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝ 2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB→，∴A，B，D三点共线．故选A.
(2)设两个非零向量a与b不共线，若ka＋b和a＋kb共线，则实数k＝________.解：∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是两个不共线的非零向量，∴k－&& λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.故填±1.
(3)(;南京模拟)如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP→＝mOA→，OQ→＝nOB→，m，n∈R，则1n＋1m的值为________．&解法一：∵G是△OAB的重心，∴OG→＝13(OA→＋OB→)＝13mOP→＋13nOQ→.由P，G，Q三点共线可得，& 13m＋13n＝1，故1m＋1n＝3.解法二：设OA→＝a，OB→＝b，由题意知OG→＝23×12(OA→＋OB→)＝13(a＋b)，PQ→＝OQ→－OP→＝nb－ma， PG→＝OG→－OP→＝13－ma＋13b.由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得PQ→＝λPG→，且λ≠0，即&&&& nb－ma＝λ13－ma＋13λb，从而－m＝λ13－m，n＝13λ，消去λ得1n＋1m＝3.故填3.
1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：(1)a∥b，有a与b方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a|＝|b|⇒/a＝±b；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a，aa是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：(1)当a＝0时，a与任一向量b都是共线的；(2)当a＝0且b≠0时，b＝λa是不成立的，但a与b共线．因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a≠0.换句话说，如果不加条件“a≠0”，“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是(　　)A．a＝－b& &B．a∥bC．a＝2b& &D．a∥b且|a|＝|b|解：由题意a|a|＝b|b|表示与向量a和向量b同向的单位向量相等，故a与b同向共线．故选C.2．已知两个非零向量a，b不共线，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是(　　)A．－2& B．－1& C．1& D．2解：∵BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴AB→，BD→共线．设AB→＝λBD→，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ且p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.故选B.3．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM→＝λOB→＋(1－λ)OA→，实数λ∈(1，2)，则(　　)A．点M在线段AB上& B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上& D．O，A，M，B四点一定共线解：由题意得OM→－OA→＝λ(OB→－OA→)，即AM→＝λAB→.又λ∈(1，2)，∴点B在线段AM上．故选B.4．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a, AC→＝b，则AD→＝(　　)&A．a－12b&&B.12a－bC．a＋12b&&D.12a＋b解：连接OD，CD，显然∠BOD＝∠CAO＝60°，则AC∥OD，且AC＝OD，即四边形CAOD为菱形，故AD→＝AO→＋AC→＝12a＋b，故选D.5．已知平面内一点P及△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则点P与△ABC的位置关系是(　　)A．点P在线段AB上& B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上& D．点P在△ABC外部解：由PA→＋PB→＋PC→＝AB→得PA→＋PC→＝AB→－PB→＝AP→，即PC→＝AP→－PA→＝2AP→，所以点P在线段AC上．故选C.6．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若EF→＝mAB→＋nAD→(m，n∈R)，则mn的值为(　　)A．－2& B．－12& C．2& D.12解：设AB→＝a，AD→＝b，则EF→＝ma＋nb，BE→＝AE→－AB→＝12b－a，由向量EF→与BE→共线可知存在非零实数λ，使得EF→＝λBE→，即ma＋nb＝12λb－λa，又a与b不共线，则m＝－λ，n＝12λ， 消去λ得mn＝－2.故选A.7．如图，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ＝______．&解：由B，H，C三点共线，可令AH→＝xAB→＋&&& (1－x)AC→.又M是AH的中点，所以AM→＝12AH→＝&& 12xAB→＋12(1－x)AC→.又AM→＝λAB→＋μAC→，所以λ＋μ＝12x＋12(1－x)＝12.故填12.8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________．解：OB→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝ AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，即平行四边形的对角线相等，故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．故填直角三角形．9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且&&&&& AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若AB→＝a，AD→＝b，试用a，b表示BC→和MN→.&解：BC→＝BA→＋AD→＋DC→＝－a＋b＋12a＝b－12a.MN→＝MD→＋DA→＋AN→＝－14a＋(－b)＋12a＝14a－b.10．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝&&& －8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝&&& 2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．解：(1)证明：∵AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2， CD→＝－8e1－2e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2＝－12(－8e1－2e2)＝－12CD→，∴AC→与CD→共线．又∵AC→与CD→有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)AC→＝AB→＋BC→＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A，C，D三点共线，∴AC→与CD→共线，从而存在实数λ使得AC→＝λCD→，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得3＝2λ，－2＝－λk，解得λ＝32，k＝43.故k的值为43.11．如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示向量OM→.&解：∵A，M，D三点共线，∴OM→＝λ1OD→＋(1－λ1)OA→＝12λ1b＋(1－λ1)a，①∵C，M，B三点共线，∴OM→＝λ2OB→＋(1－λ2)OC→＝λ2b＋1－λ24a，②由①②可得12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ24， 解得λ1＝67，λ2＝37. 故OM→＝17a＋37b.& 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3→＝λA1A2→(λ∈R)，A1A4→＝μA1A2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是(　　)A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上解：若C，D调和分割点A，B，则AC→＝λAB→(λ∈R)，AD→＝μAB→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2.对于选项A，若C是线段AB的中点，则AC→＝12AB→⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A选项错误；同理B选项错误；对于选项C，若C，D同时在线段AB上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒ 1λ＋1μ＞2，C选项错误；对于选项D，若C，D同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，D选项正确．故选D.文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y k J.COm
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