一道第二类曲面积分某问题问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-18 11:10 标签： 第二类曲面积分对称性
一道曲面积分
问题描述：
一道曲面积分
问题解答：
再问： 前两个积分为什么是0呢？ 再答： 这个抛物面z = 2 - x^2 - y^2分别关于x和y都是对称的所以如果被积函数中出现有关x和y是奇函数的话，该积分就等于0
我来回答：
剩余:2000字
(1)设原积分=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy由于满足R'y=Q'z,P‘z=R'x,Q'x=P'y,所以原积分在任何一个包含原点的闭曲面上的积分都相等.取任意球面α：x^2+y^2+z^2=a^2原积分=∫∫α Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(1/a^3)∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy (高斯定
圆柱面,因为从侧面展开是一个长方形,所以dS=2πRdz所以原积分=∫(0->H) 2πRdz/(R^2+z^2)=2π∫(0->H) d(z/R)/[1+(z/R)^2]=2πarctan(z/R) |(0->H)=2πarctan(H/R)不懂的可以随时追问
第一个波浪线处,因为∑1上,z=1,dz=0带入那个式子,就得到=0第二个波浪线处,因为Ω是关于平面yoz和xoz对称的,所以∫∫∫xdΩ=0,∫∫∫ydΩ=0
如果用高斯公式,那么要添加平面Σ1:x=0,Σ2:y=0,Σ3:z=0与S构成封闭曲面.∫∫Σ1z^2dxdy=0(x=0,dxdy=0)∫∫Σ2z^2dxdy=0(y=0,dxdy=0)∫∫Σ1z^2dxdy=0(z=0)
利用Gauss公式求解.因为题中S只为曲面上半部分,而高斯公式是转化到曲面围成的体积.所以你要先求出半球下面圆形的第二型曲面积分,因为z=0了此时,所以补充面的第二型曲面积分等于0.那么利用高斯公式转化成的三重积分值等于4πk^5,也就是这个曲面积分的值啦~原来是同一个人.
S在xoy面上的投影区域Dxy是x^2+y^2≤1.S在上侧的法向量n=(x,y,z),所以dzdx/dxdy=y/z.
球面的第一象限所以化球坐标r=1,x=cosθsinφ,y=sinθsinφ,z=cosφθ∈[0,π/2],φ∈[0,π/2],原式可以化为∫∫sinθsin^3φcosθcos^2φdθdφ=-1/15
曲面是…没错,但这只是表示一个锥面,而被柱面截取后表示只计算被截取的那部分.显然你没有深刻理解此类问题,第四节的论述很清楚,例题也讲得很明白,建议你再看一遍
利用二重积分的对称性
①.∫(2x + z)dydz 中 在dydz平面,要置换 x＝±√(z-y²),z保留,所以＝∫(2√(z-y²)+z)(-dydz) 至于 (-dydz) 中符号是因为区域S取后侧方向；②.后半部分( + dydz) ,虽然你省略了正号,注意x中有±的,表示曲面分前半部分和后半分的,分开计算而已
面积=∫∫√[1+(z'x)²+(z'y)² dxdy其中z'x = -x/z,z'y = -y/z√[1+(z'x)²+(z'y)² = |a/z|现在分析被积区域的取值范围先考虑z>0部分,余下的z0部分面积一样交线在平面z=0的投影是x²+y²=ax,写
总共四个曲面,分别在三个坐标平面上各有一个,先计算z=0,D: x>=0,y>=0,x+y=0,z>=0,x+z=0,y>=0,x+y
面积 = ∫∫dS = ∫∫√[1+(z'x)²+(z'y)²]dxdy第二个是二重积分,z = f(x,y)是围成立体的上下两个面,就是躺着的圆柱体表面x² + z² = R²的一部分,且在xOy平面上的投影是圆x² + y² = R²
就是把y=2Z,Z=y/2代入到曲面S的方程中得到,所谓在xoy平面投影就是消去方程中Z.
第一个是对坐标的曲面积分,dxdy=dScosγ=0,即曲面在xoy平面投影为零,所以积分值为0第二个是对面积的曲面积分,因为x^2+y^2=1,所以被积函数化简为1,此时,就是圆柱体的侧面积,即为2π*1*1=2π,所以第二个积分值是2π.区别就在于：dxdy就是指dS在xoy平面的投影分量；而dS则必须在投影不为零
I=4∫∫[S1]xyzdsS1为曲面在第一卦限内的部分用柱面坐标xyz=r^2*sinθcosθ*z,|J|=rθ∈[0,π/4],z∈[0,1],r∈[0,√z]=&I=4∫[0,π/4]dθ∫[0,1]dz∫[0,√z]r^3*sinθcosθ*zdr=4/32=1/8
令P=2x,Q=yz,R=-z²∵αP/αx=2,αQ/αy=z,αR/αz=-2z∴根据高斯公式得原式=∫∫∫(αP/αx+αQ/αy+αR/αz)dxdydz (V是S围城的空间区域)=∫∫∫(2-z)dxdydz=∫dθ∫rdr∫(2-z)dz (应用柱面坐标变换)=2π∫[2r√(2-r²)
用斯托克斯公式证明rotf=0,再添加辅助球即作.
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高等数学 第二型曲面积分中 ，投影到某个平面为一条直线就记为零 ，可是这样不是不符合面上任何两点的第二型曲面积分中 ，投影到某个平面为一条直线就记为零 ，可是这样不是不符合面上任何两点的投影点不能重合这个条件吗？
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积分区域垂直平面，那么在平面上的投影就是一条直线所以就是0
可是投影为一条直线 不是不符合 曲面上任意两点投影不能重合的条件吗
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求问一个有关于高等数学对坐标的曲面积分的问题，就是说，比如一个球心在原点的球面的第一卦限部分，那么
求问一个有关于高等数学对坐标的曲面积分的问题，就是说，比如一个球心在原点的球面的第一卦限部分，那么它的上侧前侧和右侧是不是没有什么分别呢？...
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来自科学教育类芝麻团
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答：是一样的，但是楼主这样的叫法有些奇怪，一般性我们直接会说“球面的外侧在第一卦限的部分”，因为一般来说都是按z=z（x，y）来投影至XOY平面来做，楼主这样的叫法会让人产生投影至YOZ或XOZ平面的感觉，但结果都是一样的。希望对你有帮助哦
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关于第二型曲面积分的一道题题目：质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力 F 作用(如图). F 的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于 π/ 2 .求变力 F 对质点P所作的功.因为本人物理学的不好.哪位大神帮我解释一下,标准答案中F=-yi+xj怎么看出来的.在此谢过了.
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向量OP=(x,y),F⊥OP就是两者的数量积相等,F长度相等OP,OP且与y轴正向的夹角小于 π/ 2所以当然F=-yi+xj
为什么不是F=xi+-yj
与y轴正向的夹角小于 π/ 2
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我没用高斯直接算的，前两项直接等于0，投影在xoy面上算出来和答案不一样…答案是加平面用高斯，看的我快抑郁了不知道自己哪里错了，有考数一的帮看看吗，题目来自15年超越第四套来自萌萌哒奥利奥
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顶顶别掉了?来自萌萌哒奥利奥
这肯定用加平面高斯公式啊！不然三项你还要代曲面方程太麻烦而且容易错
你旋转后不封闭。。哪里来的对称。
你总要把步骤发上来看看啊。。想法是没问题 说不定是计算错了啊。。
我算了一下，一样的啊。。
请大家帮忙看一看，我头都大了，谢谢大家来自萌萌哒奥利奥
没问题，我用高斯算了一遍，也是这个，高斯还更麻烦
变平域后x重机锋为0不用算了
朋友们你们不能觉得我字丑就主观臆断叫我兄弟?谁是你兄弟啊，我是你们二战的学姐来自萌萌哒奥利奥
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你前三套卷子能得多少分啊
答案来自萌萌哒奥利奥
鹰大哥，你别删了?你说我没错是吗来自萌萌哒奥利奥
我来终结此贴好吧，高斯法和直接法都是楼主算的答案，题目的给的答案是错的，就这么简单，我刚才用两种方法做的都和楼主的答案一样
谢谢每一位进来的朋友，楼主算的没有错，是答案错了，祝大家数学都高分！来自萌萌哒奥利奥
Y的平方那项，怎么变成0的啊？不是偶函数吗
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