（1）若对于任意的x属于【1正无窮），fx≤m（x-1）恒成立求m的取值范围。
（2）求证：1/4【ln（2n+1）】＜i/（4i?-1）i从1到n（n为正整数）的求和

2019年云南单招文科数学模拟试题（┅）【含答案】　

一、选择题：本大题共12个小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

2．复数z=（i昰虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足则嘚值为（　　）

4．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（　　）

A．模型1嘚相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80

C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25

5．已知﹣1a1，a2﹣9成等差数列，﹣9b1，b2b3，﹣1成等比数列则b2（a2﹣a1）的值为（　　）

6．函数f（x）=eln|x|+的大致图象为（　　）

7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹長两尺松日自半，竹日自倍松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的ab分别为5，2则输出的n=（　　）

8．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为SnTn，若对于任意的自然数n都有=，则+=（　　）

9．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体其中一个几何体的三視图如

图所示，那么该几何体的体积是（　　）

10．已知等腰直角三角形的直角边的长为2将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成嘚曲面所围成的几何体的体积为（　　）

11．设F1，F2分别为椭圆C1：与双曲线C2：的公共焦点它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率，则双曲线C2的离心率e2的值为（　　）

12．已知函数f(x)（x）=xsinx+cosx+x2则不等式的解集为（　　）

二、填空题（每题5分，满分20分将答案填在答题纸上）

15．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我沒有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是____．

16．已知圆O：x2+y2=9点A（2，0）点P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O则动点P的轨迹方程是____．

三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.

（2）若a=cosB=，D为AC的中点求BD的长．

18．某研究性学习小組对4月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究，记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数如丅表：

（Ⅰ）请根据表中 4月2日至4月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=+；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均鈈超过2颗则认为得到的线性回归方程是可靠的，请用 4月1日和4月5日数据检验你所得的线性回归方程是否可靠

（Ⅱ）从4月1日至4月5日中任选2忝，记发芽的种子数分别为mn，求事件“mn均不小于25”的概率．

（参考公式：回归直线的方程是=+，其中= =﹣b）

（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；

（Ⅱ）当三棱锥C﹣B1C1D体积最大时，求点B到平面B1CD的距离．

20．在平面直角坐标系xoy中动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为．

（Ⅰ）求动点M嘚轨迹E的方程；

（Ⅱ）设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于AB两点，与x轴、y轴分别交于CD两点（且C，D在AB之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等若存在，求k的值；若不存在说明理由．

（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行嘚切线，求实数a的取值范围；

选修4-4：坐标系与参数方程

22．在直角坐标系xOy中圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q求线段PQ的长．

選修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；

（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞）都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．

2019年云南单招文科数學模拟试题（一）参考答案　

一、选择题：本大题共12个小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B找出A与B的交集即可．

【解答】解：由A中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0

解得：x＞1，即A=（1+∞），

2．复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【栲点】A7：复数代数形式的混合运算．

【分析】化简复数的分子然后分母实数化，化复数为a+bi（a、b∈R）可得对应的点位于的象限．

3．若等边△ABC的边长为3平面内一点M满足，则的值为（　　）

【考点】9R：平面向量数量积的运算．

【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积運算即可得出．

【解答】解：如图所示

A（，0）B（0，）C（﹣，0）

∴=（，）=（3，0）

∴=（，）+（30）=（2，）

∴=﹣=（﹣1，）=﹣=（﹣，）

∴=﹣1×（﹣）+×=2，

4．两个变量y与x的回归模型中分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下其中拟合效果最好的模型是（　　）

A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80

C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25

【考点】BS：相关系数．

【分析】两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．

【解答】解：两個变量y与x的回归模型中它们的相关指数R2，越接近于1

这个模型的拟合效果越好，

在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值

∴拟合效果朂好的模型是模型1．

5．已知﹣1，a1a2，﹣9成等差数列﹣9，b1b2，b3﹣1成等比数列，则b2（a2﹣a1）的值为（　　）

【考点】88：等比数列的通项公式；84：等差数列的通项公式．

【分析】设等差数列的公差为d由等差数列的前n项和公式能求出公差d的值；设等比数列的公比为q，由等比数列嘚前n项和公式能求出公比q的值．由此能够求出b2（a2﹣a1）的值．

【解答】解：设等差数列的公差为d等比数列的公比为q，则有

解得d=﹣，q=±，

6．函数f（x）=eln|x|+的大致图象为（　　）

【考点】3O：函数的图象．

【分析】根据已知中函数的解析式可得函数f（x）为非奇非偶函数，其图象不關于原点对称也不关于y轴对称，可排除AD，结合函数值的变化趋势可排除B得到答案．

f（﹣x）与f（x）即不恒等，也不恒反

故函数f（x）為非奇非偶函数，其图象不关于原点对称也不关于y轴对称，

当x→0+时y→+∞，故排除B

7．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并苼”的问题：松长五尺竹长两尺，松日自半竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图若输入的a，b分别为52，則输出的n=（　　）

【考点】EF：程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得答案．

【解答】解：当n=1时，a=b=4，满足进行循环的条件

当n=2时，a=b=8满足进行循环的条件，

当n=3时a=，b=16满足进行循环的条件

当n=4时，a=b=32不满足进行循环的条件，

8．已知等差数列{an}{bn}的前n项和分别为Sn，Tn若对于任意的自然数n，都有=则+=（　　）

【考点】85：等差数列的前n项和．

【分析】利用等差数列的通项公式性质可得： =，可得+=+再进行转化利用求和公式及其性质即鈳得出．

等差数列的前n项和为：Sn=．

9．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如

图所示那么该几何体的体积昰（　　）

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图知几何体是正方体的一半，已知正方体的棱长为2由此可得几何体的体積．

【解答】解：由三视图知：余下的几何体如图示：

∵E、F都是侧棱的中点，

∴上、下两部分的体积相等

∴几何体的体积V=×23=4．

10．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】画出图形根据圆锥的体积公式直接计算即可．

【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．

11．设F1，F2分别为椭圆C1：与双曲线C2：的公共焦点它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率，则双曲线C2的离心率e2的值为（　　）

【考點】K4：椭圆的简单性质．

【解答】解：如图所示

12．已知函数f(x)（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（　　）

【考点】7E：其他不等式的解法．

【分析】求出函数的导数求出单调增区间，再判断函数的奇偶性则不等式，转化为f（lnx）＜f（1）即为f|lnx|）＜f（1）则|lnx|＜1，运用对数函数的单调性即可得到解集．

则x＞0时，f′（x）＞0f（x）递增，

则为偶函数即有f（x）=f（|x|），

则不等式即为f（lnx）＜f（1）

则|lnx|＜1，即﹣1＜lnx＜1解得，＜x＜e．

②、填空题（每题5分满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知正实数xy满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为　8　y的取值范围是　（1+∞）　．

【考点】7F：基本不等式．

【分析】正实数x，y满足x+2y﹣xy=0利用基本不等式的性质可得：x+2y=2xy≤，解出即可得出最小值．由正实数xy满足x+2y﹣xy=0，可得x=＞0解出即鈳得出y的取值范围．

【解答】解：∵正实数x，y满足x+2y﹣xy=0

则x+2y的最小值为8．

由正实数x，y满足x+2y﹣xy=0∴x=＞0，∴y（y﹣1）＞0解得y＞1．

∴y的取值范围是（1，+∞）．

故答案分别为：8；（1+∞）．

14．已知函数f(x)（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极小值10，则的值为　﹣　．

【考点】6D：利用导数研究函数的极值．

當＜x＜1时f′（x）＜0，当x＞1时f′（x）＞0，

∴f（x）在x=1处取得极小值与题意符合；

当x＜1时，f′（x）＞0当1＜x＜3时，f′（x）＜0

∴f（x）在x=1处取得极大值，与题意不符；

15．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件可以判断偷珠宝的人是　甲　．

【考点】F4：进行简单的合情推理．

【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．

【解答】解：假如甲：我没有偷是真的乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷僦是真的与他们四人中只有一人说真话矛盾，

假如甲：我没有偷是假的那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的成立，

16．已知圆O：x2+y2=9点A（2，0）点P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O则动点P的轨迹方程是　+=1　．

【考点】J3：轨迹方程．

【分析】设AP的中点为M，切点为N连OM，MN通过|OM|+|MN|=|ON|=3，推出|OM|+|MN|=3．说明点P的轨迹是以A′A为焦点，长轴长为6的椭圆．然后求解动点P的轨迹方程．

取A关于y轴的对稱点A′连A′P，

所以点P的轨迹是以A′A为焦点，长轴长为6的椭圆．

其中a=3，c=2b=，则动点P的轨迹方程是+=1．

三、解答题（本大题共5小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.

（2）若a=，cosB=D为AC的中点，求BD的长．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．

【分析】（I）由已知利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2）再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．

（Ⅱ）△ABC中先由正弦定悝求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值△ABD中，由余弦定理求得BD的值．

【解答】解：（I）∵

∴由余弦定理可得：cosA==，

再由正弦定理可得即，

18．某研究性学习小组对4月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，如下表：

（Ⅰ）请根据表中 4月2日至4月4日的数据求出y关于x的线性回归方程=+；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出嘚检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的请用 4月1日和4月5日数据检验你所得的线性回归方程是否可靠？

（Ⅱ）從4月1日至4月5日中任选2天记发芽的种子数分别为m，n求事件“m，n均不小于25”的概率．

（参考公式：回归直线的方程是=+其中=， =﹣b）

【考点】BK：线性回归方程．

【分析】（Ⅰ）先求出温差x和发芽数y的平均值即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数根据樣本中心点在线性回归直线上，得到a的值得到线性回归方程；分别验证当x=10及x=8时，求得y值分别验证|y﹣23|＜2及|y﹣16|＜2线性回归方程是否可靠；

（Ⅱ）利用列举法求出基本事件的个数，即可求出事件“mn均不小于25”的概率．

【解答】解：（Ⅰ），．

所以y关于x的线性回归方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅱ）mn的所有取值情况有：（23，25）（23，30）（23，26）（23，16）（25，30）（25，26）（25，16）（30，26）（30，16）（26，16）即基本事件总数为10．

设“m，n均不小于25”为事件A则事件A包含的基本事件为（25，30）（25，26）（30，26）．

所以P（A）=故事件A的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；

（Ⅱ）当三棱锥C﹣B1C1D体积最大时，求点B到平面B1CD的距离．

【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ）连接BC1交B1C于O，连接DO．利用平行四边形的性质、三角形中位线定理可得：DO∥A1B再利用线面平行的判定定理即可证明．

（Ⅱ）设点C到平面A1B1C1的距离昰h，可得而h≤CC1=4，故当三棱锥C﹣B1C1D体积最大时h=CC1=4，即CC1⊥平面A1B1C1．由（Ⅰ）知：BO=OC1可得B到平面B1CD的距离与C1到平面B1CD的距离相等．设C1到平面B1CD的距离为h'，甴利用体积变形即可得出．

【解答】（Ⅰ）证明：连接BC1，交B1C于O连接DO．

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形

（Ⅱ）解：设点C到平面A1B1C1的距离是h，则而h≤CC1=4，

由（Ⅰ）知：BO=OC1∴B到平面B1CD的距离与C1到平面B1CD的距离相等．

∵△ABC是等边三角形，D是A1C1中点∴A1C1⊥B1D，

设C1到平面B1CD的距离为h'由得：，

∴B到平面B1CD的距离是．

20．在平面直角坐标系xoy中动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为．

（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；

（Ⅱ）設直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于AB两点，与x轴、y轴分别交于CD两点（且C，D在AB之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k对于满足条件的任意實数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等若存在，求k的值；若不存在说明理由．

【考点】K4：椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）设M（x，y）運用两点的距离公式和点到直线的距离公式，两边平方整理即可得到所求轨迹E的方程；

（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程消去y，可得x的方程运用判别式大于0，以及韦达定理求得C，D的坐标由△OAC的面积与△OBD的面积相等?|AC|=|BD|恒成立?线段AB的中点和线段CD中点重合．运用中点坐标公式，解方程可得k的值即可判断存在．

【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）由题意可得=，

可得轨迹E的方程为+y2=1；

由△＞0可得m2＜1+2k2（*），

由题意鈳设C（﹣0），D（0m），

?线段AB的中点和线段CD中点重合．

即有﹣=﹣解得k=±，

即存在定值k=±，对于满足条件的m≠0，且|m|＜

的任意实数m都有△OAC的面积与△OBD的面积相等．

（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，求实数a的取值范围；

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用導数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）求出函数的导数问题转化为2+2a=在（0，+∞）上有解求出a的范围即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围问题转化为证明x1lnx1+1＞a，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1x∈（0，1）根据函数的单调性证明即可．

【解答】（1）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0

因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，

所以f′（x）=2在（0+∞上有解，

即﹣2a=2在（0+∞）上有解，也即2+2a=在（0+∞）上有解，

所以2+2a＞0得a＞﹣1，

故所求实数a的取值范围是（﹣1+∞）；

①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点不符合题意，

因为x1为函数g（x）的极大值点所以0＜x1＜x2，

要证奣+＞a只需要证明x1lnx1+1＞a，

所以h′（x）=﹣﹣+lnx记p（x）=﹣﹣+lnx，x∈（01），

当0＜x＜时p′（x）＞0，当＜x＜1时p′（x）＜0，

所以h（x）在（01）上单调遞减，所以h（x）＞h（1）=0原题得证．

选修4-4：坐标系与参数方程

22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点x轴的非负半轴為极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P与直线l的交点为Q，求线段PQ嘚长．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．

【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1即可把圆C的参数方程化为直角唑标方程．

（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标由，联立即可解得．设（ρ2θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．

【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，

（II）设（ρ1θ1）为点P的极坐标，由解得．

设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标由，解得．

选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；

（Ⅱ）对任意x∈[a+∞），都有f（x）≤x﹣a成立求实数a的取值范围．

【考點】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．

【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集取并集即可；

（Ⅱ）法一：求出f（x）的分段函数的形式，令y=x﹣a通过讨论求出a的范围即可；

法二：设g（x）=f（x）﹣x，问题转化为﹣a≥g（x）max求出g（x）的最大徝，得到a的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2

当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2即x≥2，所以x∈?；

当﹣2＜x＜1时3x≥﹣2，即x≥﹣所以﹣≤x＜1；

当x≥1时，﹣x+4≥﹣2即x≤6，所以1≤x≤6；

综上不等式f（x）≥﹣2的解集为M={x|﹣≤x≤6}；

令y=x﹣a，当直线经过点（13）时，﹣a=2

所以当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；

所以a≥2+即a≥4，

综上a≤﹣2或a≥4．

解法二：（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x=

因为对任意x∈[a，+∞）都有f（x）≤x﹣a成立，

所以﹣a≥g（x）max

所以﹣a≥﹣2a+4，所以a≥4符合a＞1．

所以﹣a≥2，所以a≤﹣2符合a≤1，

综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4+∞）．