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我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数是　　　　　　．
﹣4032　．
【考点】整式的混合运算．
【分析】首先确定x2014是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【解答】解：（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数，
根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即﹣2016×2=﹣4032．
故答案为﹣4032．
如果没有找到你要的试题答案和解析，请尝试下下面的试题搜索功能。百万题库任你搜索。搜索成功率80%高中数学知识点：杨辉三角问题解法(动画版)_高三网当前位置：>>正文高中数学知识点：杨辉三角问题解法(动画版) 10:21:08文/刘楠　　在高中数学知识点中，杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。下面让我们更深入的了解一下高中数学知识点之杨辉三角的相关知识吧。　　一、杨辉三角的性质　　前提：端点的数为1.　　1.每个数等于它上方两数之和。　　2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。　　3.第n行的数字有n项。　　4.第n行数字和为2n-1。　　5.第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。　　6.第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，为组合数性质之一。　　7.每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。　　8.(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。　　9.将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。　　10.将各行数字相排列，可得11的n-1(n为行数)次方：……当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位......，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为=1110。　　二、杨辉三角的解法　　1.解题法一那么怎样才能显示成金字塔形状呢？问题在于如何将每行前的空格数与行号结合起来，这样就可以在循环输出各行时方便地输出空格数了，观察前面所绐的金字塔形状的规律：第1行i=0
空格数30＝3×N－3×0第2行i=1
空格数27＝3×N－3×1第3行i=2
空格数24＝3×N－3×2......第N行i=i
空格数3×N－3×i　　　　2.解题法二　　高中数学知识点中，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学，用系数通项公式来计算，称为“式算”;用杨辉三角形来计算，称作“图算”。以上是小编为您总结的高中数学知识点：杨辉三角问题解法，希望对学习高中数学的同学们有帮助。高三网小编推荐你继续浏览：推荐阅读点击查看更多内容《有趣的杨辉三角》教学设计
一、教学内容解析
1．“杨辉三角”的内涵实际上就是二项式系数的性质，其内容丰富，值得学生深入探讨。对于杨辉三角所蕴含的规律，学生不难发现，而难点就在于如何把学生通过观察发现的规律进行归纳，进而推理论证，揭示其数学本质。本节课利用了转化和化归的数学思想，把对观察得到的规律的证明化归为组合数性质的应用上。
2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂难记，难于上升到理性的解释。
3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。
4．从知识发生发展过程的角度上看，学生可以从直观上很好地观察发现杨辉三角中蕴含的数字规律，但对于高二的学生，他们思考问题的思维已经不仅仅满足于“知其然”，他们更渴望的是“知其所以然”，在老师适当的点拨下，学生能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，通过师生合作完成知识发展过程的探究，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。
二、教学目标设置
新课程改革的课程目标要求，课堂教学应实现三维目标，即知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。因此，本节课制定了如下教学目标及教学重难点：
教学目标：
1．掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法。
2．通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新。通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力。
3．鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神。同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感。
教学重、难点：
教学重点：掌握二项展开式中二项式系数性质，探讨“杨辉三角”中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。
教学难点：如何发现、证明规律。
通过本节课的学习，学生可以深刻地感知知识的形成过程，对于规律性的结论可以做出判断，并上升到理性的思考。通过小组合作学习的方式，学生更加感受到在互助中学习，在竞争中学习的重要性，达到培养学生团结协作精神的目的。
三、学生学情分析
1. 在初中甚至小学，学生都在不同程度上进行过数字规律探究方面的活动，到了高中阶段，学生已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试证明。同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。对于高二的学生来说，基本接触了高中阶段常见的四种数学思想方法，即函数与方程，转化和化归，分类讨论以及数形结合的思想方法。
本节课授课班级1015班为文科实验班，在数学科的学习特点是个体存在较大差距，但学习积极性都很高。另外，该班设有合作基层小组①，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点——证明规律，学生还需要在老师的指导下共同完成。
四、教学策略分析
本节课的教材所具有的特点是所涉及的内容都是以结论的形式直接呈现，对于这些结论学生也不难理解。但是如果以讲授课的形式来学习本节课的内容，那么学生将陷入一种被动学习的局面，学生不仅难于发现课本以外的其他规律，更甚者使学生能力缺失，对学习缺乏兴趣，不能有效开展课堂教学，提高课堂教学质量。因此，这就要求我们必须从学生的认知规律出发，去暴露知识的发生、发展过程。
1．根据教学内容的特点，实现情感目标，本节课先是以学生观看视频的方式，激励学生探索的欲望，同时结合本节课的历史材料，对学生进行情感教育。
2．依据知识的发生发展过程和学生的思维规律，本节课设计了“问题串”的形式， 让不同程度的学生都有所收获，有所成功，充分体现新课程“面向全体，让不同的学生在学习上都能得到发展”的思想。通过填表的方式初步找规律，再独立思考找规律，最后进行合作交流，共同找规律并尝试证明，在知识的形成过程中去培养学生思维的逻辑性、深刻性，这体现了学生学习由具体感知到理性思考的过程，为不同认知基础的学生提供合理的学习机会。
3．为突出重点，本节课采取观察启发和问题解决的方式引导学生思考，使学生主动参与提出问题和探索问题的过程。同时采用学生以分组讨论的方式，通过观察分析——归纳猜测——推理论证——巩固反馈来理解和掌握内容。
（1）为突破难点，对结论的推理证明将由师生共同完成。在结论的推证过程中去培养学生思维的严谨性和演绎推理的能力以及化归的思想方法。
（2）为了给学生提供学习反馈的机会，以更好地揭示学生对知识发生、发展过程的认知，本节课借助教育技术在内的教学媒体，让学生进一步交流，帮助学生正确理解数学知识，发展数学思维，同时显示计算机辅助教学的优势。
①[美]戴维·W.约翰逊、罗杰·T.约翰逊著，唐宗清等译：《领导合作学校》，上海教育出版社2003年版，第54页。
五、教学过程
教学内容、设计
（一）创设情境
播放视频：22岁数学奇才刘路成为国内最年轻的教授
通过了解刘路的事迹，培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学奥秘的欲望，同时为本节课探究“杨辉三角”中蕴含的数字规律做铺垫，使学生有迫不及待试试身手的愿望。
（二）温故知新
1、二项式定理
2、二项式系数
3、组合数的两个性质
学生回忆前面学过的相关知识，集体完成问题。
通过对学生已有的相关知识的调动，对本节课的学习起到承上启下的作用。
（三）探索新知
【问题一】
计算展开式的二项式系数并填入表格
展开式的二项式系数
通过填表，你发现了什么规律？
学生独立完成问题一，主动发表自己的见解。
从学生已有的关于二项式定理的知识及二项式系数的运算出发，让学生通过填表的形式发现二项式系数具有一定的规律。同时也让学生发现，这样的表格不利于发现二项式系数的其它性质，由此引发思考：如何对表格进一步整理，得到更方便观察二项式系数的数字规律的表格，由此可以自然引出“杨辉三角”。
经过对表格中的数据整理后，我们得到一张形如三角形的非常优美的表。
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，我们把它叫做“杨辉三角”。
通过对杨辉的介绍，让学生了解中国古代数学的伟大成就，增强学生的爱国情感。
【问题二】
观察“杨辉三角”，你能得到哪些数字规律？（填到课前发的习题纸上，见附件1）
（教师应充分引导学生从不同的角度观察，如整体看、局部看；横看、斜看。还可以计算每一横行或斜行中各数字的和，看结果是否有规律。）
学生观察表中数字，独立思考，初步形成自己的看法，并在习题纸中做好记录。
通过引导学生从不同的角度观察“杨辉三角”，让学生感受对待同一事物“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的妙处。通过独立思考，为下一环节的小组合作交流提供素材。
【问题三】
&& 请与同组的其它同学交流你的想法，并试着证明你们的猜想。
学生分小组合作交流，集思广益。
通过小组合作交流的形式，让学生的不同想法产生碰撞，产生智慧的火花。
【问题四】
&& 请各小组派代表发表你们的看法。
各小组派代表发言，并投影他们的讨论成果。
经过独立思考与合作交流以后，各小组得到的规律已初具规模。通过派代表发言的形式，使各组可以一起分享讨论成果。同时对一些教材上没有又较难证明的规律，可以在这一环节共同解决。
（对学生看法的预设：）
教师在这个环节中应做好充分的准备，对学生有可能找到的规律做出预设，切不可因为自己准备不足而扼杀了学生的创新精神。
（四）练习反馈
例：将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到一个0-1三角数表。从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第3次全行的数都为1的是第7行，第4次全行的数都为1的是第15行，第n次全行的数都为1的是第2n-1行，
通过设计有针对性和有效性的练习，使学生能巩固知识、训练技能，又帮助学生领悟数学基本思想，积累数学活动经验，发展数学能力。
（五）评价反思
从本节课的探索过程中你收获了什么？
学生举手发言，谈谈自己的收获。
让学生回味这节课，总结自己的收获，表达自己在课堂上收获的知识与培养的情感，同时教师可以在这一环节检查自己的预设目标是否达到，以便做好课后反思。
（六）课后延伸
杨辉三角奥秘无穷，只要大家从不同角度运用合情推理，一定会发现更多的规律。
激励学生课后继续探索杨辉三角，使学生意识到应该把探究愿望贯穿在课堂内外。
（七）板书设计
&&&& 有趣的杨辉三角
规律及证明：
1、&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 学生板演1
3、&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 学生板演2
4、&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& .
.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& .
.&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&.
（八）课后反思
对于本节课，一些教师可能会采取讲授课的形式进行教学，因为课本上已经直接给出了一些二项式系数的规律，教师也就因为课时所限、高考不重点考查等原因而直接讲结论，紧接着练习以完成教学任务。以这样的方式培养出来的学生会习惯被动接受，会丧失自主创新的能力。因此，在本节课的实际教学中，我的设计力求学生能在学习中体验──在体验中探究──在探究中创新。在创设问题情境时，我用22岁数学奇才刘路的事迹引入，既让学生产生“临渊羡鱼，不如退而结网”的干劲，又对学生进行了爱国主义教育；在介绍数学家杨辉时，我特意提到勾股定理以及圆周率的发现，激发学生的爱国情感，实现本节课的情感目标。
我在进行教学设计时，考虑到学生的参与程度和能力的不同，决定采取开放式设计，即让他们发挥有效联想和猜想，独立思考，得到一些初步猜想。经过这一环节，学生心中会因自己的发现而有了一定的成就感，同时又渴望能发现更多的规律。而此时的学习小组讨论正是一场“及时雨”，能让不同层次的学生的思想互相碰撞，产生火花。本节课的升华阶段是学生成果的展示，因此我大胆采用“兵教兵”的学习方式，让学生主动充当“小老师”的角色，既展示了成果，又锻炼了胆量和语言组织能力。那么在这个过程中，教师最具挑战性的地方就在于如何将学生发现的规律与已有的知识结合起来，并进行理性的证明。为了更好地解决这个问题，我在课前复习了二项式定理的有关内容，让学生能自然地联系到组合数的性质，并可以自己尝试证明。当然，受得所学知识的限制，有些规律暂时还不能证明，但这更激发了学生继续学习的热情。我认为，一节成功的课，不应该是一节学生完全没有疑问的看似“完美”的课，而是能够让学生有收获，同时又想收获更多的课。
探索杨辉三角中蕴含的数字排列规律
【活动一】：
计算展开式的二项式系数并填入表格&&&
展开式的二项式系数
通过填表，你发现了什么规律
【活动二】
上表经过整理得到如下形式：
观察上表，你能得到表中蕴含的哪些数字规律？请把最后一行空缺的数据补充完整。
【活动三】
从不同的方向观察杨辉三角，你能发现什么数字规律？
观察的方向
试试证明你的猜想
同一行横向看
相邻两行一起看
探索杨辉三角中蕴含的数字排列规律
【活动一】：
计算展开式的二项式系数并填入表格&&&
展开式的二项式系数
通过填表，你发现了什么规律？
【活动二】
上表经过整理得到如下形式：
观察上表，你能得到表中蕴含的哪些数字规律？请把最后一行空缺的数据补充完整。
【活动三】
从不同的方向观察杨辉三角，你能发现什么数字规律？
观察的方向
试试证明你的猜想
同一行横向看
①对称性：与首末两端等距离的两项相等。
②增减性：当n为偶数时，二项式系数有最大项为，当n为奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。
作商比较：
时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分逐渐减小，且在中间取得最大值。
③各二项式系数的和为，即：
在二项式定理中令即可
④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即：
在二项式定理中令即可
相邻两行一起看
⑤除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和。
把换成，再用组合数的性质运算即可。
⑦斐多那契数列：
1,1,2,3,5,8,13，…
递推公式：
⑧把杨辉三角中每一行的数字写在一起组成一个整数，这些整数构成首项是1，公比是11的等比数列。
⑨第p行除两端的1以外，p整除其余的数。（p为一个质数）
观察得到。（数学归纳法，学生待学）
⑩第行的数都是奇数，第行除了两端的1外都是偶数。
观察得到。（数学归纳法，学生待学）
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杨辉三角中有哪些数学规律?请分别用画示意图或文字描述的方法在每个杨辉三角下面说明!1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
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1、每行数字左右对称,由1开始逐渐变大,然后变小,回到1.
2、第n行的数字个数为n个.
3、第n行数字和为2^(n－1).
4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和.可用此性质写出整个帕斯卡三角形.
5、将第2n+1行第1个数,跟第2n+2行第3个数、第2n+2行第5个数……连成一线,这些数的和是第2n个斐波那契数.将第2n行第2个数,跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数.
6、第n行的第1个数为1,第二个数为1×(n-1),第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2,第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推.你看下,明白没?没得话,我再解释!这里说实在的最主要的还是方法,方法掌握了,类似的问题都能解决了!希望我的回答对你有帮助,祝你好运!像这样的问题自己多尝试下,下次才会的!祝你学业进步!
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