【数学】这个行列式的结果就是对角线相乘?一般行列式的计算公式是什么?&-学路网-学习路上 有我相伴
这个行列式的结果就是对角线相乘?一般行列式的计算公式是什么?&
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一个矩阵乘行列式结果不变么?就是分配律乘进去那种行列式其实是一个数值,矩阵乘以行列式相当于矩阵的数乘。行列式不能在这个过程中被分解。这个行列式的结果怎么得来的?求这个行列式的值。结果是0,我要过程,谢了既然你知道结果是零,不妨设r4=ar1+br2+cr3,解出三个系数(三元一次方程,很容易解的。),然后作变换:r4=r4-ar1-br2-cr3,即可得r4全零,行列式为零!还是【好好的】解一下吧:...这个行列式怎么可以直接看出来结果是0的?行列式的值变为原来的相反数,即可推得原式为零。2比例系数:函数解析式中,如y=kx(k是不等于零的常数)的正比例函数,其中y,x分别是函数和自变量,k为常数,这个常数k就是比例...这个行列式的结果是什么|x1y2-x2y1+x2y3-x3y2+x3y1-x1y3|/2。这个行列式的结果就是对角线相乘?一般行列式的计算公式是什么?&(图2)这个行列式的结果就是对角线相乘?一般行列式的计算公式是什么?&(图4)这个行列式的结果就是对角线相乘?一般行列式的计算公式是什么?&(图8)这个行列式的结果就是对角线相乘?一般行列式的计算公式是什么?&(图11)这个行列式的结果就是对角线相乘?一般行列式的计算公式是什么?&(图13)这个行列式的结果就是对角线相乘?一般行列式的计算公式是什么?&(图24)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:这个行列式的结果就是对角线相乘?一般行列式的计算公式是什么?&这个行列式的结果是什么|x1y2-x2y1+x2y3-x3y2+x3y1-x1y3|/2。防抓取，学路网提供内容。学路网 www.xue63.com 学路网 www.xue63.com n阶矩阵的行列式的结果必须是正数吗再求行列式的话就是负数了。你发这个问题的原因我想是你把行列式符号与绝对值符号搞混了,|-1|如果这个是行列式符号的话,结果为-1。当然如果是绝对值符号结果就为1,要.防抓取，学路网提供内容。我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:只有一个元素(不为0)的行列式结果是多少你好!只有一个元素的行列式是一阶行列式,它的值就是这个元素。经济数学团队帮你解答,请及时采纳。谢谢!防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:大一线性代数:这个行列式求出来的结果右边为什么会有"()"不应...都是数,一个2x2的行列式而已。防抓取，学路网提供内容。是的行列式的计算就是 不同行不同列元素的乘积再乘上【-1】的逆序数次方,然后每个都加起来.比如按行来看,这个题行列式一共有4行,从每一行中各选一个数,要求四个数是不同的列,那不为0的乘积只有1,2,8,2.5 相乘了MATLAB计算方阵的行列式出错结果没有问题6.63e-16已经很小了,就约等于0这个行列式结果不就是0么这是精度问题防抓取，学路网提供内容。n阶矩阵的行列式的结果必须是正数吗再求行列式的话就是负数了。你发这个问题的原因我想是你把行列式符号与绝对值符号搞混了,|-1|如果这个是行列式符号的话,结果为-1。当然如果是绝对值符号结果就为1,要...只有一个元素(不为0)的行列式结果是多少你好!只有一个元素的行列式是一阶行列式,它的值就是这个元素。经济数学团队帮你解答,请及时采纳。谢谢!大一线性代数:这个行列式求出来的结果右边为什么会有"()"不应...都是数,一个2x2的行列式而已。MATLAB计算方阵的行列式出错结果没有问题6.63e-16已经很小了,就约等于0这个行列式结果不就是0么这是精度问题
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这个行列式结果怎么算出来的
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这个行列式结果怎么算出来的为什么等于(λ+1)²(λ-5)？
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第三行减去第二行，第二行减去第三行。不知道怎么减，看书上的例题，谢谢。
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行列式的计算方法
&&行列式的计算
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你可能喜欢从形式上看，n阶行列式就是每行和每列都包含n个数的一种式子，它的最终结果是一个数字，也就是一个由n!个项相加减构成的多项式的最终结果。行列式的起源是对多元一次方程组的求解。行列式的结果D可以看成是按照某一行或者某一列展开的结果，展开的过程就是该行（列）中的每个数乘以每个数对应的代数余子式的结果再相加。按照第j(1&=j&=n)列展开的具体公式如下：
行列式所涉及到的运算有转置，相加，系数相乘等。
转置不改变行列式的值，因此，行列式中行和列具有相等的地位。
根据行列式的定义和求值公式，可以得到的两个行列式要相加，首先必须要阶数相同，其次，要保证只有一行或者一列数据不同，只有这不同的一行或者一列对应位置的数相加，其他行或者列的数保持不变。
根据求值公式可得，给行列式乘以一个系数，实际上相当于是给行列式的某行或者某列的所有数乘以一个相同的系数。
行列式内部的行或者列也有一些运算，如两行位置的互换，两行数据相同，第i行的数据乘以k后加到第j行等等。
两行位置的互换会导致行列式的值变成原来的相反数，两行数据相同会导致行列式的值为零，第i行的数据乘以k后加到第j行可以得到行列式的结果不变。根据行列式的定义计算行列式的值比较复杂，在具体的计算过程中我们可以充分利用行列式的性质。
最后，回到线性方程组的求解问题。如果齐次线性方程组有非零解，则D=0；如果系数构成的行列式的值不为零，则齐次线性方程组只包含零解。D！=0 ，说明系数列向量的秩为n,每个列向量线性无关，故列向量的系数（也就是解）只能是全零。
行列式中有一些特殊的行列式，如上三角行列式，下三角行列式，对角行列式，范德蒙行列式，这些行列式的求值过程都要用到行列式的一些重要性质。
行列式的本质
考虑二维平面中的一组基向量（1,0）和（0,1），画在坐标系中表示其实就是沿着x轴和y轴的单位向量罢了，现在我们把这两个基向量放在一个矩阵中，当然，这并不是把两个向量简单的上下堆叠，而是首先要进行转置...
行列式的定义及简单计算
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三、行列式
在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det（A）或|A|。
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（3）行列式的展开定理
在给定的n阶行列式中，把aij所在的第i行和第j列的元素划去，余下的元素按原来的排法构成的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式，记为Mij,而aij的代数余子式记作Aij,定义Aij=(-1)i+jM...
线性代数之向量、矩阵、行列式、列向量的计算
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2*[23]=[46]2*[23]=[46]
\begin{matrix}
【通俗理解线性代数】 -- 理解行列式
本微信图文主要从几何与变换的角度介绍了行列式的意义。
线性代数真是一个很抽象的东西，即使我们很多人都学过，但是我相信绝大部分的都不知道这是干嘛用的，找了不少资料，终于发现了这么一篇好文章，于是强烈希望可以和大家分享，帮助大伙进一步理解矩阵的行列式和秩的本...
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行列式的计算方法-中学数学1.05的-3次方怎么计算？请列式。
一 : 中学数学1.05的-3次方怎么计算？请列式。中学数学1.05的-3次方怎么计算？请列式。很简单，请看下面（点击放大）：二 : 行列式的计算方法及应用毕业论文山西师范大学现代文理学院本科毕业论文行列式的计算方法及应用姓 名系 别专 业班 级学 号指导教师答辩日期成 绩张建民 数学与计算机科学 数学与应用数学 403 王翠红行列式的计算方法及应用内容摘要科学研究、工程技术和经济活动中有许多问题可归结为线性方程组，行列式正是由研究线性方程组产生的，并成为一种重要的数学工具，因此懂得解行列式就非常重要。本文总结了行列式的十一种计算方法，并对每种方法进行例题跟踪。另外还叙述了行列式在初中代数和解析几何两个方面的应用。【关键词】线性方程组 行列式 初中代数 解析几何Calculating methods of determinant and its applicationAbstractScientific research, engineering and economic activities and there are a lot of problems can be formulated as linear equations, the determinant is generated by a system of linear equations, and become an important mathematical tool, so it is very important to know the solution determinant. This paper summarizes eleven methods of calculating the determinant, and each method are examples of tracking. Also describes the determinant in the application of the two aspects of junior high school algebra and analytic geometry 【Key Words】linear equations Determinant junior high school algebra analytic Geometry3前言 .............................................................. 1一、行列式的计算方法 ......................................... 3（一）利用行列式定义计算 ........................................ 3（二）利用行列式的性质计算 ...................................... 4（三）化三角形法 ................................................ 4（四）降阶法 .................................................... 5（五）递推公式法 ................................................ 5（六）利用范德蒙行列式 .......................................... 7（七）加边法 .................................................... 8（八）数学归纳法 ................................................ 8（九）连加法 .................................................... 9（十）拆项发 .................................................... 9（十一）析因子法 ............................................... 10二、行列式的应用 ............................................. 10（一）行列式在代数中的应用 ..................................... 11（二）行列式在几何中的应用 ..................................... 12 参考文献 ........................................................ 14 致谢 ............................................................. 15行列式的计算方法及应用学生姓名：张建民 指导老师：王翠虹前言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位。比如说，如果一段导线的电阻为R,它两端的点位差为V,那么通过这段导线的电流强度为I,就可以用关系式表示IR?V求出来。这就是通常所谓解一元一次方程的问题。在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。下面讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。对于二元线性方程组?ax?a12x2?b1, ?111?a21x1?a22x2?b2,当a11a22?a12a21?0时，此方程组有唯一解，即 x1?b1a22?a21b2ab?a12b1，x2?112. a11a22?a12a21a11a22?a12a21称a11a22?a12a21为二级行列式，用符号表示为 a11a22?a12a21?当二级行列式 a11a21aa21a12a22.时，该方程组有唯一解，即 b1a12a11b1b2a22ab2,x2?21. a11a12a11a12a21a22a21a22 x1?对于三元线性方程组有相仿的结论。设有三元线性方程组?a11x1?a12x2?a13x3?b1,? ?a21x1?a22x2?a23x3?b2,?ax?ax?ax?b.1称代数式a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31为三级行列式，用符号表示为：a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 a11a12a22a32a13a23. a33a11a12a22a32a13a23?0 a33=a21a31 我们有：当三级行列式 d?a21a31时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 x1?b1a12a22a32a13a11d1d2d3dd1d,x2?2,x3?3, ddda13a11a12a22a32d1d2 d3其中d1?b2b3a23 d2?a21a33a31a23 d3?a21a33a31把这个结果推广到n元线性方程组?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,? ? ?????an1x1?an2x2???annxn?bn的情形。为此将要给出n级行列式的定义及计算方法。 定义?1? n级行列式 a11a21 ?an1a12?a1na22?a2n ??an2?ann等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2?anjn (5)的代数和，这里j1j2?jn是1,2,?,n的一个排列，每一项(5)都按下列规则带有符号：当j1j2?jn是偶排列时，(5)带有正号，当j1j2?jn是奇排列时，(5)带负号。这一定义可以写成2a11a21?an1a12a22??a1n?a2n??j1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn, an2?annj1j2?jn这里?表示对所有n级排列求和。n级行列式性质：?2?(1)把行列式的各行变为相应的列，所得行列式与原行列式相等。(2)把行列式的两行（两列）对调，所得行列式与原行列式绝对值相等，符号相反。(3)把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某个数k，等于用数k乘原行列式。(4)如果行列式某两行（或两列）的对应元素成比例，那么行列式等于零。(5)如果行列式的某一行（一列）的元是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行（或列）而其余行（或列）不变的两个行列式的和。(6)把行列式某一行（或列）的所有元同乘以一个数k，加到另一行（或一列）的对应元上，所得行列式与元行列式相等。(7)行列式某一行（或一列）的各元与另一行（或一列）对应元的代数余子式的乘积的和等于零。(8)行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元与它们各自对应的代数余子式的乘积的和。一、 行列式的计算方法(一)、利用行列式定义计算例1 计算行列式 00 D?05解：展开式中项的一般形式是
00a1j1a2j2a3j3a4j4.显然，如果j1?5，那么a1j1?0，从而这个项都等于零。因此只需考虑j1?5的 3那些项；同理，只需考虑j2?4,j3?3,j4?2这些列指标的项。这就是说行列式不为零的项只有a14a23a32a41这一项，而?(3421)?6这一项前面的符号应该是正的。所以D?2?3?4?5?120（二）、利用行列式的性质计算例2 计算n级行列式 cddcd?dd??ddd?dd?dc?d ??d?c解：这个行列式的特点是每一行有一个元素是c，其余n?1个是d。根据性质6，把行列式第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变??直到第n列也加到第一列，即得 c?(n?1)ddd?dc?(n?1)dcd?dd?c?(n?1)ddc?d????c?(n?1)ddddcdc=?c?(n?1)d?d??dddc?dddddddd dc把第二行到第n行都分别加上第一行的-1倍，就有1dd?d0c?dd?dc?d?d d??c?(n?1)d?0????000?c?d根据例1得 d??c?(n?1)d?(c?d)n?1（三）、化三角形法化三角形法是利用行列式的性质将原行列式化为上（下）三角形行列式计算的一种方法，它是计算行列式的重要方法之一。因为利用行列式的定义容易计算上（下）三角形行列式。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作保值变形，再将其化为三角形行列式。例3 计算行列式4011?1 D?1?221r3?r2r4?2r2r1?r解 D?1??13?2031?41?102r3?r20113 ?? r200?2?r3?2r4r3?r4 ?1?10??2?13000?25（四）、降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开.例5 计算行列式 31 D?22c1?c3c4?2c31?解 D?40?211??(?1)2?323?1 34?1122212723??(?1)23?1 ?0r2?2r31r1?4r30?7?6??7?673??21（五）、递推公式法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便 5可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。例6 计算n阶行列式 41341??? Dn?34134解 按第一列展开 310414314314????4Dn?1?3Dn?2 3 Dn?4Dn?1?于是有Dn?3Dn?1?Dn?1?3Dn?2?Dn?2?3Dn?3=??D2?3D1?1及Dn?Dn?1?3(Dn?1?Dn?2)?32(Dn?2?Dn?3)=??3n?2(D2?D1)?3n从上两式削去Dn?1，得Dn?1n?1(3?1) 2对于形如?的所谓三角行列式，可直接展开得两项递推公式Dn??Dn?1??Dn?2，然后采用如下一些方法求解。方法1 如果n较小，则直接递推计算。方法2 用第二数学归纳法：即验证n?1时结论成立，设n?k结论成立，若证明n?k?1时结论也成立，则对任意自然数结论相应也成立。方法3 将Dn??Dn?1??Dn?2变形为Dn?pDn?1?q(Dn?1?pDn?2)，其中p?q??，?pq??由韦达定理知p和q是一元二次方程x2??x???0的两个根。确定p和q后，令f(x)?Dn?pDn?1，利用f(n)?qf(n?1)递推求出f(n)，再由Dn?pDn?1?f(n) 6递推求出Dn。方法4 设Dn?xn.代入Dn??Dn?1??Dn?2?0得xn??xn?1??xn?2?0因此有x2??x???0（称为特征方程），求出其根x1和x2（假设x1?x2），则Dn?k1x1?k2x2.这里k1,k2可通过取n?1和n?2来确定。 例4 求n阶行列式的值011010110110???1nnDn?解 按第一行展开得Dn??Dn?2，即Dn?Dn?2?0.作特征方程x2?1?0解得x1?i,x2??i，则Dn?a?in?b?(?i)n (1)当n?1时，D1?0，代入(1)式得ia?ib?0;当n?2时，D2??1，代入(1)得?a?b??1 联立求解得a?b?11，故Dn?in?(?i)n. 22??（六）、利用范德蒙行列式 例7 计算行列式11x2?12x2?x2?n?2???1xn?12xn?xn?n?1D?x1x1?12x1?x1?n?1?x1x2n?1?x2n?2?xn?xn?2解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n?1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式11?1x1x2?xn222x2?xn=?(ai?aj) D?x11?j?i?n???n?1n?1n?1x1x2?xn其中“?”表示连乘号。7（七）、加边法计算某些行列式有时特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法叫做加边法。当然，加边后要保证行列式的值不变，并且要使所得的高一阶行列式容易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n?1个元素的倍数的情况。例8 计算行列式?a11D?111?b1 11?d解 给原行列式加边D?011?b10111?d1?1?1?11ad1c2?c1a1c3?c1b1c3?c1d??r1?ri?i?1?111??abd000111a00 0b000d=(1?（八）、数学归纳法111??)abd abd首先利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般是用来证明行列式等式。 例9 计算n阶行列式x?1x?0an?10?1?0???00?x00??1a1?xDn??0anan?2?a2解 用数学归纳法 当n?2时 D2?xa2?1x?a1?x(x?a1)?a2=x2?a1x?a28假设n?k时，有Dk?xk?a1xk?1?a2xk?2???ak?1x?ak则当n?k?1时，把Dk?1按第一列展开，得Dk?1?xDk?Dk?1=x(xk?a1xk?1???ak?1x?ak)?ak?1 =xk?1?a1xk???ak?1x2?akx?ak?1（九）、连加法如果行列式中某列（行）加上其余各列（行），使该列（行）元素均相等或出现较多零，进而简化行列式的计算方法称为连加法。例10 计算行列式xaaaaxaa D? aaxaaaax解 它的特点是各列元素之和为(3a?x),因此把各行都加到第一行，然而第一行再提出(3a?x) ,得1111axaa D?(3a?x) aaxaaaax将第一行乘以(?a)分别加到其余各行，化为三角形行列式，则 110x?a D?(3a?x)000010x?a010=(3a?x)(x?a)3 0x?a（十）、拆项发把行列式的某一行（或列）的元素写成两数和的形式，然后利用行列式的性质5将原行列式写成两行列式之和，进而使行列式简化以便计算。 例11 算行列式9a1??1a2a2??2a2a3a3 a3??3a2a2??2a2a3a3 a3??3D?a1a1a3a1a2a2??2a2?1解 D?a1a1a3?0a3??30=a1?2?3??1?(a2??2)(a3??3)?a2a3?（十一）、析因子法例12 算行列式1112?x2D?232323231419?x2解 由行列式D定义知为x的4次多项式，又，当x??1时，1,2行相同，有D?0, 所以x??1为D的根。当x??2时，3,4行相同，有D?0所以x??2为D的根。故D有4个1次因式：x?1,x?1,x?2,x?2 设D?a(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)令x?0，则11D???12 即，a?1?(?1)(?2)??12，所以a??3 59所以D??3(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)小结 以上是行列式计算常用的方法，在实际计算中，不同的方法适应于不同特征的行列式，如定义法一般适用于0比较多的行列式，利用性质分为直接利用和利用性质化三角形行列式，降阶法主要是利用按行（列）展开公式，一般某行或某列含有较多的零元素。每一种方法都有其各自的优点及其独特之处，因此研究行列式的解法有非常重要的意义。二、行列式的应用行列式是研究数学的重要工具之一，下面主要介绍行列式在代数和几何两10个方面的应用。(一)、行列式在代数中的应用（1）用行列式解线性方程组如果线性方程组?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b? ? ??????????an1x1?an2x2???annxn?bn（其中x1,x2,?,xn代表未知量，aij(i?1,2,?,m;i?1,2,?,n)代表未知量的系数，b1,b2,?,bm带表常数项。）的系数行列式D?0,那么，这个方程组有解，并且解事唯一的，可表示为x1?DD1D,x2?2,?,xn?n DDD（2）用行列式因式分解利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例13 分解因式 ab2c3?bc2a3?ca2b3?cb2a3?ba2c3?ac2b3.解 原式=abc(bc2?b2c)?(a2c?ac2)?(ab2?a2b) =bc(c?b)?ac(a?c)?ab(c?b) =bcc1b1?aca1c1?abbcab a1bca1=abc1?ab?bcc?a0 acb1ac?bcb?a0=(ab?bc)(b?a)?(ac?bc)(c?a) =b(a?c)(b?a)?c(a?b)(c?a)=abc(a?b)(c?a)(b?c)(3)用行列式证明恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 11的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例14 已知a?b?c?0, 求证a3?b3?c3?3abc 证明 令D?a3?b3?c3?3abc，则abca?b?ca?b?ca?b?ccbacba111?(a?b?c)cab?0bcaD?cab?bca命题得证。（二）、行列式在几何中的应用 （1）用行列式表示三角形的面积以平面内三点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，R(x3,y3)为顶点的?PQR的面积S是1x22x3x1y11y21 y31证明 将平面P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)三点扩充到三维空间，其坐标分别为(x1,y1,k)，(x2,y2,k)，(x3,y3,k)，其中k为任意常数。由此可得?(x2?x1,y2?y1,0)，?(x3?x1,y3?y1,0)??(0,0,?PQR面积为x2?x1x3?x1y2?y1y3?y1)S??,?1?21x2?x1=2x3?x1x2?x1x3?x1y2?y1y3?y12y2?y1y3?y112x11=x22x3y11y21 y31（2）用行列式表示直线方程直线通过两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)的直线方程为x1y1y2?0. (1) yx2x证明 由两点式，我们的直线PQ 方程为x?x2y?y2?.x1?x2y1?y2将上式展开并化简，得xy1?xy2?x1y?x2y?x2y1?xy2?0 此式可进一步变形为 xy1y2?yx11x21?x1x2y1y2?0此式为行列式(1)按第三行展开所得结果，原式得证。 （3）三线共点平面内三条互不平行的直线a1L1,a1x?b1y?c1?0L2,a2x?b2y?c2?0相交于一点的充要条件是a2a3L3,a3x?b3y?c3?0b1b2b3c1c2?0. c3（4）三点共线平面内三点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，R(x3,y3)在一直线的充要条件是x1y11y21?0. y31x2x313参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社, 2003.[2]、江苏师范学院数学系编写组编. 解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003[3]、许甫华.高等代数解题方法[M].北京：清华大学出版社，2003[4]、胡乔林.关于行列式的定义及其计算方法[M],科技信息,2007，25[5]、张贤科,许浦华 高等代数学[M].北京 清华大学出版社，2003[6]、毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中科技大学出版社，2000[7]、万广龙. 行列式的计算方法与技巧[J]. 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3.2利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。a例2 计算n阶行列式bac???bba，其中b?c,bc?0Dn?cc???解 将Dn的第一列视为（a-c）+c,0+c,……,0+c,据行列式的性质，得- 3 -a?c?cbac???bba?a?c0?0bac???bba?cccbac???bbaDn?0?c?0?c??????????Dn??a?c?Dn?1?ca?b??n?1(1)n?1由b与c的对称性，不难得到Dn??a?b?Dn?1?b?a?c?联立（1），(2）解之，得(2)Dn??b?c?a?b10?1nn?b?c?a?b?? a?c??????aba?b1?000ab?00????10000?0ab?00???000?aba?b00?100? aba?b例3 计算n阶行列式Dn??00a?b??a?ba?b?解 将Dn按第一行展开，得Dn??a?b?Dn?1?ab00?a?b于是得到一个递推关系式Dn??a?b?Dn?1?abDn?2，变形得Dn?bD?n1易知?a?D?n12?b?? n2 ， D3Dn?bDn?1?a????an?2?D2?bDn?3??an?2n?2?Dn?3?bDn?4??D?bD1??a2n???ab?ba?b???a?b??a????所以Dn?a?bDn?1，据此关系式再递推，有nnDn?a?b?an?1?bDn?2?a?ab?b?nn?12Dn?2n1n1?an?a?b??a?b?2n?2n?1???an?an?1b????abbD1?bn如果我们将Dn的第一列元素看作a+b,1+0,……0+0,按第一列拆成两个行列式的和，- 4 -那么可直接得到递推关系式Dn?a?bDn?1，同样可Dn 的值。n3.3提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“a,a,?,a型”；（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”；（3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”。满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶。满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法。x?a1例4计算N阶行列式Dn?aa1ax?a2?2??aann?1??ani?12?x?an解 该行列式各行元素之和都等于 x+?ai，属于“全和型”，所以1n??1?x??ai?Dn?i?1??1n???x??ai?i?1??ax?a2?2???aan1na2?ann??x?ana2??0x?0??x??ai?i?1?????00?x?xn?13.4利用拉普拉斯（Laplace）定理法首先，让我们先来看看拉普拉斯定理的内容：设在行列式D中任意取定了k(1&=k&=n-1) 行，由这k 行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。例5 计算2n阶行列式- 5 -a??bab??ba??aab?ba?ba?ab??解D2n???1?1?2n?1?2nabba??n?1?b???1?1?21?1?n?2??n???a1bba2?n?2????abban?1?abba?a?b?22?n3.5利用范德蒙（Vandermonde）行列式法著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果。11?21例6 计算n阶行列式Dn?x?x?1?x1?x?1?1121x?x?1?x2?x?1?222???x?x?1?xn?x?1?nn2n?n?11?n?12?x1?x?1?x2?xx??x?1?,x??x112?1??xn?xn?1n?1?分析：由题目观察知，行列式除第一行外每一行具有相同的形式，第一行可视为2?1?,?,xn??xn?1?，再由行列式的性质，将其化为两个行列式的和，再来计算。 解 原不等式可化为：Dn?xx?x?1?111xx?x2n?122??1???2xx?xnn?1nn?1??1??n?11??x1?x?1?x2?x?1??xn?x- 6 -n?x?1x?x?1?111n?11x?1x?x?1?222n?12x?1x?x?1?nnnx1?x?1?x2?x?1?xn?xn?1n?1把第一个行列式从第一行起依次将i行加到i+1行；第二个行列式的第i列提取xi?1（i=1，2，3……n），得Dn?xxx1x21222???xxnxnn2?n?n?nx1x211n1122i??????x?1?x?x?1?x???x?1??x1?x?1?x2?x?1?i?1n?1n?112n?n????xi???xi?1????xi?xji?1?i?1?1?j?i?nx?xnn?11n?1??1xn?x?n??3.6利用乘法定理法在计算行列式时，有时可以用乘法定理，将给定的行列式表为两个容易计算的或已知的行列式的乘积，从而求出给定行列式的值；有时不直接计算给定的行列式，而是选一个适当的与给定行列式同阶的行列式，计算两行列式的乘积，由此求出给定行列式的值，这样也可使问题简单。1?a1b11?a1b2?1?a1bn?a2b11?a2b2?1?a2bn?????anb11?anb2?1?anbn例7计算n阶行列式Dn?111解 Dn????a1a2000?0?0?01??0100????1b1b2bn0 0an????所以，当n&2时，Dn?0；- 7 -行列式的计算方法及应用 23_行列式的应用当n=2时，D2??a2?a1??b2?b1?； 当n=1时，D1?1?a1b13.7裂项法此法多用于将行列式某一行或某一列拆分后，行列式具有某种特殊算法x例8 计算Dn=1?...2??x?.........??.........xnx解：Dn=1?...?2??x?x+1?...?200......?.........???x?...?.........?............xn??x??1=(xn??)Dn?1+0...???...0x2??...0............??n?1i?1?=(xn??)Dn?1+??(xi??) （1）同理Dn=(xn??)Dn?1???(xj??)i?1n?1（2）若???，由（1），（2）组成的方程组解得nn1(xi??)???(xi??)] Dn????[??i?1i?1若???，利用（1）递推得到：Dn?x1?(xi??)???[?(xj??)]i?2i?1j?1j?innn3.8升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。这种 计算行列式的方法称为升阶法。凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。c?a12a1a2c?a2?2???a1ana2an?2例9计算n阶行列式Dn?a2a1?，其中c?0ana1ana2?c?an分析：观察行列式可知，除主对角线外，行列式的其它元素形式都相同，于是想到用升阶法，对原行列式添加一行一列，运用行列式的性质再来求解。10解Dn?00a1a22c?a1a1a22a2a1c?a2??????ana1ana2an?21?a1a1a2c??anc?0 ??a20??????an?cana1ana2?c?an?1将最后一个行列式的第j列的caj?1倍加到第一列（j=2,3……,n+1），就可以变为上?1三角形行列式，其主对角线上的元素为1?c故?ai,c,c,??,ci?1n2Dn?c?c?aii?1nn?1n2112??????21例10 计算n阶行列式Dn??x1x1x2x2?xnxnxn2?n?2x1n?2x2n?2x1nx2nxnn解 原行列式看似范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，可以11????211x1x12x2x2x2n?1xnxn2yy2Dn???n?2?n?2?x1x1n?2?xn??yyn?2n?1x2xnn?1n?1x1nx2nxnnyn按第n+1列展开，则得到一个关于y的多项式，ynn?1的系数为??1?n?1?n?xDn??Dn，另外，Dn?1?1??i?xj????y?xi? j?i?ni?1n?1显然，Dn?1中yn的系数为1?j?i?n??x?x????x?xij1j2???xn?，?所以Dn??xi?i?11?j?i?n??x?xi?3.9公式法根据分块矩阵的知识，不难证明如下结论：（1） 设A为n阶可逆矩阵,?,?为n维列向量，则有A????A1??（2） 设A为n阶可逆矩阵,?,?为n维列向量，则有'?'A?1?????AAC?A???ABD??1??1'?（3） 设A，B，C，D都是n阶方阵，且A可逆，则有?AD?CAB有些行列式可应用上述结论计算，用上述结论计算行列式的方法，我们称为公式法110002?130?n?1?00?n00?0例11 计算n阶行列式Dn??2?2?0000?????2?n?n?11?n?120000?230000??0000?2??1?????0030?'??? ,?,???????????????2?n0n???0?n?11?n?'解 令 A=?3?00??????则由结论（2），得Dn?1?A?A1??A???1'????10?1??1???2??n?11??1?n?1?!?1??2,3,?,n???1??2??????1??1???2??00???????0??1????0????0????????????0??1??????n?1???0??n?11?3??1??3???1?1?n?1?! 23.10规律缺损补足法此法多用于除去某些行列或对角线的元素后行列式的各元素具有规律性，此时就须补足规律，而后再减去某些元素。?1例12 计算 D?a1b2...a1bn...a2bn......a2b1...?2...anb1anb2...解：（1）若 ?(?i?atbt)?0 时i?1n?n???ab11?1?D=??????2?a2b2...??a1b1????ab???21??...????n?anbn???anb1a1b2......a1bn?...a2b2...anb2...?a2bn?? ...??anbn??=A???'=A(1??'A?1?) (*)?a1??b1???1?a1b1???????a??ab?2??b2?222??这里A?, ????, ??????.........???????????n?anbn??an??bn??所以(*)式=?(?i?aibi)?a1b1?(?i?aibi)?a2b2?(?I?aibi)?...?anbn???i?aibi?i?1i?2i?1i?2i?1nnnn?1????????（?） （2）若存在?i?aibi ，则D?aibi???j?ajbj?j?1j?in这时（?）同样适用，因而（?）为计算公式.3.11特征根法此法用于行列式所对应矩阵的特征根已知或易求的情况下，利用A??1?2...?n，其中?i为A的特征根.例13 已知I?A的特征根之模长均小于1，求证0?detA?2n.证明:首先A没有零特征根，否则存在可逆阵P，使得?0????2??P?1AP??? ...????n????0???1??2?2??所以，P?1(I?A)P=I??= ?......????n?1??n??所以，1为I?A的特征根矛盾.??1????2??设P?1AP??， ?...????n???行列式的计算方法及应用 23_行列式的应用??1所以，P?1(I?A)P?1??2...1??n所以，??i&1即1&?i-1即?i&2,所以，?1?2...?n&2n即0&detA&2n.3.12数学归纳法a11例14用数学归纳法证明：Dn?1?001?0a2?an????00?10b1nn?1b2?(?1)?aibii?1?bn解：当n?1时有：D2?a110b1?(?1)1?1a1b1 命题成立。假设n?k时，命题成立，要证n?k?1时，等式成立。a11Dn?1?Dk?2?000a2?ak0100????0010ak?100?010b1b2?bkbk?1???b按最后一行展开得：a11Dk?2?(?1)k?2?k?2bk?10a11a2?ak010???001ak?100按最后一列展开 =(?1)1?k?1ak?1=(?1)k?2ak?1 ?0a2?ak010???001ak?10a11a2?ak0?0b1????0?(?1)k?1?k?2?1?01?0b2?????0?1bk将0???a11a2?ak010???0010b1b2 前k?1列?(?bi)加到最后一列 bk(?1)?aibii?1k将 00a1????a2?ak010???001=10000?01010???2k?3按最后一列展开得：???000aibi?(?1)=(?1)i??1k1?k?100???=(?1)k?3i?1?aibik所以Dk?2?(?1)3k?6ak?1bk?1?(?1)?(?1)ki?1kk?3i?1?aibik?(?1)?(?1)3(k?2)ak?1bk?1?(?1)3(k?2)?aibi(k?2)ak?1bk?1?(?1)ki?1(k?2)i?1?aibi?(?1) ?(?1)(k?2)(ak?1bk?1??aibi)k?1i?1(k?2)?aibi(n?1)i?1因为n?k?1，所以：Dk?2?Dn?1 ?(?1)?aibi故本题得证！n注：本题可按行列式定义展开，也可按行或者列展开，还可将第i?1行(i?1,2,?,n?1)乘以(?ai)都加到第1行，再按第1行展开。同样可证得此式 3.13利用行列式乘法规则?例13 设D??2?3?4?2?3?4?52,??1,但??1.求D之值。 4???3?2解：由??1，?5?1，有?4??3??2???1?0.??4??4??3??4???4??34?2????44?3??2?????1011111?411?411?125.所以D?2??3??2???4四、应用行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 在线性方程组，初等代数的行列式分解因式、行列式证明不等式和恒等式，解析几何中在平面几何中的一些应用等，应用非常广泛。总结以上总共给出了计算行列式的13种方法，其中有一些是常见的基本的方法，还有一些是特殊的方法。在课外书中还有一些其他方法，如极限法、换元法、导数法、差分法、积分法等，因为用途不广，所以不加以介绍。我认为只要理解和掌握以上13种方法，不管哪 种行列式的计算，都可以迎刃而解。而且一个题目有时候要由多种解法并用，或一个题可由多种方法独自解出，这就需看大家的灵活应用程度，找出一个最简便的方法解出其值。参考文献[1] 姚慕生.吃等代数.复旦大学出版社，2002； [2] 王萼芳 石生明.高等代数. 高等教育出版社，2003；[3] 孙丽君. 行列式计算的几种常见的方法 河北能源职业技术学院学报[J] 2005年01期； [4] 陈会平. 浅谈N阶行列式计算方法的研究[J]. 黑龙江科技信息，2010年03期； [5] 张学茂. 行列式计算的几种新方法[J] 中国校外教育 2008[6] 张福阁 磨晓丽 一个行列式的计算与应用[J] 齐齐哈尔大学学报 2006 [7] Bo Peng .The Determinant: a Means to Calculate Volume[J] August 16,2007[8] Wang Quanlong The Exact Value of detV(x1,x2,x3,...,xn) and Its Applications[J] November 1998致谢四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。 伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师——张长温老师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的感觉。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚谢意！ 同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。四 : 行列式的计算方法及应用毕业论文山西师范大学现代文理学院本科毕业论文行列式的计算方法及应用姓 名系 别专 业班 级学 号指导教师答辩日期成 绩张建民 数学与计算机科学 数学与应用数学 403 王翠红行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文行列式的计算方法及应用内容摘要科学研究、工程技术和经济活动中有许多问题可归结为线性方程组，行列式正是由研究线性方程组产生的，并成为一种重要的数学工具，因此懂得解行列式就非常重要。（www.61k.com］本文总结了行列式的十一种计算方法，并对每种方法进行例题跟踪。另外还叙述了行列式在初中代数和解析几何两个方面的应用。【关键词】线性方程组 行列式 初中代数 解析几何行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文Calculating methods of determinant and its applicationAbstractScientific research, engineering and economic activities and there are a lot of problems can be formulated as linear equations, the determinant is generated by a system of linear equations, and become an important mathematical tool, so it is very important to know the solution determinant. This paper summarizes eleven methods of calculating the determinant, and each method are examples of tracking. Also describes the determinant in the application of the two aspects of junior high school algebra and analytic geometry 【Key Words】linear equations Determinant junior high school algebra analytic Geometry3行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文前言 .............................................................. 1一、行列式的计算方法 ......................................... 3（一）利用行列式定义计算 ........................................ 3（二）利用行列式的性质计算 ...................................... 4（三）化三角形法 ................................................ 4（四）降阶法 .................................................... 5（五）递推公式法 ................................................ 5（六）利用范德蒙行列式 .......................................... 7（七）加边法 .................................................... 8（八）数学归纳法 ................................................ 8（九）连加法 .................................................... 9（十）拆项发 .................................................... 9（十一）析因子法 ............................................... 10二、行列式的应用 ............................................. 10（一）行列式在代数中的应用 ..................................... 11（二）行列式在几何中的应用 ..................................... 12 参考文献 ........................................................ 14 致谢 ............................................................. 15行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文行列式的计算方法及应用学生姓名：张建民 指导老师：王翠虹前言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位。[www.61k.com)比如说，如果一段导线的电阻为R,它两端的点位差为V,那么通过这段导线的电流强度为I,就可以用关系式表示IR?V求出来。这就是通常所谓解一元一次方程的问题。在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。下面讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。对于二元线性方程组?ax?a12x2?b1, ?111?a21x1?a22x2?b2,当a11a22?a12a21?0时，此方程组有唯一解，即 x1?b1a22?a21b2ab?a12b1，x2?112. a11a22?a12a21a11a22?a12a21称a11a22?a12a21为二级行列式，用符号表示为 a11a22?a12a21?当二级行列式 a11a21aa21a12a22.时，该方程组有唯一解，即 b1a12a11b1b2a22ab2,x2?21. a11a12a11a12a21a22a21a22 x1?对于三元线性方程组有相仿的结论。设有三元线性方程组?a11x1?a12x2?a13x3?b1,? ?a21x1?a22x2?a23x3?b2,?ax?ax?ax?b.1行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文称代数式a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31为三级行列式，用符号表示为：a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 a11a12a22a32a13a23. a33a11a12a22a32a13a23?0 a33=a21a31 我们有：当三级行列式 d?a21a31时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 x1?b1a12a22a32a13a11d1d2d3dd1d,x2?2,x3?3, ddda13a11a12a22a32d1d2 d3其中d1?b2b3a23 d2?a21a33a31a23 d3?a21a33a31把这个结果推广到n元线性方程组?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,? ? ?????an1x1?an2x2???annxn?bn的情形。［www.61k.com)为此将要给出n级行列式的定义及计算方法。 定义?1? n级行列式 a11a21 ?an1a12?a1na22?a2n ??an2?ann等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2?anjn (5)的代数和，这里j1j2?jn是1,2,?,n的一个排列，每一项(5)都按下列规则带有符号：当j1j2?jn是偶排列时，(5)带有正号，当j1j2?jn是奇排列时，(5)带负号。这一定义可以写成2行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文a11a21?an1a12a22??a1n?a2n??j1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn, an2?annj1j2?jn这里?表示对所有n级排列求和。（www.61k.com)n级行列式性质：?2?(1)把行列式的各行变为相应的列，所得行列式与原行列式相等。(2)把行列式的两行（两列）对调，所得行列式与原行列式绝对值相等，符号相反。(3)把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某个数k，等于用数k乘原行列式。(4)如果行列式某两行（或两列）的对应元素成比例，那么行列式等于零。(5)如果行列式的某一行（一列）的元是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行（或列）而其余行（或列）不变的两个行列式的和。(6)把行列式某一行（或列）的所有元同乘以一个数k，加到另一行（或一列）的对应元上，所得行列式与元行列式相等。(7)行列式某一行（或一列）的各元与另一行（或一列）对应元的代数余子式的乘积的和等于零。(8)行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元与它们各自对应的代数余子式的乘积的和。一、 行列式的计算方法(一)、利用行列式定义计算例1 计算行列式 00 D?05解：展开式中项的一般形式是
00a1j1a2j2a3j3a4j4.显然，如果j1?5，那么a1j1?0，从而这个项都等于零。因此只需考虑j1?5的 3行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文那些项；同理，只需考虑j2?4,j3?3,j4?2这些列指标的项。(www.61k.com］这就是说行列式不为零的项只有a14a23a32a41这一项，而?(3421)?6这一项前面的符号应该是正的。所以D?2?3?4?5?120（二）、利用行列式的性质计算例2 计算n级行列式 cddcd?dd??ddd?dd?dc?d ??d?c解：这个行列式的特点是每一行有一个元素是c，其余n?1个是d。根据性质6，把行列式第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变??直到第n列也加到第一列，即得 c?(n?1)ddd?dc?(n?1)dcd?dd?c?(n?1)ddc?d????c?(n?1)ddddcdc=?c?(n?1)d?d??dddc?dddddddd dc把第二行到第n行都分别加上第一行的-1倍，就有1dd?d0c?dd?dc?d?d d??c?(n?1)d?0????000?c?d根据例1得 d??c?(n?1)d?(c?d)n?1（三）、化三角形法化三角形法是利用行列式的性质将原行列式化为上（下）三角形行列式计算的一种方法，它是计算行列式的重要方法之一。因为利用行列式的定义容易计算上（下）三角形行列式。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作保值变形，再将其化为三角形行列式。例3 计算行列式4行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文011?1 D?1?221r3?r2r4?2r2r1?r解 D?1??13?2031?41?102r3?r20113 ?? r200?2?r3?2r4r3?r4 ?1?10??2?13000?25（四）、降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开.例5 计算行列式 31 D?22c1?c3c4?2c31?解 D?40?211??(?1)2?323?1 34?1122212723??(?1)23?1 ?0r2?2r31r1?4r30?7?6??7?673??21（五）、递推公式法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。[www.61k.com]根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便 5行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。[www.61k.com]例6 计算n阶行列式 41341??? Dn?34134解 按第一列展开 310414314314????4Dn?1?3Dn?2 3 Dn?4Dn?1?于是有Dn?3Dn?1?Dn?1?3Dn?2?Dn?2?3Dn?3=??D2?3D1?1及Dn?Dn?1?3(Dn?1?Dn?2)?32(Dn?2?Dn?3)=??3n?2(D2?D1)?3n从上两式削去Dn?1，得Dn?1n?1(3?1) 2对于形如?的所谓三角行列式，可直接展开得两项递推公式Dn??Dn?1??Dn?2，然后采用如下一些方法求解。方法1 如果n较小，则直接递推计算。方法2 用第二数学归纳法：即验证n?1时结论成立，设n?k结论成立，若证明n?k?1时结论也成立，则对任意自然数结论相应也成立。方法3 将Dn??Dn?1??Dn?2变形为Dn?pDn?1?q(Dn?1?pDn?2)，其中p?q??，?pq??由韦达定理知p和q是一元二次方程x2??x???0的两个根。确定p和q后，令f(x)?Dn?pDn?1，利用f(n)?qf(n?1)递推求出f(n)，再由Dn?pDn?1?f(n) 6行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文递推求出Dn。(www.61k.com)方法4 设Dn?xn.代入Dn??Dn?1??Dn?2?0得xn??xn?1??xn?2?0因此有x2??x???0（称为特征方程），求出其根x1和x2（假设x1?x2），则Dn?k1x1?k2x2.这里k1,k2可通过取n?1和n?2来确定。 例4 求n阶行列式的值011010110110???1nnDn?解 按第一行展开得Dn??Dn?2，即Dn?Dn?2?0.作特征方程x2?1?0解得x1?i,x2??i，则Dn?a?in?b?(?i)n (1)当n?1时，D1?0，代入(1)式得ia?ib?0;当n?2时，D2??1，代入(1)得?a?b??1 联立求解得a?b?11，故Dn?in?(?i)n. 22??（六）、利用范德蒙行列式 例7 计算行列式11x2?12x2?x2?n?2???1xn?12xn?xn?n?1D?x1x1?12x1?x1?n?1?x1x2n?1?x2n?2?xn?xn?2解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n?1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式11?1x1x2?xn222x2?xn=?(ai?aj) D?x11?j?i?n???n?1n?1n?1x1x2?xn其中“?”表示连乘号。7行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文（七）、加边法计算某些行列式有时特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法叫做加边法。(www.61k.com)当然，加边后要保证行列式的值不变，并且要使所得的高一阶行列式容易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n?1个元素的倍数的情况。例8 计算行列式?a11D?111?b1 11?d解 给原行列式加边D?011?b10111?d1?1?1?11ad1c2?c1a1c3?c1b1c3?c1d??r1?ri?i?1?111??abd000111a00 0b000d=(1?（八）、数学归纳法111??)abd abd首先利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般是用来证明行列式等式。 例9 计算n阶行列式x?1x?0an?10?1?0???00?x00??1a1?xDn??0anan?2?a2解 用数学归纳法 当n?2时 D2?xa2?1x?a1?x(x?a1)?a2=x2?a1x?a28行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文假设n?k时，有Dk?xk?a1xk?1?a2xk?2???ak?1x?ak则当n?k?1时，把Dk?1按第一列展开，得Dk?1?xDk?Dk?1=x(xk?a1xk?1???ak?1x?ak)?ak?1 =xk?1?a1xk???ak?1x2?akx?ak?1（九）、连加法如果行列式中某列（行）加上其余各列（行），使该列（行）元素均相等或出现较多零，进而简化行列式的计算方法称为连加法。[www.61k.com］例10 计算行列式xaaaaxaa D? aaxaaaax解 它的特点是各列元素之和为(3a?x),因此把各行都加到第一行，然而第一行再提出(3a?x) ,得1111axaa D?(3a?x) aaxaaaax将第一行乘以(?a)分别加到其余各行，化为三角形行列式，则 110x?a D?(3a?x)000010x?a010=(3a?x)(x?a)3 0x?a（十）、拆项发把行列式的某一行（或列）的元素写成两数和的形式，然后利用行列式的性质5将原行列式写成两行列式之和，进而使行列式简化以便计算。 例11 算行列式9行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文a1??1a2a2??2a2a3a3 a3??3a2a2??2a2a3a3 a3??3D?a1a1a3a1a2a2??2a2?1解 D?a1a1a3?0a3??30=a1?2?3??1?(a2??2)(a3??3)?a2a3?（十一）、析因子法例12 算行列式1112?x2D?232323231419?x2解 由行列式D定义知为x的4次多项式，又，当x??1时，1,2行相同，有D?0, 所以x??1为D的根。[www.61k.com）当x??2时，3,4行相同，有D?0所以x??2为D的根。故D有4个1次因式：x?1,x?1,x?2,x?2 设D?a(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)令x?0，则11D???12 即，a?1?(?1)(?2)??12，所以a??3 59所以D??3(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)小结 以上是行列式计算常用的方法，在实际计算中，不同的方法适应于不同特征的行列式，如定义法一般适用于0比较多的行列式，利用性质分为直接利用和利用性质化三角形行列式，降阶法主要是利用按行（列）展开公式，一般某行或某列含有较多的零元素。每一种方法都有其各自的优点及其独特之处，因此研究行列式的解法有非常重要的意义。二、行列式的应用行列式是研究数学的重要工具之一，下面主要介绍行列式在代数和几何两10行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文个方面的应用。［www.61k.com](一)、行列式在代数中的应用（1）用行列式解线性方程组如果线性方程组?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b? ? ??????????an1x1?an2x2???annxn?bn（其中x1,x2,?,xn代表未知量，aij(i?1,2,?,m;i?1,2,?,n)代表未知量的系数，b1,b2,?,bm带表常数项。）的系数行列式D?0,那么，这个方程组有解，并且解事唯一的，可表示为x1?DD1D,x2?2,?,xn?n DDD（2）用行列式因式分解利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例13 分解因式 ab2c3?bc2a3?ca2b3?cb2a3?ba2c3?ac2b3.解 原式=abc(bc2?b2c)?(a2c?ac2)?(ab2?a2b) =bc(c?b)?ac(a?c)?ab(c?b) =bcc1b1?aca1c1?abbcab a1bca1=abc1?ab?bcc?a0 acb1ac?bcb?a0=(ab?bc)(b?a)?(ac?bc)(c?a) =b(a?c)(b?a)?c(a?b)(c?a)=abc(a?b)(c?a)(b?c)(3)用行列式证明恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 11行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例14 已知a?b?c?0, 求证a3?b3?c3?3abc 证明 令D?a3?b3?c3?3abc，则abca?b?ca?b?ca?b?ccbacba111?(a?b?c)cab?0bcaD?cab?bca命题得证。［www.61k.com]（二）、行列式在几何中的应用 （1）用行列式表示三角形的面积以平面内三点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，R(x3,y3)为顶点的?PQR的面积S是1x22x3x1y11y21 y31证明 将平面P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x3,y3)三点扩充到三维空间，其坐标分别为(x1,y1,k)，(x2,y2,k)，(x3,y3,k)，其中k为任意常数。由此可得?(x2?x1,y2?y1,0)，?(x3?x1,y3?y1,0)??(0,0,?PQR面积为x2?x1x3?x1y2?y1y3?y1)S??,?1?21x2?x1=2x3?x1x2?x1x3?x1y2?y1y3?y12y2?y1y3?y112行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文x11=x22x3y11y21 y31（2）用行列式表示直线方程直线通过两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)的直线方程为x1y1y2?0. (1) yx2x证明 由两点式，我们的直线PQ 方程为x?x2y?y2?.x1?x2y1?y2将上式展开并化简，得xy1?xy2?x1y?x2y?x2y1?xy2?0 此式可进一步变形为 xy1y2?yx11x21?x1x2y1y2?0此式为行列式(1)按第三行展开所得结果，原式得证。[www.61k.com］ （3）三线共点平面内三条互不平行的直线a1L1,a1x?b1y?c1?0L2,a2x?b2y?c2?0相交于一点的充要条件是a2a3L3,a3x?b3y?c3?0b1b2b3c1c2?0. c3（4）三点共线平面内三点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，R(x3,y3)在一直线的充要条件是x1y11y21?0. y31x2x313行列式的应用 行列式的计算方法及应用毕业论文参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社, 2003.[2]、江苏师范学院数学系编写组编. 解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003[3]、许甫华.高等代数解题方法[M].北京：清华大学出版社，2003[4]、胡乔林.关于行列式的定义及其计算方法[M],科技信息,2007，25[5]、张贤科,许浦华 高等代数学[M].北京 清华大学出版社，2003[6]、毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉：华中科技大学出版社，2000[7]、万广龙. 行列式的计算方法与技巧[J]. 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(D)4.求解：x?2x?1x?2x?32x?22x?12x?22x?3 f(x)?3x?33x?24x?53x?54x4x?35x?74x?3x?210?12x?210?1 ?3x?31x?2?24x?3x?7?3x?21002x??1??3x?31x?2?12x?2x?7?64x?3x?7?6? xx?2?1?(?x)(?5)(x?2?1)?5x(x?1) 2x?5?51行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结故f(x)?5x(x?1)?0有两个根，故应选(B).a10四阶行列式0b40a2b300b2a30b100a4的值等于 （ ）(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4. (B)a1a2a3a4?b1b2b3b4. (C)(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4). (D)(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4).求解：a2原式?b2a300a40b4a2b30b2a3?a1a40a1b30?b10a2b3b2a3?b1b4a2b3b2a3?(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)。(www.61k.com］故选(D)。（1999西安电子科大） 计算n?1阶行列式Dn?11?11其中，ai求解：第一列提取?1，第i列提取ai(i1a1001?1000?a2?0?????an?0，i?1,2,?,n。?1,2,?,n)，得1a1?110?1?100??1a20101an?0???01Dn?1??a1a2?an???再将第2,3,?,n?1列都加到第1列，然后按第1列展开得nDn?1??a1a2?an?i?11ai。（2005数一（6）题）设?1，?2，?3均为维列向量，记矩阵A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)。2行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结如果A?1，那么B?_____。（www.61k.com］B转化为A计算，或将B的每个列向量用A的列向量现行表示。利用行列式的性质将求解： 方法一： 利用行列式性质B?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3?1??2??3,?2?3?3,2?2?8?3?1??2??3,?2?3?3,2?3?2?1??2??3,?2?3?3,?3?2?1??2,?2,?3?21,?2,?3因例： 一个n阶行列式反对称行列式为零. 证明：由aijA??1,?2,?3?1，故B?2。Dn?aij的元素满足aij??aji,i,j?1,2,?,n, 则称Dn为反对称行列式， 证明：奇数阶??aji知aii??aii，即aii?0,i?1,2,?,n0?a12a120?a23??a2na13a230??a1n?a2n?a3n??，由行列式的性质故行列式Dn可表示为Dn??a13??a1nA?A?，?a3n?0a12Dn?a13?a1n?a120a23?a2n?a13??a1n?a23??a2n0?a3n0?a12a120?a23??a2na13a230??a1n?a2n?a3n????a3n?(?1)n?a13????0?a1n?(?1)nDn?a3n?当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0. 1．试证明b?cb1?c1b2?c2c?ac1?a1c2?a2a?ba2?b2aa2bb1b2cc1c2证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得a1?b1?2a13行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结b左?b1b2b?b1b2b?b1b2c?ac1?a1c2?a2cc1c2cc1c2aa?ba2?b2ca1?c1a2c2aba1?b1a2b2cc2aa1a2cc1c2c?ac1?a1c2?a2bb1b2aa?ba1?b1a2?b2b?b1b2c?ac1?a1c2?a2aa2cc2aa1a2a?ba1?b1a2?b2a1?b1?c1a1?c1bcc1c2aa1a2=右a1 ?2b1b2a22．计算n阶行列式a1?b1Dn?a2?b1a1?b2?a1?bna2?b2?a2?bn??an?b1an?b2?an?bn解：当n=1时，D1=a1+b1 ，当n=2时，D2=（a1+b1）（a2+b2）-（a1+b2）（a2+b1） =（a1-a2）（b1-b2）当n≥3时,将第一行乘（-1）加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即a1?b1a2?a1Dn?a3?a1?an?a1综上所述a1?b2?a1?bna2?a1?a2?a1a3?a1?a3?a1?0 ??an?a1?an?a1a1?b1,n?1??Dn??(a1?a2)(b1?b2),n?2 。［www.61k.com）?0,n?3?3． n阶行列式D中每一个元素aij分别用数bi-j(b≠0)去乘得到另一个行列式D1 ，试证明D1=D 。 证明： 首先将行列式D的每行分别提出b1,b2…,bn，再由每列分别提出b-1,b-2…,b-n可得D1?a11b1?1a21b2?1a12b1?2?a1nb1?na22b2?2?a2nb2?n???an1bn?1an2bn?2?annbn?na11b1b?1?a21b2b?1a12b1b?2?a1nb1b?na22b2b?2?a2nb2b?n???an1bnb?1an2bnb?2?annbnb?n4行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结a111b?a212b??a1nb?n?2?(b1b2?bn)a21b?1a22b?an2nb???? a?1n1ba2nn2b??annb?a11a12?a1n?(b1b2?bn)(b?1b?2?b?n)a21a22?a2n???an1an2?anna11a12?a1n?a21a22?a2n????D an1an2?ann12345555334．已知A?32542,求 61阅读提醒您本文地址：2221146523（1）A51+2A52+3A53+4A54+5A55；（2）A31+A32+A33及A34+A35 。（www.61k.com］ 解：由行列式的性质可知1234555533(1) A51+2A52+3A53+4A54+5A55=32542?02221112345(2)12345555335A31+5A32+5A33+3A34+3A35 =55533?0222114652312345555332A31+2A32+A33+A34+A35 =22211?02221146523解出A31+A32+A33=0，A34+A35 =0 。3．化为三角形行列式 5行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。[www.61k.com）因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。（2001西安电子科大）计算n阶行列式ycDn?ccc求解：将第n行乘以(?1)分别加到第2,3,?,n?1行，得bxaaabaxaa?????baaxabaaax?????y0Dn?00c再将第2列，?，第n?1列都加到第n列，得bx?a0?0ab0?0a????b00?aba?xa?x?xx?a??x?aa?x6行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结按第一列展开，2.（2004华东理工）1计算行列式的值11求解：方法一：化三角形 ybb?b(n?1)b0x?a0?00D00x?a?00n?????? 000?x?a0caa?ax?(n?2)ax?a0?000x?a?00Dn?y????? 00?x?a0aa?ax?(n?2)a bb?b(n?1)bx?a0?00?(?1)n?1c0x?a?00 ?????00?x?a0?y(x?a)n?2?x?(n?2)a??(?1)n?1c(n?1)b(x?a)n?2(?1)n?(x?a)n?2?y(x?(n?2)a)?(n?1)bc? 11?1a10?00a2?0，其中a1,a2,?,an都不为0。(www.61k.com] ???00?an011aa?1aD1?a1a2?an101?0 ????100?1?111a?1???1?11a2aaaa?0n?0??aj j?1????000?17 ?行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结??aj(??j?1i?1nn1)。(www.61k.com］ ai方法二：化三角形??i?1n1ai1a11a2?1??aj(??j?1i?1nnDn?1?1) ai?ana1??计算下面行列式的值a2?anan?a1?a1a2?????a2?an??求解：升阶化三角形。10Dn?01a1?1?1各行减去第一行a1a1??a1?a1a2?ananan?a2?a2????a2??an??a20?an?0??10?2?0??????1n0ai0a1?na2?an??i?1??i?1?2???1?2??n(1??i?1nai?i)。?n2.（2003华南师大）a11?x证明行列式等式a12?x?a1n?x????A?x??Aiji?1j?1nna21?xa22?x?a2n?x?an1?xan2?x?ann?x8行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结其中A?aij，Aij是aij在aij中的代数余子式。(www.61k.com)求解：升阶法。 1xx?x1xxa12a22?x 0a11?xa12?x?a1n?x?1a11左边?0a21?xa22?x?a2n?x??1a21?a1n?a2n????????0an1?xan2?x?ann?x?1an1an2?anna11a12?a1n?1a12?a1n（按第一行展开）?a21a22?a2n?1a22?a2n????x??????an1an2?ann?1an2?ann?1a11?a1,n?1(?1)1?(n?1)x?1a12?a2,n?1??? ?1an1?an,n?1a11a12?a1n（从第二项开始均按第一列展开）?a21a22?a2n???an1an2?annnnn?x?Ai1?xi?1?Ai2???xi?1?Ain i?1a11a12?a1n?a21a22?a2nnn????x??Aij=右边i?1j?1an1an2?ann1?12?31?33?79?5例1 计算行列式D?204?21．3?57?1464?410?102解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算． ?2??3?1??3??2?1?1?12?311?12?311?4??3?1??5??4?1?00?10?04?1?2???3? ?00?10?2?4???2?0?00?21?530?21?22?209 -12---2行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结?4???3??5??2?3?1?10 ?000300020?100?34011?1200020?100?3401?1?2??1?2??1???1???6??12 .?10?5??2?4??0?200?102?6?100?6?a1a1例2计算n阶行列式Da21?a2a2?a2a3a3?a3???ananan?．?a1?a11?a3??1?an解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． 61阅读提醒您本文地址：??a1?a2???an??1???i?a2a3?ananan?n1a2a3?ananan???a1?a2???an?1?a2a3?D ??a1?a2???an?a21?a3?i?2,?,n??????a1?a2???an?10a21a2a3a3?an0?011?a2a3?????1??ai?1a21?a3?i?1?????1a2a3?1?an?1?annnn ?i???1? ?????1??ai?001?0??1??ai??1?1??ai .i?2,?,n?i?1i?1i?1???????000?1ab例3 计算n阶行列式babbba???bbbD?b????bbb?a解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得a?(n?1)ba?(n?1)bD?a?(n?1)bbabbba???b1bb?b1ab?bbb?[a?(n?1)b]1ba?b?????????1bb?aa?(n?1)bbb?a10行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结1?[a?(n?1)b]0bb?b00a?b0?0a?b??0?0?[a?(n?1)b](a?b)n?1???a?b例4：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：123?n?1234?Dn?345?n1n12?????n12?n?2n?1[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。(www.61k.com]注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解：12Dn?3?111?1?1?????n11?1000?0??n???11?n1?100?000?n0?00?(i?2,?,n)ri?r1112?100?1?0??10?00?001?n0?0?n0?001?1?n0??nn1?n1?11n2?n?2n?1n?1?n0?1n(n?1)??n2?n000??n?0??(i?2,?,n)r1?1nri??n??n(n?1)(n?2)1n(n?1)???(?n)n?1?(?1)2n2n(n?1)(n?1)n?1??n???1?22（2000西安电子科大）计算n阶行列式11行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结11Dn?121x321432?n?n?1?n?2?1????1xxx?求解：从Dn的第2列开始，每行乘以(?1)往上一行加，得00Dn?00111?x0?0x1111?x?0x???111?x111111?11111???????1?x1?x1?(?1)n?101?x?0x?0????0?1?x100x???000000?xx?(?1)n?101?x?0?0????0?1?x1?(?1)n?1xn?24．降阶法（按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。[www.61k.com）12例1、计算20阶行列式D20?3212321?819?161718?3?2?1???201918?[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算12行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结出结果。（www.61k.com)注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：解：1D202?3212321?17?2?002019ci?1?ci18?11123?19201?1?11???111?111?111??1?1??1?1??1?1????201918?1(i?2,?,20)(i?1,?19)?1?11?1?1?1100?001?2?0??0?0?ri?r134?202122?21?(?1)20?1?218??21?218?20a00?010a0?00例2 计算n阶行列式Dn?00a?00?????000?a0100?0a13行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结a00?00a0?0解 将Dn按第1行展开0a0?000a?0Dn?a00a?0?(?1)n?1????????000?a000?a100?0?an?(?1)n?1(?1)nan?2?an?an?2.a0D?00a000a???000100例3 计算n（n≥2）阶行列式?????100?0aa?．a0?000a?00a?001?nD?a??1??????解 按第一行展开，得????000?a00?0a100?0再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到．D?a???1?n1?n??1?00a0?n?1??100baan?2?an?an?2?an?2?a2?1?．a0求n阶行列式?ba000b00?????????0b求解： 利用降阶法ab?000a?00按第一列展开Dnb0?00ab?00 61阅读提醒您本文地址：????a?????b(?1)n?1?00?ab00?0a00?b000?ab?an?(?1)n?1bn一道题目可以有不同的方法来解答，另外还有一种方法就是直接用定义。(www.61k.com]由行列式的定义知此行列式除项a11a22?ann和a12a23?an?1,nan1外其余乘积项都是零，故Dn?(?1)?(12?n)a?a?a?(?1)?(23?n1)b?b?b?an?(?1)n?1yn14行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结5．递（逆）推公式法递推法是根据行列式的构造特点，建立起与［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。(www.61k.com] （2002 上海交大），的递推关系，最后利用与，的递推关系式，逐步推下去，从而求出得到的值。的值。 有时也可以找到xaaax???aaa?ax计算行列式D??a?a??????a?a?a?x求解：先拆行，再用递推法。xaaax???0?a0?a0?a?axD??a?a??????a?a?a?(x?a)?axaaax???aaaaxaaax???aaa000?x?a?ax??a?aa?axa??a?a??????a?a?a??aa?????a?a?a??ax?a0?0?002ax?a0?002a2a?00??2a2a2a?aaa?a?(x?a)Dn?1x?a??x?aa??a(x?a)n?1?(x?a)Dn?1即Dn?a(x?a)n?1?(x?a)Dn?1。同理得：Dn?(x?a)Dn?1?a(x?a)n?1。于是，n??(x?a)Dn??a(x?a)?(x?a)(x?a)Dn?1?n??(x?a)Dn?a(x?a)?(x?a)(x?a)Dn?1?1??2?(2)?(1)得：2aDn?a(x?a)n?a(x?a)n当a?0时，Dn?1(x?a)n?(x?a)n2??。15行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结当a?0时，显然Dn?xn?1(x?a)n?(x?a)n2??。[www.61k.com）故?000?1000?.1(x?a)n?(x?a)n 2????1???01例1 计算行列式Dn???0000Dn???????????00??????????解：将行列式按第n列展开,有Dn?(???)Dn?1???Dn?2,Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2),Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2),得 Dn??Dn?1??2(Dn?2??Dn?3)????n?2(D2??D1)??n。?(n?1)?n,???;?n?1nD?????n?1同理得 Dn??Dn?1??, n,???.?????ay例2 计算Dnxay?yxxa?y?????xxx?a?yy解a?y0Dn?0?0xay?yx?x?a???y?xxx?a0a?xy?x?y?xyy?yyxayy00a?x?y?xxxay?????????xxxa000?a?x????(a?y)Dn?1?y?(a?y)Dn?1?y(a?x)n?1同理Dn?(a?x)Dn?1?x(a?y)n?1nx(a?y）?y(a?x)n,(x?y) 联立解得Dn?x?y16行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结当x?y时,Dn?(a?x)Dn?1?x(a?x)n?1?(a?x)2Dn?2?2x(a?x)n?1??????(a?x)n?2D2?(n?2)x(a?x)n?1?(a?x)n?1?a?(n?1)x?x0例3 计算n阶行列式?1x0?00?1x?0???000000??1a1?x．Dn?0?0an???xan?1an?2?a2解 首先建立递推关系式．按第一列展开，得：x0Dn?x0?0?1x0?00?0?1?0x?0000n?1?10x0?000n?1n?1?10?0an?1an?2???1?an0x?1?00?xDn?1???1??an???1???????????0?x?1000?x?1an?3?a2a1?x?xDn?1?an ，这里Dn?1与Dn有相同的结构，但阶数是n?1的行列式．现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：Dn?x?xDn?2?an?1??an?x2Dn?2?an?1x?an?x2?xDn?3?an?2??an?1x?an????xn?1D1?a2xn?2???an?2x2?an?1x?an ，因D1?x?a1?x?a1，故Dn?xn?a1xn?1???an?1x?an．?1时，显然成立．设对n?1阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的． 当nDn?xDn?1?an?x?xn?1?a1xn?2???an?2x?an?1??an?xn?a1xn?1???an?1x?an ，、可知，对n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．2例4证明n阶行列式12?0001?00?????00?1000?21．??n?1121Dn?00210?121?证明 按第一列展开，得D?2?????????????．n000000??102112000000??102112其中，等号右边的第一个行列式是与Dn有相同结构但阶数为n?1的行列式，记作Dn?1；第二个行列式，若将它按第一列展17行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结 61阅读提醒您本文地址：开就得到一个也与Dn有相同结构但阶数为n?2的行列式，记作Dn?2．这样，就有递推关系式：Dn?2Dn?1?Dn?2．因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的． 当n?1时，D1?2，结论正确．当n?2时，D2?21?3，结论正确． 12设对k ≤ n?1的情形结论正确，往证k由Dn?n时结论也正确． ?2Dn?1?Dn?2?2n??n?1??n?1 可知，对n阶行列式结果也成立． 根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．例5.计算n阶行列式a?xaa?aa?yx0?00Dn?0?yx?00?????000??yx解： 将行列式按第n列展开，可得?yx?yxDn?xDn?1?a(?1)1?n??x?y=xDn-1+ayn-1∴Dn= xDn-1+ayn -1=x(xDn-2+ayn-2)+ ayn-1=…=xn-1D1+ayn -1+ayn-2x+ …+ayxn-2=xn-2n-1n+a(xn-1+xn-2y+…+xy+y)注：此题可按第一行展开即得结果。[www.61k.com］例6.计算n阶行列式： ?a11?1Dn?11?a2?1???11?1?an其中a1a2?an?0．将Dn改写为1?a11?1?0D11?a2?1?0n????11?1?an18行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结1?a1按cn拆开11?a2?1?1?11?11?0?1?a111?a2?0?1+????11?an?1 ?a1由于 ?1ri?rni?1,?,n?1a11?11?a2?1??1?a211?1?a1a2?an?1?a11?011?a2?0???11?an因此Dn=anDn?1按cn展开?anDn?1 ?a1a2?an?1为递推公式，而D1?1?a1，于是?Dn?11?Dn=anDn?1?a1a2?an?1=a1a2?an????a1a2?an?1an?=a1a2?an?Dn?211?????=???a1a2?an?2an?1an??D11?1?111?=aa?a????1?????n???12? aaaaaa2n?12n??1?=a1a2?an6．利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； ...) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。(www.61k.com)其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。19行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结1x1?1例1 计算行列式D1x2?12x2?x2???1xn?12xn?xn?x12?x1?x1n?1?x1n?2??n?1n?2n?1n?2x2?x2?xn?xn解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式1x1D?x12?x1n?11x22x2???1xn2xn???n?i?j?1?(xi?xj)n?1n?1x2?xna1nna2D?例2 计算n?1阶行列式?a1n?1b1n?1a2b2?a1n?2b12n?22a2b2????a1b1n?1a2b2n?1?b1nb2n?．其中a1a2?an?1?0．nn?1n?22n?1anananbnn?1?1?1bn?1?1bn?1?an?1bn?1解 这个行列式的每一行元素的形状都是都是n，又因aiain?kbik，k?0，1，2，…，n．即ai按降幂排列，bi按升幂排列，且次数之和?0，若在第i行（i?1，2，…，n）提出公因子ain，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即111b1a1b2a2?bn?1an?1?b1????a1?2?2?b1????a1?nD?aa?an1n2nn?1?b2????a2????2?b2????a2??n??aini?1nn?1?bibj?????biaj?aibj? . ????aj?1≤j?i≤n?1?ai?1≤j?i≤n?1?bn?1???a?n?1??b???n?1??an?1?x2D?x例3 计算行列式yzyy2xzzz2xy.解：20行列式的计算方法 行列式的计算方法和技巧大总结D(3)?(y?z)(1)?xx2yy2zz2xy?xz?yzy2?yz?xzyz?z2?xy(3)?x(1)xyz?x2y2z2222x?xy?yz?xzy?xy?yz?xzz?xy?yz?xz?(xy?yz?xz)(y?x)(z?x)(z?y)x1例4 计算行列式1x22x2?????1xn2xnDn?2x1n?2x1nx1?nx2?n?2xnnxnn?2x2?解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式x12x112x2????1xn2xn1yy2?yn?2x2???xn?22n?1x2?nx2P(y)?xn?21n?1x1nx1?xn?2nn?1xnnxn=?(y?x)?(xii?11?j?i?nni?xj)yn?1yn易知Dn等于P(y)中nyn?1的系数的相反数,而P(y)中yn?1的系数为??xkk?1n1?j?i?n?(xi?xj) ,因此,Dn??x?(xkk??11?j?i?ni?xj)例5、 计算n阶行列式(a?n?1)n?1(a?n?1)n?2Dn??a?n?11(a?n?2)n?1?(a?1)n?1(a?n?2)n?2?(a?1)n?2?a?n?21???a?11an?1an?2?a1解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。[www.61k.com]先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换