几个有关x的n次多项式有几个根除以一个x的n次方，如何在不展开的条件下快速计算?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-10-03 07:19 标签： n次多项式有几个根

在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够

的话，在已知函数在某一点的各阶

值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

得名于英国数学家布鲁克·

。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。

在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的

用在信息描述其附近取值

牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在英格兰德尔塞克斯郡的

出生。1701年，泰勒进

的圣约翰学院学习。1709年后移居

，获得法学学士学位。1712年当选为

会员，同年进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论的委员会。并于两年后获法学博士学位。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年12月29日于

的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶

值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由

发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，由柯西给出的。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成

成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了

对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常

的奇异解，曲率问题之研究等。

对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，直到

进行研究，此部分数学内容才得到解决。阿基米德应用

使得一个无穷级数能够被逐步的细分，得到了有限的结果。

17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干

。直到1712年，英国

学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；

教授发现了泰勒级数的特例，称为

泰勒公式是将一个在x=x

0

处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x

0

若函数f（x）在包含x

0

的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶

[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x

0

处的泰勒展开式，剩余的R

（x）是泰勒公式的余项，是（x-x

0

泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：

1、佩亚诺（Peano）余项：

这里只需要n阶导数存在。

其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）

3、拉格朗日（Lagrange）余项：

4、柯西（Cauchy）余项：

其中误差α是在Δx→0即x→x0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确。于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

来近似地表示函数f（x）且要写出其误差f（x）-P（x）的具体表达式。设函数P（x）满足：

于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，显然有：

至此，多项的各项系数都已求出，得：

以上就是函数的泰勒展开式。

接下来就要求误差的具体表达式了。设，令得到：

其中θ1在x和x0之间；

继续使用柯西中值定理得到：

其中θ2在θ1和x0之间；

连续使用n+1次后得到：

其中θ在x和x0之间；

一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把R

函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中x0取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若f（x）在x=0处n阶连续可导，则下式成立：

其中表示f（x）的n阶导数。

当，其中δ在0与x之间时，公式称为拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式；

当时公式称为带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式。

n阶泰勒公式中的余项写成如下形式的拉格朗日余项：

那么其中的θ的有一个重要性质：当在点连续，且，则。

实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的

叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

显然y=sinx在x=0处具有任意阶导数，并且。

类似地，可以展开y=cosx。

证明：函数在点处的二阶泰勒公式为

例4、计算近似值，并估计误差。

将该式子扩展到复数系内以定义指数函数，得到

特别地，当上式z=ib时，有

把上面的b换成x，就得到了欧拉公式。

由欧拉公式，对任意一个复数z=a+ib，有

即复数z的指数函数依然是一个复数，这个复数的模r=ea，幅角θ=b。

，与实变函数f（x）=e

在x=a时的函数值相同。

  • 1. 同济大学数学系 编 ．高等数学同济七版 ：高等教育出版社

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