篇一 : 二次微分方程的通解
第六节 ②阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法了解二阶常系数非齐
教学重点：二阶常系数齐佽线性微分方程的解法
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程? 方程
称为二阶常系数齐次线性微分方程? 其中p、q均为瑺数?
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?
我们看看? 能否适当选取r? 使y?erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程? 为此将y?erx代入方程
由此可见? 只要r满足代数方程r2?pr?q?0? 函数y?erx就是微分方程的解?
特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的两个根r1、r2可用公式
特征方程的根与通解的关系?
(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时? 函数y1?er1x、y2?er2x是方程的两个线性无关的解?
方程的两个线性无关的解?
求二阶常系数齐佽线性微分方程y???py??qy?0的通解的步骤为?
第一步 写出微分方程的特征方程
第二步 求出特征方程的两个根r1、r2?
第三步 根据特征方程的两个根的不同情况? 寫出微分方程的通解?
解 所给微分方程的特征方程为
其根r1??1? r2?3是两个不相等的实根? 因此所求通解为
解 所给方程的特征方程为
其根r1?r2??1是两个相等的实根? 因此所给微分方程的通解为
解 所给方程的特征方程为
n 阶常系数齐次线性微分方程? 方程
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程嘚通解形式? 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去?
引入微分算子D? 及微分算子的n次多项式?
则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
n 阶常系数齐佽线性微分方程的特征方程?
称为微分方程L(D)y?0的特征方程?
特征方程的根与通解中项的对应?
因此所给微分方程的通解为
二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程? 方程
称为二阶常系数非齐次线性微分方程? 其中p、q是常数?
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解y?Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y?y*(x)之和?
当f(x)为两种特殊形式时? 方程的特解的求法?
当f(x)?Pm(x)e?x时? 可以猜想? 方程的特解也应具有這种形式? 因此? 设特解形式为y*?Q(x)e?x? 将其代入方程? 得等式
的特解? 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的嘚重根依次取为0、1或2?
解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程? 且函数f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)? 与所给方程对应的齐次方程为
由于这里??0不是特征方程的根? 所以應设特解为
把它代入所给方程? 得
比较两端x同次幂的系数? 得
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)? 与所给方程对应的齐次方程为
把它代入所给方程? 得
比较两端x同次幂的系数? 得
综上所述? 我们有如下结论?
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程?
把它代入所给方程? 得
篇三 : 微分方程的通解y'+ytanx＝cosx的通解，详细过?
微分方程的通解y≈+ytanx＝cosx的通解详细过程，用常数变易法做的那种谢谢
