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对于一个(主)三什么是对角矩陣方程组我们常用“追赶法”来进行求解. 而三什么是对角矩阵方程组常常出现于微分方程的数值求解,例如热传导方程的边值问题
是一個线性函数时对该边值问题的数值解转化为一个典型的三什么是对角矩阵方程组求解.
追赶法的基本原理是矩阵的LU分解,即将矩阵A分解为
為一个上三角矩阵. 容易验证一个三什么是对角矩阵矩阵作LU分解以后,得到一个下二什么是对角矩阵矩阵与一个上二什么是对角矩阵矩阵嘚乘积即
A=?????????????
L=????????????? ????1?211?321???n?1,n?21?n,n?11?????????????
U=?????????????
三什么是对角矩阵矩阵A的LU分解计算过程如下:
在计算过程中,将下三角矩阵L和上三角矩阵U的值保存在原矩阵A中. 计算結束以后矩阵A中的元素为
?????????????
注: 三什么是对角矩阵矩阵A做LU分解以后,严格上三角部分的元素没有发生变化即上三角矩阵U中的元素
使用LU分解的求解线性方程组时,不需要存储下三角矩阵而上三角矩阵将被用于回代求解.
对于n阶的三什么是对角矩阵方程组
循环里面的前两行与LU分解完全相同,第三行负责对常数项做相应的变换. 在计算过程中上三角矩阵U的值保存在原矩阵A中,变换后的常数y=L?1b保存在b中.
接着我们用回代法求解上三角形方程组. 从三什么昰对角矩阵矩阵得到的上三角形方程组如下:
????????????? ?????????????x1x2?xn?1xn?????????=?????????y1y2?yn?1yn?????????
注意在前面的计算过程中,我们将上三角矩阵
中. 因此我们得到如下的回代过程:
在三什么是对角矩阵矩阵中,三什么是对角矩阵线以外的元素均为0为了提高存储的效率,我们只需存储三什么是对角矩阵线上的元素即可. 因此对于前媔的矩阵A,我们只存储三个向量:
这三个向量分别为矩阵A三条什么是对角矩阵线上的元素. 假定常数向量为
则实用的追赶法(亦称为“Thomas算法”)求解三什么是对角矩阵方程组的过程如下: