已知椭圆C:的圆的离心率率为鉯原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切A,B分别是椭圆的左右两个顶点P为椭圆C上的动点,(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若P与AB均不重... 已知椭圆C : 的圆的离心率率为
,以原点为圆心椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,AB分别是椭圆的左右两个顶点,P为橢圆C上的动点(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若P与A,B均不重合设直线PA与PB的斜率分别为k 1 ,k 2 证明:k 1 ·k 2 为定值;(Ⅲ)M为过P且垂直于x轴嘚直线上的点,若 求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线
解:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为 , 由已知 及点P在椭圆C上可得 所以点M的軌迹方程为 ,轨迹是两条平行于x轴的线段; ②当 时方程变形为 ,其中 当 时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足 的部分; 当 时点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足 时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆 |
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