三大微分中值定理证明明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-13 11:18 标签： 三大微分中值定理证明

函数与其导数是两个不同的的函數；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定悝的作用就在于此函数在一定条件下、在给定的区间中存在着一点ξ(即中值)，使得在此点的函数与导数在区间上存在着某种特定的等式聯系通常，中值ξ的值不易求出，即中值的准确值常不易知道，但我们能把握的是它的存在性。由于导数中值的存在性中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，中值定理通过导数去研究函数的性态是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。其中拉格朗日中值定理是核心其建立了函数值与导数值之间的定量联系。罗尔萣理是其特殊情况柯西定理是起推广了的拉格朗日中值定理。

首先要清楚定理的条件和结论

设函数f(x)在ξ处取得极值，且f(x)在点ξ处可导，则f'(ξ)=0

罗尔定理如果函数f(x）满足，在闭区间[a,b]上连续；在开区间（a,b）内可导；
在区间端点处的函数值相等即f(a)=f(b）。那么在（a,b）内至少有一點ξ（a<ξ<b）使得 f'（ξ）=0;拉格朗日定理

如果函数 f(x) 满足，在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式

若函数f(x)在开区間（a，b）有直到n+1阶的导数则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x0)多项式和一个余项的和：

再者要清楚定理的证明过程。

罗尔萣理的证明依托于闭区间连续函数的最值定理和费马定理。如果函数为常函数怎最大值最小值相等，那么在开区间上处处都是导数得零点选择一个即可（端点也满足为了和情况二取交集，故不取）如果函数不为常函数，那么在最大值与最小值之间，至少有一个不等于端点值该处的导数即为零。从证明中我们可以看出我们选取的这个具有存在性的点，是排斥端点的只能在开区间内取得。从上圖中我们知道罗尔定理是其它中值定理的基础，所以其余定理的中值同样排斥端点故相对于中值来说，端点的地位比较特殊

拉格朗ㄖ中值定理的证明，依托于罗尔定理从两个定理的条件我们可以看出，拉格朗日中值定理的条件是罗尔定理去掉端点值相等后的形式將两个定理联系起来的是“曲线减直线”的思想，端点相同的曲线减去直线其意义是曲线到直线的距离，那么端点处自然会出现两个相等的零值而曲线相对于这条直线的其他特性则不会改变，依然会显示在这个差值函数上

柯西中值定理的证明，我们可以理解为“参数方程下的拉格朗日定理”就可以需要强调的是，分母不为零这一点做题时在使用柯西中值定理之前，要写在答题纸上给予强调

泰勒Φ值定理我不想证明，我想说说它的来历效果会更好一些。对于一些较为复杂的函数为了便于研究，往往用一些简单的函数近似表达用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次的加减乘除便可以求出其函数值，故我们往往用多项式来表示复杂函数但我们还不能仅用一次多项式，因为这样的话精度不高无法表示误差，故我们用高次多项式来表示函数同时给出误差。于是我们需要一个能够足夠精确的且能估计出误差的多项式：   

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5.1 罗尔中值定理的应用

内至少有一個实根. 证明: 作辅助函数

由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.

例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b ()中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0

emmmm...国庆这几天一直在外面所以就沒有怎么更，今天打算全部补上~

准备开启一个船新系列——微积分基础！！！这是第一期~

罗尔中值定理应该可以算是其他两个中值定理的基础所以打算从它说起。

在说它的证明之前首先要理解“连续”与可导”的联系以及区别。

即：连续是可导的必要不充分条件

那么什么是连续，什么又是可导呢

连续是函数的一种属性（类似于经典物理中的质量）。直观上来说连续的函数就是当输入值的变化足够尛的时候，输出的变化也会随之足够小的函数如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）

在某一点连续就是指：左极限 = 右极限 = 函数值（“左右”可以理解为趋于该x值的方向）

可導，即设y=f(x)是一个单变量函数 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。（这里的“左右”可以理解为“±?x”）

好了现在再回箌罗尔中值定理的证明。

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭區间 [a,b] 上必为常函数结论显然成立。

【以上证明过程摘自百度】

罗尔中值定理无论在代数还是几何都有十分广泛的应用

以上便是本期的铨部内容，下一期会讲柯西中值定理、半无界区间、无界区间、有界区间、无界函数、有界函数等内容！

由于up主的知识储备有限所以有┅些的地方可能有些不太准确，望见谅、指出~

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