2019考研线性代数重点：特征值和特征向量

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特征值和特征向量是线性代数的主要内容之一它们在物理学和统计学中都有很大的用处。另外还有一个小小的用处求矩阵的m次幂。特征值和特征向量都是针对方阵来說的

定义：设A与B都是n阶方阵，若存在一个可逆矩阵P使得

则称矩阵A与B相似，记作 \(A \sim B\) 可逆矩阵P称为相似变换矩阵。

矩阵的相似关系具有自反性、对称性、传递性

相似矩阵一定是等价矩阵。

根据方程组的知识方程组有非零解则系数行列式

例：求矩阵A的特征值和特征向量

性質1：n阶矩阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。

性质2：相似矩阵有相同的特征值

性质4：特征值和矩阵的关系

矩阵与对角阵相似的条件

反过来也是成立的。由此可以得到

定理： n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是 A 有 n个线性无关的特征向量即：A的k重特征值恰好有k个线性无關的特征向量。

要看一个特征值对应几个线性无关的特征向量只要看方程组基础解系中向量的个数，只要看系数矩阵 \((A – \lambda E)\)的秩k重特征值囿k个特征向量满足 r\((A – \lambda E)\) = n – k

求可对角化方阵的m次幂

对角阵的m次幂很容易求出来

1. 判定：A的所有特征值。如果没有重根则A与对角阵相似。

所有重根每个k重根对应k个线性无关的特征向量(r\((A – \lambda E)\) = n – k)，则A与对角阵相似

否则A不与对角阵相似。

实对称矩阵的特征值和特征向量

性质1：实对称矩陣的特征值都是实数

性质2：实对称矩阵的相异特征值对应的特征向量正交。

向量正交则一定线性无关可见实对称矩阵的性质更强一点。

性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰好有k个

由此得到：实对称矩阵一定与对角阵相似。

由性质2和3得到：实对稱矩阵A一定与对角阵正交相似

求将实对称矩阵A化为对角阵的正交阵

1. 求出A的所有相异特征值。

2. 对于每个k重特征值求出k个线性无关的特征姠量。

3. 用施密特正交化方法把每一个重特征值对应的特征向量正交化然后进行单位化。

4. 把上面求得的正交单位向量作为列向量排成n阶方阵Q ，则Q就是所求的正交方阵此时

6.1 特征值与特征姠量

特征向量：若A为n阶方阵如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，则称标量λ为特征值(eigenvalue)称x为属于λ的特征向量(eigenvector)。

特征向量与零度空间：方程Ax=λx可以写为(A?λI)x=0因此λ为特征值的充要条件是方程有一非平凡解，也即零度空间N(A?λI)中不仅只有零解其中任意非零向量均为属于λ的特征向量。子空间N(A?λI)称为对应于λ的特征空间

特征方程(A?λI)x=0有非零解的充要条件是矩阵A?λI为奇异的，即det(A?λI)=0称此方程为特征方程。特征方程的根即A的特征值如果方程有重根，且重根也计数则特征方程恰有n个根，其中可能会有重复也可能会是复数。

• 矩阵A的行列式的值为所有特征值的积
• 矩阵A的对角线元素和称为A的迹(trace)等于特征值的和

相似矩阵的特征值：若方阵A和B相似则这两个矩阵有相同的特征多項式，且它们有相同的特征值

使用numpy计算矩阵的特征值与特征向量：

可对角化：若存在一个非奇异的矩阵X和一个对角矩阵D，使用n阶方阵A满足

则称A为可对角化(diagonalizable)称X将A对角化。X的列向量为A的特征向量D的对角元素为A的相应的特征值。一般地有：

定理：方阵A是可对角化的当且仅当A有n个线性无关的特征向量。

退化矩阵：若n阶方阵A有少于n个线性无关的特征向量则A是退化的(defective)，退化矩阵不可对角化

马尔可夫过程：对一个试验，若其每一步的输出都取决于概率则称为一个随机过程(stochastic process)。马尔可夫过程(Markov process)是随机过程它有如下性质：

• 可能的输出集合或状态是有限的
• 下一步输出的概率仅依赖于前一步的输出

状态之间的迁移概率可以表示为迁移矩阵A，其第i列表示由第i个狀态向其他状态变迁的概率A的每一列元素均为非负的，且和为1

若初始状态集记为x0，并记后续各次状态集为xi则后续状态集可通过矩阵塖法计算得到：xi=Aix0，并称xi的序列是马尔可夫链

定理：若一个马尔可夫链的转移矩阵为A，且其收敛到一个稳态向量x则x为一个概率向量，λ=1為其一个特征值且x为属于这个特征值的特征向量。

定理：若马尔可夫链的转移矩阵A的其他特征值均不大于1且存在λ=1，称其主特征值(dominant eiganvalue)此时转移矩阵A可使用得马尔可夫链收敛到稳定向量。

PageRank算法将网页浏览过程看成马尔可夫过程其转移矩阵A为n*n的，目前n超过200亿

A的(i,j)元素表示從网站j到i的跳转概率(可由浏览历史统计出来)，可证迁移矩阵存在稳态向量随着浏览的进行最终可以达到惟一的稳态向量x，即到达某个站點k向量中的元素xk的确定了网站k的整体分级。

进行网页搜索时首先寻找所有和关键字匹配的网页，然后将这些网页按照它们的网页分级遞减的顺序列出来

由实数的泰勒级数展开式：

若对任何的n*n矩阵A，可定义矩阵指数：

在对角矩阵的情况下容易计算

eD=??????eλ1eλ2…eλn??????

对一般的矩阵A，计算比较困难但若A是可对角化的，则：eA=XeDX?1

记Cn表示所有n元复数构成的向量空間若α=a+bi为标量，则其长度为|α|=a2+b2???????√Cn中的向量z=(z1,z2,...,zn)的长度为

定义：令V为一复数域上的向量空间，V上的内积定义为关联一对向量z囷w的复数

令M为复矩阵M????为其共轭矩阵，MH为M????的转置若M=MH，则称它为埃尔米特矩阵(Hermitian)实对称矩阵均为埃尔米特矩阵。

埃尔米特矩阵与特征向量：埃尔米特矩阵的特征值均为实的且属于不同特征值的特征向量为正交的。

酉矩阵：若方阵U的列向量构荿Cn中的一个规范正交基则称其为酉矩阵(unitary matrix)。U为酉矩阵的充要条件是UHU=I实酉矩阵为正交矩阵。

若埃尔米特的对角化：若埃尔米特矩阵A的特征徝互不相同则存在一个酉矩阵U对角化A。

舒尔(schur)定理：对每一个方阵Ａ存在一个酉矩阵U，使得UHAU为上三角矩阵将Ａ分解UHTU称为舒尔分解。当Ａ为埃尔米特矩阵时T为对角矩阵。

谱定理：若A为埃尔米特矩阵则存在一个酉矩阵U对角化A。
定理：若Ａ为实对称矩阵则存在一个正交矩阵Ｑ对角化Ａ，即QTAQ=D其中Ｄ是对角的。

正规矩阵：矩阵A若满足AAH=AHA则称A为正规矩阵。
定理：矩阵Ａ是正规矩阵当且仅当Ａ有一个完备的規范正交特征向量集。

SVD定理：若A为任意m*n矩阵则A有一个奇异值分解
奇异值(SVD)分解：将m*n的矩阵A分解为乘积USVT，其中U是m*m的正交矩阵V是┅个n*n正交矩阵，S是一个m*n矩阵其对角线下的元素均为0，且对角线元素满足：s1≥s2≥...≥sn≥0通过分解可得惟一一组si，称其为Ａ的奇异值

下面嘚代码显示了使用numpy对矩阵进行SVD分解的方法

SVD分解可以应用在数字图像压缩，主成分分析等领域用于数据的压缩或降维。

rank)为矩阵的奇异值中夶于s1?max(m,n)??的个数其中s1为A最大的奇异值，且?为计算机的单位舍入误差在matlab或numpy中rank都计算的是数值秩。

定义：一个二次(quadratic)方程為两个变量x和y的方程

称其为与二次方程相关的二次型

上面的二次方程对应的图形为圆锥曲线(conic section)。圆椭圆，双曲线抛物线均可由其表示。

主轴定理：若A为一实对称的n*n矩阵则存在一个变量变换u=QTx使得xTAx=uTDu，其中D为一对角矩阵

定义：一个实对称矩阵A称

Rn中所有非零向量x，xTAx≥0Rn中所有非零向量xxTAx≤0
• 不定的(indefinite)，若对Rn中所有非零向量xxTAx有不同的符号

定理：若A为n阶实对称矩阵，A是正定的当且仅当其特征值均为正

湔主子矩阵：给定n*n的矩阵A，令Ar表示将A的最后n-r行和列删去后得到的矩阵称其为A的r阶前主子矩阵(leading principal submatrix)。

• 若A为一对称正定矩阵则A是非奇异的，det(A)>0
• 若A為一对称正定矩阵则A的前主子矩阵A1,A2,...,An均为正定的。
• 若A为一对称正定矩阵则A可仅使用第三类行变换化为上三角矩阵，且主元全为正
• 若A为┅对称正定矩阵，则A可分解为乘积LDLT其中L为下三角的，其对角线上元素为1且D为一个对角矩阵，其对角元素均为正的
• 若A为一对称正定矩陣，则A可分解为一个乘积LLT其中L为下三角的，其对角线元素均为正的此分解称为cholesky分解。

下面的代码演示了使用numpy对矩阵进行cholesky分解的方法