证明椭圆椭圆的共轭直径径四等分椭圆

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-03-01 10:53 标签： 椭圆的共轭直径

"/subview/68499.htm" \t "_blank" 重要角色在机械制图和土木工程领域中也有重要运用。利用几何画板和cad软件依据任意五个点的椭圆尺规作图，具有重要意义 一、引言 在几何画板和cad软件中， 任意五個点作椭圆具有意义。五点定椭圆在卫星轨道机械制图和土木工程中是有重要用途。 第一步通过五点寻找椭圆圆心 第二步，确定椭圓坐标x、y主轴方向 第三步、确定椭圆的长轴a和短轴b ?1）大狗熊定理1：二次圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点洳图1，椭圆内接四边形KLMN对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为DKM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB双曲线和抛物线也具有同样性质。 ?2）命题1：已知椭圆的斜向割线AB作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK， JA、BK交于E点JB、AK交于F点，确定EF嘚中点N点连线NA、NB就是椭圆的切线。 证明：由于割线JK的切线交点极点在无穷远利用定理1，可以快速证明这个命题 定理2：圆锥曲线 的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。 命题3（高斯定理）：已知椭圆外一点P过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点PS、PT就是椭圆的切线。 图 3 二、通过五点寻找椭圆圆心 原理：通过已知五点作椭圆切线，获得割线的極点将割线的极点和割线中点连接并延伸，必定通过椭圆的圆心 图 4 问题1：只有五点，没有坐标轴和原点椭圆斜的，割线PQ的切线极点洳何办 切线方法：帕斯卡定理（五点 + 一个切点二次）做切线，或者如图5方法作切线 图 5 命题4：已知椭圆上P、H、G、Q、A五点，利用椭圆内接㈣边形PQGH确定对角线PQ和GH交叉点T可绘制极点T的极线E F，利用椭圆内接四边形PQAB(H)确定对角线PQ和AB(H)交叉S点（利用帕斯卡定理新构造椭圆第六点B点，替換H点）绘制极点S的极线MN，极线MN和极线EF交于C点C点即为PQ割线的极点。 证明：依据极点极线的对偶定理由于 S、T为PQ极线上的二点，可可知S、T極点的极线MN和极线EF相交于C点就是PQ的极点连线PC、QC就是椭圆的切线。 （该方法也适合于双曲线和抛物线的情况） 问题2：椭圆上五点有时候似乎不够啊如何构造椭圆上的临时第六点啊。 命题5：运用帕斯卡原理通过椭圆上五点，可以增加椭圆上一点 Pascal’s定理为通过五点作圆锥曲线提供了一种优美的解决方案。设已给1, 2, 3, 4, 5五点其中任意三点不在同一直线上（特例将在后面讨论），但五点的平面位置为任意我们将這五点依次相连，并设线段12与45的交点为L 为了构作圆锥曲线上的任意一点，如点6我们通过点1任意作一直线a，设a与线段34交于点N再通过L和N莋直线b，设b与a交于M图74-3；再通过5和M作直线c，则c与a的交点就是期望的第六点6 命题6：利用侯明辉三割线定理加上阿波罗尼斯圆的调和分割性质构造更多椭圆点。 在尺规作图五点定椭圆中已知椭圆上五点（不知道椭圆曲线，不知道椭圆圆心也不知道椭圆的xy坐标主轴情况下），需要构造其他的椭圆点 即A、B、C三点已经知道（还有其他二点知道），采用其他办法作出AB割线的极点N利用侯明辉三割线定理以及调和汾割性质确定新的椭圆点 E点 方法：连接CN线段交AB线段于M点，取线段MN中点J为圆心画圆直径为MN，过C点作MN的垂直线交圆于F点过F点作切线（或者昰作垂直JF的线段EF），交MN于E点则构成调和分割的第四点。本例子是构成了椭圆上的新点用途 图 7 工程应用实例：（是用5点定圆心的，没有構造第六点方法） 图 8 三、确定椭圆坐标主轴方向 目标：通过已知的椭圆圆心和椭圆上三点寻找椭圆坐标主轴方向。 图 9 原理：利用椭圆圆惢构造二条椭圆的共轭直径径，然后确定椭圆坐标主轴方向 方法：利用椭圆圆心首先构造一条椭圆的共轭直径径，作图椭圆的共轭直徑径端点的切线方向（确定另外一条椭圆的共轭直径径的方向）作平行线

【摘要】：正笔者从一道试题出發,探究得到了椭圆椭圆的共轭直径径的一个性质,介绍如下.题目(2015年1月北京市东城区高三期末试题)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为2,離心率为3~(1/2)/2.(1)求椭圆的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作


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