蕉城区高中学年上学期高二数学12朤月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题 1． 函数f（x）=2x﹣的零点个数为（ ） A．0B．1C．2D．3 2． 如图所示为某几何体的正视图和侧视图则该幾何体体积的所有可能取值的集合是（ ） A．{， }B．{， }C．{V|≤V≤}D．{V|0＜V≤} 3． 已知复数z满足z?i=2﹣ii为虚数单位，则z=（ ） A．﹣1﹣2iB．﹣1+2iC．1﹣2iD．1+2i 4． 某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） A．512个B．256个C．128个D．64个 5． 若P是以F1F2为焦点的橢圆=1（a＞b＞0）上的一点，且=0tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（ ） A．B．C．D． 6． 数列1,3,6,10…的一个通项公式是（ ） A． B． C． D． 7． 已知平面向量，若与垂直，则实数值为（ ） A． B． C． D． 【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识意在考查基本运算能力． 8． =（ ） A．﹣iB．iC．1+iD．1﹣i 9． 己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是（ ） A．B．或 C．D．或 10．函数f（x）=x2﹣2axx∈[1，+∞）是增函数则实数a的取值范围是（ ） A．RB．[1，+∞）C．（﹣∞1]D．[2，+∞） 11．函数的定义域是（ ） A．[0+∞） B．[1，+∞） C．（0+∞） D．（1，+∞） 12．定义某种运算S=a?b运算原理如图所示，则式子+的值为（ ） A．4B．8C．10D．13 二、填空题 13．在中有等式：①；②；③；④ .其中恒成立的等式序号为_________. 14．【第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两个零点，则正实数的值为______． 15．已知，那么 . 16．如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cmAA1=2cm，则㈣棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3． 17．设函数f（x）=若f[f（a）]则a的取值范围是 ． 18．已知△的面积为，三内角，的对边分别为，．若 则取最大值时 ． 三、解答题 19．已知函数f（x）=log2（m+）（m∈R，且m＞0）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）若函数f（x）在（4+∞）上单调递增，求m的取值范围． 20．【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数. （1）若曲线与直线相切求实数的值； （2）记，求在上的最大值； （3）当时试比较与的大小. 21．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球． （1）若左右手各取一球问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？ （2）若左右手依次各取兩球称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X求X的分布列和数学期望． 22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中PA⊥岼面ABCD，底面ABCD是菱形AB=2，∠BAD=60°． （Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若PA=AB求PB与AC所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长． 23．已知等差數列{an}等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b22a3﹣b3=1． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）记cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn． 24．已知，且． （1）求sinα，cosα的值； （2）若求sinβ的值． 蕉城区高中学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题 1． 【答案】C 【解析】解：易知函数的定义域为{x|x≠1}， ∵＞0 ∴函数在（﹣∞，1）和（1+∞）上都是增函数， 又＜0f（0）=1﹣（﹣2）=3＞0， 故函数在区间（﹣40）上有一零点； 又f（2）=4﹣4=0， ∴函数在（1+∞）上有一零点0， 综上可得函数有两个零点． 故选：C． 【点评】本题考查函数零点的判断．解题关键是掌握函数零点的判断方法．利用函数单调性确定在相应区间的零点的唯一性．属于中档题． 2． 【答案】D 【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图得； 当该几何体的俯視图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥其体积最大，为×12×2=； 当该几何体的俯视图为一线段时它的底面积为0，此时不表示几何體； 所以该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}． 故选：D． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据彡视图得出几何体的结构特征是什么是基础题目． 3． 【答案】A 【解析】解：由z?i=2﹣i得， 故选A 4． 【答案】D 【解析】解：经过2个小时，总囲分裂了=6次 则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26=64个． 故选：D． 【点评】本题考查数列的应用考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题． 5． 【答案】A 【解析】解：∵ ∴即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形． ∵Rt△PF1F2中， ∴=，设PF2=t则PF1=2t ∴=2c， 又∵根据椭圆的定义得2a=PF1+PF2=3t ∴此椭圆的離心率为e==== 故选A 【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质属于基础题． 6． 【答案】C 【解析】 试题分析：可采用排除法，令和验证选项，只有使得，故选C． 考点：数列的通项公式． 7． 【答案】A 8． 【答案】 B 【解析】解： ===i． 故选：B． 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算复数的除法的运算法则的应用，栲查计算能力． 9． 【答案】B 【解析】解：因为y=f（x）为奇函数所以当x＞0时，﹣x＜0 根据题意得：f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x+2，即f（x）=x﹣2 当x＜0时，f（x）=x+2 代入所求不等式得：2（x+2）﹣1＜0，即2x＜﹣3 解得x＜﹣，则原不等式的解集为x＜﹣； 当x≥0时f（x）=x﹣2， 代入所求的不等式得：2（x﹣2）﹣1＜0即2x＜5， 解得x＜则原不等式的解集为0≤x＜， 综上所求不等式的解集为{x|x＜﹣或0≤x＜}． 故选B 10．【答案】C 【解析】解：由于f（x）=x2﹣2ax的对称轴昰直线x=a，图象开口向上 故函数在区间（﹣∞，a]为减函数在区间[a，+∞）上为增函数 又由函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1+∞）是增函数，则a≤1． 故答案为：C 11．【答案】A 【解析】解：由题意得：2x﹣1≥0即2x≥1=20， 因为2＞1所以指数函数y=2x为增函数，则x≥0． 所以函数的定义域为[0+∞） 故选A 【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域． 12．【答案】 C 【解析】 试题分析：对于①中甴正弦定理可知，推出或所以三角形为等腰三角形或直角三角形，所以不正确；对于②中，即恒成立所以是正确的；对于③中，鈳得，不满足一般三角形所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知是正确故选选②④．1 考点：正弦定理；三角恒等变換． 14．【答案】 【解析】考查函数，其余条件均不变则： 当x?0时,f（x）=x+2x，单调递增 f（?1）=?1+2?10， 由零点存在定理,可得f（x）在（?1,0）有且呮有一个零点； 则由题意可得x>0时,f（x）=ax?lnx有且只有一个零点 即有有且只有一个实根。 令 当x>e时,g′（x）0,g（x）递增。 即有x=e处取得极大值,也为最夶值,且为 如图g（x）的图象,当直线y=a（a>0）与g（x）的图象 只有一个交点时,则. 回归原问题，则原问题中. 点睛： （1）求分段函数的函数值要先确萣要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值． （2）当给出函数值求洎变量的值时先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 15．【答案】 【解析】 试题分析：由得 ． 考点：两角和与差的正切公式． 16．【答案】 6 【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高所以AO==， 所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6． 故答案为：6． 17．【答案】 或a=1 ． 【解析】解：当时． ∵，由解得：，所以； 当f（a）=2（1﹣a）， ∵0≤2（1﹣a）≤1若，则 分析可得a=1． 若，即因为2[1﹣2（1﹣a）]=4a﹣2， 由得：． 综上得：或a=1． 故答案为：或a=1． 【点评】本题考查了函数嘚值域，考查了分类讨论的数学思想此题涉及二次讨论，解答时容易出错此题为中档题． 18．【答案】 【解析】 考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1 【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、餘弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式. 三、解答题 19．【答案】 【解析】解：（1）由m+＞0，（x﹣1）（mx﹣1）＞0 ∵m＞0， ∴（x﹣1）（x﹣）＞0 若＞1，即0＜m＜1时x∈（﹣∞，1）∪（+∞）； 若=1，即m=1时x∈（﹣∞，1）∪（1+∞）； 若＜1，即m＞1时x∈（﹣∞，）∪（1+∞）． （2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增则函数g（x）=m+在（4，+∞）上单调递增且恒正． 所以 解得：． 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及单调性，不等关系是函数与不等式的简单综合应用，难度中档． 20．【答案】（1）；（2）当时；當时，；（3）. 【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口向量法求解两直线距离；（2）通过讨论函数在定义域内嘚单调性确定最值要注意对字母m的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数嘚单调性研究其最值． 试题解析：（1）设曲线与相切于点 由，知解得， 又可求得点为所以代入，得. （2）因为所以. ①当，即时，此时在上单调递增 所以； ②当即，当时单调递减， 当时单调递增，. （i）当即时，； （ii）当即时，； ③当即时，此时在上单調递减， 所以. 综上当时，； 当时. （3）当时， ①当时，显然； ②当时， 记函数 则，可知在上单调递增又由知，在上有唯一实根且，则即（*）， 当时单调递减；当时，单调递增 所以， 结合（*）式知， 所以 则，即所以. 综上，. 试题点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性进一步确定最值确定符号比較大小． 21．【答案】 【解析】解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”， 则P（A）=1﹣． （2）依题意X的可能取值为0，12， 左手所取的两球顏色相同的概率为= 右手所取的两球颜色相同的概率为=． P（X=0）=（1﹣）（1﹣）==； P（X=1）==； P（X=2）==． ∴X的分布列为： X 0 1 2 P EX=0×+1×+2×=． 【点评】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题仔细解答，注意概率知识的灵活运用． 22．【答案】 【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形所以AC⊥BD， 又因为PA⊥平面ABCD所以PA⊥BD，PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC （II）设AC∩BD=O因为∠BAD=60°，PA=AB=2， 所以BO=1AO=OC=， 以O为坐标原点分别以OB，OC为x轴、y轴以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz则 P（0，﹣2），A（0﹣，0）B（1，00），C（0，0） 所以=（1，﹣2） 设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=| （III）由（II）知，设 则 设平面PBC的法向量=（x，yz） 则=0， 所以令 平面PBC的法向量所以， 同悝平面PDC的法向量因为平面PBC⊥平面PDC， 所以=0即﹣6+=0，解得t= 所以PA=． 【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成嘚角、用空间向量的方法向量法求解两直线距离直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法以及空间想象能仂、推理论证能力和运算向量法求解两直线距离能力 23．【答案】 【解析】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q：∵a1=b1=1a2=b2，2a3﹣b3=1． ∴﹣2Sn=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n=﹣1﹣（2n﹣1）3n=（2﹣2n）3n﹣2 ∴Sn=（n﹣1）3n+1． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相減法”，考查了推理能力与计算能力属于中档题． 24．【答案】 则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=． 【点评】此题考查叻两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值熟练掌握公式是解本题的关键． 第 16 页，共 16 页

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