将函数在圆环域内展开为洛朗求双边幂级数的收敛域，题目见图

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-03-12 17:21 标签： 洛必达法则公式

* * §3.5 洛朗(Laurent)求双边幂级数的收敛域展開 已知：当f(z)在圆|z-z0|<R内解析时Taylor定理告诉我们， f(z)可展开成幂求双边幂级数的收敛域 问题的提出 为了研究函数在奇点附近的性质，需要函数在孤立奇点z0邻域上的展开式 考虑：当f(z)在圆|z-z0|<R内有奇点时，能否展开成幂求双边幂级数的收敛域或展开成类似于幂求双边幂级数的收敛域的形式 教学目的与要求: 了解双边幂求双边幂级数的收敛域,了解洛朗求双边幂级数的收敛域与泰勒求双边幂级数的收敛域的关系,掌握解析函数茬孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 重点: 解析函数的洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式的求法. 难点：解析函数的洛朗展式的證明. 一、双边幂求双边幂级数的收敛域(含有正、负幂项) 其中 正幂部分称为 解析(正则)部分， 负幂部分称为 主要(无限)部分 收敛区域(环)的确定： 正则部分 收敛(圆) 区域为： 负幂部分 令 则 设 → 即负幂部分在|z-z0|=R2的圆外收敛。 由此我们可以用它的正幂项求双边幂级数的收敛域和负幂项求雙边幂级数的收敛域的敛散性来定义原求双边幂级数的收敛域的敛散性。 规定：当且仅当正幂项求双边幂级数的收敛域和负幂项求双边幂級数的收敛域都收敛时原求双边幂级数的收敛域收敛，并且把原求双边幂级数的收敛域看成是正幂项求双边幂级数的收敛域与负幂项求雙边幂级数的收敛域的和 讨论： (1)若R1<R2，则双边幂求双边幂级数的收敛域处处发散 (2)若R1>R2，则双边幂求双边幂级数的收敛域就在R2<|z-z0|<R1环状区域内收斂环状收敛域称为收敛环。 双边幂求双边幂级数的收敛域在收敛环内绝对且一致收敛在环外发散，在环上敛散性不定 正则部分 主要蔀分 收敛环 R2<|z-z0|<R1 双边幂求双边幂级数的收敛域的性质 定理1：双边幂求双边幂级数的收敛域 在收敛环上的和函数是一解析函数，并且在任意较小嘚闭圆环上 一致收敛 定理2：设双边幂求双边幂级数的收敛域 的收敛环B为R2<|z-z0|<R1，则f(z) (1) 在B内连续； (2) 在B内解析且逐项可导； (3) 在B内可逐项积分。 定理3：设函数f(z)在环状区域R2<|z-z0|<R1的内 部单值解析则对于环内任一点z，f(z) 必可展开成 其中 称为洛朗系数，C为环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭匼曲线(也可取圆周) 几点说明： (1) z=z0(即展开中心)可能不是f(z)的奇点但 在|z-z0|≤R2上，存在奇点(即内圆以内存在 奇点)； (2) 洛朗系数 因为 成立的条件是f(z)在C内解析； (3) 洛朗展开的唯一性； (4) 如果只有环心z0是f(z)的奇点，则内圆半径可以任意小同时z可以无限地接近z0点，这时就称 为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域內的洛朗展开式若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)，而在去心邻域0<|z-z0|<ε内解析，则称z=z0是f(z)的孤立奇点若在z0无论多么小的邻域内，总有除z0外的奇点则称z0为f(z)的非孤立奇点。 泰勒求双边幂级数的收敛域在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域R2<|z-z0|<R1内的洛朗求双边幂级数的收敛域也具有 茬收敛圆环域内的洛朗求双边幂级数的收敛域可以逐项求导、逐项积分、和函数是解析函数。 求洛朗展开式的系数Cn 洛朗展开式的系数Cn用公式计算是很麻烦的 由洛朗求双边幂级数的收敛域的唯一性，我们可用别的方法特别是代数运算、代换、求导和积分等方法展开，这样往往更便利(即间接展开法) 同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗求双边幂级数的收敛域一般不同；由洛朗求双边幂级数的收敛域的唯┅性可知，同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗求双边幂级数的收敛域一定相同 例1 求函数 在圆环 的洛朗求双边幂级数的收敛域。 解 紸意 用到已有的展开： 作业题的错误集中在后半边的展开特别是 原因应该是没有熟练掌握已有的展开 例2 将函数在指定去心领域内展成洛朗求双边幂级数的收敛域 并指出收敛范围 我们知道 在原点邻域上的展开式为 把z全换成1/z,可得到以下结果: 用1-z去换上式中的z得到： 即

任一个解析函数能否用幂求双边冪级数的收敛域来表达 . 内任意点 如图: . K . 幂求双边幂级数的收敛域性质回顾： 定理（泰勒求双边幂级数的收敛域展开定理） 2. 泰勒(Taylor)求双边幂级數的收敛域展开定理 D k 代入(1) 分析： D k z 联合(I),(II) (*)式 证明： 注： (2) 展开式的唯一性 分析：设f (z)用另外的方法展开为幂求双边幂级数的收敛域: 直接法 　 　间接法：由展开式的唯一性，运用求双边幂级数的收敛域的代数 运算、分析运算和 已知函数的展开式来展开 函数展开成Taylor求双边幂级数的收敛域嘚方法： 3. 简单初等函数的泰勒展开式 例1 解： 直接法 间接法 例2 把下列函数展开成 z 的幂求双边幂级数的收敛域: 解： (2)由幂求双边幂级数的收敛域逐项求导性质得： 注:通过奇点判断收敛范围 4. 小结：F(z)在z0点解析 1. 引入 §4.4 罗朗(Laurent)求双边幂级数的收敛域 2. 双边幂求双边幂级数的收敛域 3. Laurent求双边幂级數的收敛域展开定理 4. z0?<R2 内解析, f (z) 可以展开成含有负幂次项的求双边幂级数的收敛域,即 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的求双边幂級数的收敛域表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 数和计算留数的基础 2. 双边幂求双边幂级数的收敛域 ---含有负幂项的求双边幂级数的收敛域 定义 形如 ---双边幂求双边幂级数的收敛域 负幂项部分 正幂项(包括常数项)部分 是一幂求双边幂级数嘚收敛域，设收敛半径为R2 收敛域：?z - z0?=R2 。 收敛域： z0 R1 R2 z0 R2 R1 注： (2)在圆环域的边界?z - z0?=R1, ?z - z0?=R2上, 3. 洛朗求双边幂级数的收敛域展开定理 定理 (2)在许多实际应用中经常遇到f (z)在奇点 z0的去心邻域内解析，需要把f (z)展成洛朗 （ Laurent ）求双边幂级数的收敛域来展开 求双边幂级数的收敛域中正整次幂部分和负整次幂部汾分别称为 洛朗求双边幂级数的收敛域的解析部分和主要部分。 (3) 展开式的唯一性 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有 正、负幂项的求双边幂级数的收敛域是唯一的这个求双边幂级数的收敛域就是f (z) 的洛朗求双边幂级数的收敛域。 分析： D z0 R1 R2 c D z0 R1 R2 c 由唯一性将函数展开成Laurent求双边冪级数的收敛域，主要 用间接法 例1 解 4 函数的Laurent求双边幂级数的收敛域展开式 例2 解 例3 解

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