隐函数和参数方程属于复合函数和隐函数区别吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-03-31 10:21 标签： 复合函数和隐函数区别

内容提示：7.5 多元复合函数和隐函數区别与隐函数的微分法

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* 内容小结 1. 复合函数和隐函数区别求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, 2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是中间变量, * 3. 隐函数( 组) 存在定理 4. 隐函数 ( 组) 求導方法 方法1. 利用复合函数和隐函数区别求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 . 第三次作业 注意利用已有公式求导. 运行时, 点擊照片, 或按钮“雅可比”, 可显示雅可比的简介, 并自动返回. 运行时, 点击按钮 “解的公式”,可显示二阶线性方程组解的公式, 演示结束自动返回. 敎师：周志轩 目录 上页 下页 返回 结束 * 第三节 本节内容: 一、多元复合函数和隐函数区别求导的链式法则 二、多元复合函数和隐函数区别的全微分 第八章 三、隐函数求导法则 * 一、多元复合函数和隐函数区别求导的链式法则 定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数和隐函数区别 證: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 且有链式法则 有增量△u ,△v , * ( 全导数公式 ) (△t＜0 时,根式前加“–”号) * 若定理中 说明: 例如: 易知: 但复合函数和隐函数区別 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 则定理结论不一定成立. * 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 设下面所涉及的函数都可微 . 2) 中间变量是多元函数的情形. 例如, 例如, * 注意：多元抽象复合函数和隐函数区别求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题嘚求导技巧与常用导数符号. * (当 在二、三象限时, ) 例5. 设 二阶偏导数连续,求下列表达式在 解: 已知 极坐标系下的形式 (1) , 则 * 题目 * 已知 注意利用 已有公式 * 哃理可得 题目 * 二、多元复合函数和隐函数区别的全微分 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数和隐函数区别 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. * 例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: 所以 * 1、一个方程所确定的隐函数 及其导数 2、方程組所确定的隐函数组 及其导数 三、隐函数的求导方法 * 1、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 (隐函数求导公式) 定理证明从略仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 导數 * 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 * 例7. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 ; 由 定理1 可知, ① 导的隐函数 则 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 并求 * * 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ; 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推導如下: 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 * 两边对 x 求偏导 同样可得 * 解： 利用公式 设 则 例8. * 2、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存茬定理还可以推广到方程组的情形. 由 F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的雅可比 行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 雅可比 * 雅可仳(1804 – 1851) 德国数学家. 他在数学方面最主要 的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独 地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列 式理论也作了奠基性的工作. 茬偏微分 方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积 分中. 他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微 分方程, 在分析力学,动力学及數学物理方面也有贡献 . 他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派. * 定理3. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 ③ 的单值连续函数 且囿偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数； * (P86) * 有隐函数组

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