如何求图中的原函数？

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第１１卷第３期２００２年９月

Ｊｏｕｍａ】ｏｆＨｎｇｄｉｎｇｓｈａｌｌ

ｌｎ８ｔｎｕｆｅｏｆＴｅｃｈｎｄｏｇｙ

文章编号：１６７１～９６６２【２００２）０３一００８３一０２

求原函数的一种新方法——图解积分法

（平顶山工学院河南平顶山４６７０（）Ｉ）

摘要：介绍用几何作图方法求連续函数，（ｚ）的原函数的方法关键词：几何作图；原函数；定积分中图分类号：０１７２

在众多的高等教学教材上．求连续函数，（ｚ）的原函数即求，（ｒ）的不定积分时都是在被积函数，（ｚ）有具体解析式且原函数可以用初等函数表示时才能用直接积分法、换元积分法及分部积分法，求出它的原函数的但是在大量的工程技术中，所遇到的连续函数（ｚ）往往是用一条连续胁线表示的，那我们如何求出它的原函数呢笔者在认真研究定积分的几何意义及原函数存在定理之后，认为可以用几何作图方法求连续函数当用连續曲线表示时的原函数其方法如下。

１求＝｛，（ｚ）ｄｚ（－厂（ｚ）≥ｏ）

设连续函数（ｒ）在［ｄ，６］上的图形如图１所礻在Ｏ々轴上

沿［ｈ的负方向上取ｏＰ线段，使ｌｏＰｌ＝１利用积分第一中值公

式ｌ，（ｚ）ｄｒ＝（｝）（６一ｎ），（ａ≤｝≤６）凭眼力在［“，６］上估

计出点｛的位置作直线。＝｝交曲线ｙ＝／（ｚ）于Ｑ（｛，（｝）），

过Ｑ作平行于ｚ轴的矗线ＦＧ交ｏｙ轴于丁，交直线ｚ＝ｎ于Ｆ

交直线工＝６于Ｇ，则矩形ＦＡＢＧ的面积＝１／（）ｄ“连结ＰＴ，

过Ａ作ＡＭ’∥Ｐ丁交直线，＝＾于Ｍ７则有向线段ＢＭ７的数值

就是定积分Ｉｒ（ｚ）ｄｚ的值。

事实上由作图知：Ｐ丁∥＾Ｍ

７，则△Ｐｏ丁～△ＡＢＭ’从而簧芋＝器，即ＢＭ７＝ｏＴ?ＡＢ＝蛔

’ｎＢ＝厂（｝）（６一ｎ）＝Ｉ＿厂（ｚ）ｄｚ

当区间［“６］不太大时，凭眼力画出直线ＦＧ从而作出有向线段ＢＭ７，其误差不会太大当区问［ｎ，６］较大时利用上述作法，求出的有向线段ＢＭ７嘚数值表示Ｉｕｒ（ｚ）ｄｚ误差就会较大为了提高精度，可把积分区间［ｎ６］分成一些小区间［，＿．儿ｚ。ｒ：］¨?［“＿¨ｚ。］（不必相等）在每个小区间

［。＿ｌｚ一上，用上述的作法分别作出有向线段ｒ，Ｍ，使ｚＭ：＝ｒ－厂（ｚ）ｄｒ。另外取分点ｚ＝ｚ：时应尽量使在每个小区间［ｚ，ｒ一为函数，（ｚ）单调区间；同时曲线ｙ＝，（ｒ）与ｒ轴的交点亦取莋分

点，为了使图形清晰起见，我们不必把这些线段作在原来的ｚ轴上而可以把它们作在平行于（）ｒ轴

的另…轴Ｏｌｚ７上（图２）。如果曲边梯形的面积是从ｚ＝ｎ处算起的话那么该曲边梯形在．ｒ＝“处

收稿日期：２００２一０２一１２

＊平项山工学院２００ｌ级建筑工程系学生。

的面积等于零因此在Ｏｌｒ’轴上标出点Ｍ。（ｎ０）作为曲线ｙ＝／（，）上点Ｍｆ的对应点。从＝ａ到．ｒ＝ｒ．为止的曲边梯形面积，即

ｒ（ｚ）ｄｚ。我们可队从Ｍｏ作

ＭＭ１∥Ｐ丁ｌ，交直线』＝丁ｌ于

Ｍｊ则有向线段ｒ。Ｍ的值＝

ｌｙ（，）ｄｒ而Ｍ．对应于Ｍｌ。从

＝ｎ到ｚ＝ｚ，为止的曲边梯形面

积即Ｉ７（一）ｄｚ等于第一、第二两

个小區间上的曲边梯形的面积的代数和，如果我们从点Ｍ．作ＭＩＭ２

∥ＰＴ：交直线。＝ｚ２于Ｍｊ那么有向线段ｚ：Ｍ；的数值＝ｉ４７（ｚ）ｄｒ。Ｍｚ对应于Ｍ２照着这样继

续下去，可以相继得曲线上点Ｍ、Ｍ。…的各个对应点Ｍｊ、Ｍｊ…最后曲线上的点（６，（６））的对应点

Ｍ：，则有向线数＿【｛Ｍ：的数值就是所求的积分值Ｉ＿厂（ｚ）ｄｒ

求，（ｚ）＝ｌ｛￡）ｄ￡

用上述的方法，当用分点ｎ＝ｚ＜Ｔｌ＜丁２…＜ｚ。＝６分区间［ｎ６］为ｎ个小区问［ｚｏ，丁１］、

［。ｚ：］¨．［ｚ。。ｚ。］时，其直线ｒ＝ｚ，交曲线ｙ＝－厂（－ｒ）于Ｍ：，可得相应点Ｍ；ｔ从左至右用光滑曲线

把Ｍ。Ｍ：，Ｍ；…Ｍ：连结起来就得到一条光滑曲线。这条曲线上的每一点都对应着曲边梯形的底ＡＢ

上的一点如果从，＝ｎ起积分到曲边梯形上的某一点ｚ那么這积分值显然可以用所得曲线上对应点的纵坐标近似表出，换句话说所得曲线上各点的纵坐标，可以近似地表示从ｚ＝ｎ起取到曲边梯形底

边上各对应点为止的积分值，也就是说所得曲线便是积分上限为变量时由积分ｆ（－ｒ）＝Ｉ，（ｆ）ｄ￡所确

定函数Ｊ（ｚ）嘚图形

上述从被积函数的图形求出积分曲线（即原函数的图形）的几何作图法叫做图解积分法。参考文献：

［１］西安交通大学数学教研窒高等数学（第二版）［Ｍ］北京：高等教育出版社，１９８６

［２］同济人学数学教研室高等数学（第四版）［Ｍ］北京：高等敎育出版社，１９９６

ｆ３］丁家察微积分解题方法［Ｍ］北京：北京师范大学ｍ版社，１９８１

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求原函数的一种新方法--图解积分法

作者：作者单位：刊洺：英文刊名：年卷(期)：被引用次数：

平顶山工学院,河南,平顶山,467001

下载时间：2010年8月5日

  • 答：这种题第一次遇到时的确挺唬人的楼上就是犯了典型错误。 f(x)的导函数为sinx即f`(x)=sinx，那么f(x)=-cosx+C1 故f(x)的所有原函数为-sinx+C1x+C2 既然问的只是原函数中的一个，那原题应为选择题吧 一般答案形式会是-sinx+C这种。

    答：一楼没有错验算一下就可以了。【我没有注意修改时间更没有看到原来答案是什么，说他没错是指修改过的答案原来答案，我没看到所以无法评论】。【同时向真苗大侠说一声抱歉你指出一楼“犯了典型错误”，我相信一定是有根据的現在被他彻底改掉了】 二楼也没错，C1要他干什么 尚理的评论更对，C2也可以不要...

  • 答：这个极大值极小值也是用导函数来求的呢转换为（1/x）exp(x)的形式，再求

  • 答：举个例子若欲求zf(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)0的形式然后通过（式中Fy,Fx分别表示y和x对z的偏导数）来求解

  • 答：求原函数的主要方法就是反用导数表，在微积分学里叫做求函数的不定积分当然，做如何逆运算都要比原运算复杂一些并且因此产生了积分法，人们也发现有的初等函数的原函数根本不是初等函数人们不但要使用积分表，还要研究一些更为复杂的积分（求原函數的）工具

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