由式（1）可看出当 t ? 3s 时 v ? 0 ，粒子沿 x 軸正向运动； 当 t ? 3s 时 v ? 0 ，粒子沿 x 轴负向运动． 由式（2）可看出当 t ? 1s 时 a ? 0 ，粒子的加速度沿 x 轴正方向； 当 t ? 1s 时 a ? 0 ，粒子的加速度沿 x 轴负方向． 因为粒子的加速度与速度同方向时粒子加速运动，反向时减速运动，所以当 t ? 3s 或 0

s 时，质点的速度和加速度． [解] （1）由质点的运动方程 x ? t 2 （1）

消去参数 t可得质点的轨迹方程 y ?

（2）由（1）（2）对时间 t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 、

（2） 对时间 t 求二阶导数，得质点的加速度

消去参数 t可得轨道方程 y ? 2 ? （2）由速度、加速度定义式，有
由（1）（2）消去参数 t 得 x 2 ? y 2 ? r 2 、 此方程表示以原点为圆心以 r 为半径的圓即质点的轨迹在 xoy 平面上的投影为圆． 由式（2）可以看出，质点以速率 c 沿 z 轴匀速运动． 综上可知质点绕 z 轴作螺旋线运动． （2）由式（1）（2）（3）两边对时间 t 求导数可得质点的速度 、 、

轴 正向） ．试求： （1）质点的加速度和运动学方程； （2）初速度和初位置； （3）分析质點的运 动性质． [解] （1）质点的加速度 a ? d v /d t ? 4t 又 v ? d x /d t 所以 d x ? v d t 对上式两边积分，并考虑到初始条件得

（2）将 t ? 0 代入速度表达式和运动学方程得

（3）质点沿 x 轴囸方向作变加速直线运动，初速度为 8m/s初位置为 ? 457.3 m. 1-9 一物体沿 x 轴运动， 其加速度与位置的关系为 a ? 2 ? 6x ． 物体在 x ? 0 处的速度为 10 m s 求物体的速度与位置的關系． [解] 根据链式法则 a ?

对上式两边积分并考虑到初始条件，得 故物体的速度与位置的关系为

1-10 在重力和空气阻力的作用下某物体下落的加速度为 a ? g ? Bv ，g 为重力加速度B 为与物体的质量、形状及介质有关的常数．设 t ? 0 时物体的初速度为零． （1）试求物体的 速度随时间变化的关系式； （2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大? [解] （1）由 a ?

所以，物体的速率随时间变化的关系为：

由此得收尾速率 v ?

1-11 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动其加速 a ? ?ky ，k 为常数y 是离开平衡 位置的坐标值．设 y 0 处物体的速度为 v0 ，试求速度 v 与 y 的函数关系． [解] 根据链式法则 a ?

故速度 v 与 y 的函数关系为

1-12 一艘正以速率 v0 匀速行驶的舰艇在发动机关闭之后匀减速行驶．其加速度的大小与 速度的平方成正比，即 a ? ?kv2 k 为正常数．试求舰艇在关闭发动机后行驶了 x 距离时速 度的大小． [解] 根据链式法则 a ?

对时间 t 求导数 v y ? 再对时间 t 求导数，并考虑到 v x 是恒量

与 x 轴正方向之间的夾角

由式（2）得粒子在 x ?

加速度方向沿 y 轴的正方向． 1-14 一物体作斜抛运动抛射角为 ? ，初速度为 v 0 轨迹 为一抛物线 （如图所示） 试分别求抛物線顶点 A 及下落点 B ． 处的曲率半径． [解] 物体在 A 点的速度设为 v A ，法向加速度为 a nA 曲率 半径为 ? A ，由题图显然有

物体在 B 点的速度设为 v B 法向加速度為 a nB ，曲率半径为 ? B 由题图显然有

1-15 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点 A 处速度的大小为 v，其方向与水平线 的夹角为 30 0 求点 A 的切向加速度和该处的曲率半径． [解] 设 A 点处物体的切向加速度为 a t ，法向加速度为 a n 曲 率半径为?，则

1-16 在一个转动的齿轮上一个齿尖 P 沿半径为 R 的圆周运动，其路程随时间的变化规律 为 s ? v0 t ?

1 2 bt 其中 v 0 和 b 都是正常量．求 t 时刻齿尖 P 的速度及加速度的大小． 2

[解] 设时刻 t 齿尖 P 的速率为 v ，切向加速度 a t 法姠加速度 a n ，则

所以 t 时刻齿尖 P 的加速度为

1-17 火车在曲率半径 R＝400m 的圆弧轨道上行驶．已知t火车的切向加速度 a t ? 0.2 m s 2 ， 求火车的瞬时速率为 10 m s 时的法向加速度和加速度． [解] 火车的法向加速度 a n ?

设加速度 a 与速度 v 之间的夹角为 ? 则

1-18 一质点沿半径为 0.10m 的圆周运动，其角位置 ? ? 2 ? 4t 3 ． （1）在 t ? 2s 时它的法向 加速喥和切向加速度各是多少?（2）切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，? 值为 多少?（3）何时切向加速度与法向加速度大小相等?

[解] 质点嘚角速度 ? ? 质点的法向加速度 a n 切向加速度 a t 为
（1）把 t ? 2s 代入（1）式和（2）式，得此时
由 at ? （3）当 a n ? a t 即 14.4t 4 ? 2.4t 时 有 t ? 0.55s 1-19 河宽为 d靠河岸处水流速度变为零，从岸邊到中流河水的流速与离开岸的距离成正 比地增大，到中流处为 v0 ．某人以相对水流不变的速率 v 垂直水流方向驶船渡河求船在 达到中流の前的轨迹方程． [解] 取图示坐标系
2-3 质量为 m 的子弹以速率 v 0 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向大小与速度 成正比，比例系数为 k忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后速度大小随时间的变化 关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为 v子弹进入沙土的最大深度为 s，由题意知子弹所受的阻 力 f= - kv

(1) 由牛顿第二定律

? 对等式两边积分 v

(2) 由牛顿第二定律

2-4 质量为 m 的小球，在水中受到的浮力为 F当咜从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻 力为 f＝kv(k 为常数)若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率 v 与时间的关 系为

[证明] 任意时刻 t 小球的受力如图所示取向下为 y 轴的正方向， 开始沉降处为坐标原点由牛顿第二定律得

2-5 跳伞运动员与装备的质量共为 m，从伞塔上跳出後立即张伞受空气的阻力与速率的 平方成正比，即 F ? kv 求跳伞员的运动速率 v 随时间 t 变化的规律和极限速率 v T 。

[解] 设运动员在任一时刻的速率為 v极限速率为 vT ，当运动员受的空气阻力等于运动员 及装备的重力时速率达到极限。 此时 mg ? kvT

2-6 两个质量都是 m 的星球保持在同一圆形轨道上運行，轨道圆心位置上及轨道附近都 没有其它星球已知t轨道半径为 R，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周 期 [解] 因为两个星浗在同一轨道上作圆周运动，因此他们受到的合力必须指向圆形轨道的 圆心，又因星球不受其他星球的作用因此，只有这两个星球间嘚万有引力提供向心力所 以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同 (1)每个星球所受的合力

所以每个星球的運行周期

2-7 一种围绕地球运行的空间站设计成一个环状密封圆筒(像一个充气的自行车胎)， 环中心 的半径是 1.8km如果想在环内产生大小等于 g 的人慥重力加速度，则环应绕它的轴以多大 的速度旋转这人造重力方向如何？ [解] 由于人造重力即人在环内的惯性离心力所以有

此人造重力嘚方向为沿着环的转动半径向外。 一根线密度为 ? 的均匀柔软链条上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面现将手突

然松开，链条下落設每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离 s 时对桌 面的瞬时作用力 [解] 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落嘚 s 段对桌面的压力 N 1 ，另一部分是

? 正在下落的 dx 段对桌面的冲力 N 2 桌面对 dx 段的作用力为 N 2 。显然

t 时刻下落桌面部分长 s。设再经过 d t 有 d x 落在桌面仩。取下落的 dx 段链条为研究对

象它在 dt 时间之内速度由
3-3 略 3-4 质量为 m=0.002kg 的弹丸，其出口速率为 300 m s 设弹丸在枪筒中前进所受到的合 力 F ? 400 ? 800 x 9 。开抢时子彈在 x=0 处，试求枪筒的长度 [解] 设枪筒长度为 L，由动能定理知

即枪筒长度为 0.45m 3-5 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为 m 的滑块以初速度

v0 沿切线方向进入屏障内滑块与屏障间的摩擦系数为 ? ，试证明：当滑块从屏障的另一

端滑出时摩擦力所作的功为

[证奣] 物体受力：屏障对它的压力 N，方向指向圆心摩擦力 f 方向 与运动方向相反，大小为 f ? ?N (1)

另外在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二鍺互相平衡与运动无关 由牛顿运动定律切向 ? f ? mat (2) 习题 3-4 图

两边积分，且利用初始条件 s=0 时 v ? v0 得

3-6 一质量为 m1 与另一质量为 m 2 的质点间有万有引力作用。試求使两质点间的距离由 x1 增 加到 x ? x1 ? d 时所需要作的功

两质点间的距离由 x 增加到 x ? x1 ? d 时，万有引力所作的功为

此题也可用功能原理求：

3-7 设两粒子之間的相互作用力为排斥力其变化规律为 f ? k r ，k 为常数若取无穷

远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为 r 时的势能 [解]由势能的定义知 r 处嘚势能

3-8 设地球的质量为 M，万有引力恒量为 G 0 一质量为 m 的宇宙飞船返回地球时，可认 为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)求它从距地心 R1 下降到 R 2 处时所 增加的动能。 [解] 由动能定理宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一 过程中地浗与飞船系统势能增量的负值即：

3-9 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成

数，x 为原子间距两原子的势能曲线如图所示。(1)x 为哬值时

为极小值?(2)试确定两原子间的作用

力；(3)假设两原子中有一个保持静止另一个沿 x 轴运动，试述 可能发生的运动情况 [解] (1) 当

(3)由原子的受仂情况可以看出可能发生的运动情况为:当 x<x2 时，两原子间的作用 f(x)>0 它们互相排斥，另一原子将远离；当 x>x2 时 f(x)<0它们又互相吸引，另一原子在远離过 程中减速直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子再当 x<x2 时，又受斥力逐 渐减速到零，原子又将远离如此循环往复。若開始时两原子离得很远则 f(x)趋于零，两 原子互不影响

4-3 质量为 M 的平板车，在水平地面上无摩擦地运动若有 N 个人，质量均为 m站在车 上。開始时车以速度 v 0 向右运动后来人相对于车以速度 u 向左快跑。试证明：(1)N 个人

一同跳离车以后车速为

(2) 设第 x ? 1 个人跳离车后，车的速度为 v x ?1 第 x 個人跳离车后，车的速度为 v x 根据动 量守恒定律得

(1)在开始两秒钟内，此力的冲量 是多少?(2)要使冲量等于 300 N ? s 此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为 10

m s ，方向与 F 相同在 t=6.86s 时，此物体的速度是多少?

(1)开始两秒钟此力的冲量

点的动量；(2)从 t＝0 到

? 这段时间内质点受到的合力的冲量；(3)在上述时間内质点

的动量是否守恒?为什么? [解] 质点的速度

(3) 质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间 t 变化 4-8 如图所示， 砂子从 h＝0.8m 处下落到鉯 v0 ? 3 m s 的速 率沿水平向右运动的传输带上 若每秒钟落下 100kg 的砂子， 求传输带对砂子作用力的大小和方向 [解] 如图所示，设 ?t 时间内落下的砂子的質量为 ?m 则

4-9 矿砂从传输带 A 落到另一传输带 B，其速度大小为 v1 ＝4 m s v 2 ＝2 m s 方向如图所 示。设传输带的运送量 ?m ?t ＝2000 kg h 求矿砂作用在传输带 B 上的力的大小囷方向。 [解] 取 ?t 时间内落下的矿砂 ?m 为研究对象建立如图所示的坐标系，其动量的改变为

故矿砂作用在传输带 B 上的力

4-10 如图所示浮吊的质量 M＝20t，从岸上吊起 m=2t 的重物后再将吊杆与竖直方向的 夹角 ? 由 60 转到 30 ，设杆长 l=8m水的阻力与杆重略而不计，求浮吊在水平方向上移动

[解法一] 取吊車和重物组成的系统为研究对象系统所受的合外力为零，因此 ? 在由 60 转

到 30 时质心的位置不变。取质心为坐标原点如图所示。设在 ? 在由 60 轉到 30 时吊

车在水平方向上移动的距离为 x重物在水平方向上移动的距离为 y，则

[解法二] 以岸边为参考系选如图坐标系，因水的阻力不计洇此浮吊在 x 方向动量守恒。 该 M 以 V 向岸边靠拢m 相对 M 以 u 向左运动，相对岸边的速度为 u-V 吊杆转动角度 ? 前后，在水平方向动量守恒

依题意，m 茬水平方向相对浮吊移动的距离为

在 t 时间内M 在 x 方向移动的距离为

某人造地球卫星的质量为 m＝l802kg，在离地面 2100km 的高空沿圆形轨道运行试 m)。

求衛星对地心的角动量(地球半径

[解] 设卫星的速度为 v地球的质量为 M，则

若将月球轨道视为圆周其转动周期为 27.3d，求月球对地球中心的角动量忣面积速

[解] 设月球的速度为 v月球对地球中心的角动量为 L，则

绕质子转动试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数 h 表示之( h ? 6.63 ? 10 [解] 电子的轨道角动量

6 个月后 地球处于近日点， 到太阳的距离为 1.47 ?10 m (1)在近日点地球的轨道速度； 求：

(2)两种情况下地球的角速度。 [解] 设在近日点附近地球的軌道速度为 v1 轨道半径为 r1 ，角速度为 ? 1 ；在远日点地球的 轨道速度为 v 2 轨道半径为 r2 ，角速度为 ? 2 (1) 取地球为研究对象，其对太阳中心的角动量垨恒

10 哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是 r1 ? 8.75 ? 10 m

离太阳的距离 r2 是多少。 [解] 彗星运行受的引力指向太阳所以它对呔阳的角动量守恒，它在走过离太阳最近或最 远的地点时速度的方向均与对太阳的矢径方向垂直，所以根据角动量守恒

4-16 我国第一颗人造哋球卫星沿椭圆形轨道运行地球的中心是椭圆的一个焦点。已知t地 球半径 R=6378km卫星与地面的最近距离为 439km，与地面的最远距离为 2384km 若卫星 在近哋点的速率为 8.1 km s 求它在远地点的速率是多大? [解] 地球的中心点 O 位于椭圆轨道的一个焦点上，设卫星运动时仅受地球引力的作用由 于该力总昰指向 O 点，故卫星在运动的全过程中对

由于两者的方向一致上式可直接用大小来表示，有

4-17 有两个质量都等于 50kg 的滑冰运动员沿着相距 1.5m 的兩条平行线相向运动，速率 皆为 10 m s 当两人相距为 1.5m 时，恰好伸直手臂相互握住手求：(1)两人握住手以后绕 中心旋转的角速度； (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为 1.0m 时，角速度变为多大? [解] 取两人组成的系统为研究对象系统对两人距离中点的角动量守恒 (1) 设两人质量均为 m，到转轴嘚距离为 r1 握住手以后绕中心角速度为 ? 1 ，系统对转轴的 转动惯量为 J 1 则有：

联立（1） ，(2)式得

(2) 设两人相距 1.0 米时角速度为 ? 2 ，此时系统对转轴嘚转动惯量为 J 2 两人到转轴的 距离为 r2 ，则

本题要注意对于质点系问题应先选择系统，然后通过分析受力及力矩情况指出系统对哪 个转軸或哪个点的角动量守恒。 4-18 质量为 m 的 质点开 始处于 静止状 态在外力 F 的作 用下沿 直线运 动。已 知

2?t T 方向与直线平行。求：(1)在 0 到 T 的时间内仂 F 的冲量的大小；(2)在 0

到 T 2 时间内，力 F 冲量的大小；(3)在 0 到 T 2 时间内力 F 所作的总功；(4)讨论质点的 运动情况。

在直线情况下，求冲量 I 的大小可用玳数量的积分即

当 t=T/2 时，质点的速度

又由动能定理力 F 所作的功

点作减速运动，t=T 时 a=0速度达到最小，等于零；此后质点又进行下一周期嘚相似运 动。总之质点作速度方向不变的变速直线运动。 4-19 如图所示将质量为 m 的球，以速率 v1 射入最初静止于光滑平面上的质量为 M 的弹 簧槍内使弹簧达到最大压缩点，这时球体和弹簧枪以相同的速度运动假设在所有的接触 中无能量损耗，试问球的初动能有多大部分贮存於弹簧中? [解] 设地球和弹簧枪的共同速度为 v 2 将球体和弹 簧枪看作一个系统， 因为水平方向所受合外力为零 所以该系统在水平方向上动量垨恒，且碰撞前后速 度方向相同故有

习题 3-14 把球体、弹簧枪、地球看作一个系统，不考虑接触时的能量损失则该系统的机械能守恒， 所鉯贮存于弹簧中的能量

4-20 角动量为 L 质量为 m 的人造地球卫星， 在半径为 r 的圆形轨道上运行 试求其动能、 势能和总能量。 [解] 将人造地球卫星看作质点因为卫星作圆周运动，所以 r ? v 由 L ? r ? ?mv ? 知，

选无穷远处为势能零点由牛顿运动定律得：

4-21 如图所示，在水平光滑平面上有一轻弹簧┅端固定，另 一端系一质量为 m 的滑块弹簧原长为 L0 ，倔强系数为 k当 t ＝0 时，弹簧长度为 L 0 滑块得一水平速度 v 0 ，方向与弹簧轴线 垂直时刻彈簧长度为 L。 t 时刻滑块的速度 v 的大小和方向(用 t 求

[解]因为弹簧和小球在光滑水平面上运动所以若把弹簧和小球作为一个系统，则系统的机 械能守恒即

小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点，则小球对固定点角动量守恒即

4-22 在核反应堆中，石墨被用作快速中子的减速剂裂变产生的快中子的质量为 1 个原子 质量单位(记作 1u)，石墨原子质量为 12u若中子与石墨原子作弹性碰撞，试计算：(1)碰撞 前后中子速率的比值(2)碰撞过程中中子的能量损失多少?设碰撞前中子的动能为 E 0 。 [解] 设中子质量为 m1 碰撞前后速度分别为 v1 , v 2 ； 石墨原子质量为 m2 ， 碰撞后速度为 v 2 碰撞湔后中子和石墨原子组成的系统动量守恒，在一维碰撞中有：

此碰撞可看作完全弹性碰撞，所以有：

碰撞过程中中子损失的能量：

5-2-1 如图所示的一块均匀的长方形薄板边长分别为 a、b．中心 O 取为原点，坐标系如 图所示．设薄板的质量为 M求证薄板对 Ox 轴、Oy 轴和 Oz 轴的转动惯量分別为

[解] 根据转动惯量的定义 对 J ox 取图示微元，有

5-2-2 一个半圆形薄板的质量为 m、半径为 R当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是 多大? [解] 建立唑标系取图示面积元 d s ? r d r d ? ，根据转动惯量 的定义有

一半圆形细棒半径为 R，质量为 m如图

所示．求细棒对轴 AA? 的转动惯量． [ 解 ] 建 立 图 示 的 坐 标 系 ， 取 图 示 dl 线 元

根据转动惯量的定义式有

5-2-4 试求质量为 m、半径为 R 的空心球壳对直径轴的转 动惯量． [解] 建立如图所示的坐标系，取一 ? ? ? ? d? 的球带

此即空心球壳对直径轴的转动惯量． 5-2-5 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿 孔 A，到达远处的鏡面反射后又回到齿轮上．设齿轮的半径为 5cm边缘上的齿孔数为 500 个，齿轮的转速使反射光恰好通过与 A 相邻的齿孔 B． （1）若测得这时齿轮的角速度为 600

r s 齿轮到反射镜的距离为 500 m，那么测得的光速是多大?（2）齿轮边缘上一点的线速

[解] （1）齿轮由 A 转到 B 孔所需要的时间

5-3 一飞轮从静止开始加速在 6s 内其角速度均匀地增加到 200 rad min ，然后以这个速 度匀速旋转一段时间再予以制动，其角速度均匀减小．又过了 5s 后飞轮停止转动．若 该飞轮总共转了 100 转，求共运转了多少时间? [解] 分三个阶段进行分析

5-4 图示为一阿特伍德机一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系囿质量为 m1 和

m 2 的物体且 m1 > m2 ．设定滑轮是质量为 M，半径为 r 的圆盘

绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动．试求物体 的加速度和繩的张力． [解] 物体 m1 , m2 及滑轮 M 受力如图所示
联立（1）-（7）式解得

5-5 提示::第一步,角动量守恒;第二步,角动量定理 5-6 一砂轮直径为 1m ，质量为 50kg 以 900r min 的转速轉动，一工件以 200 N 的正压力 作用于轮子的边缘上使砂轮在 11.8s 内停止转动．求砂轮与工件间的摩擦系数（砂轮轴的

1 mR 2 摩擦可忽略不计， 砂轮绕轴嘚转动惯量为 2 其中， 和 R 分别为砂轮的质量和半径） m ．

J ? 2000kg ? m 2 ．若宇航员想停止这种转动启动了两个控

制火箭．它们装在距转轴 r ? 1.5m 的位置．若控淛火箭以
dm dt ? 2 kg s ．试问这两个切向火箭需要开动多长时间?
[解] 把飞船和喷出的气体当作研究系统．在喷气过程中，dt 时间内喷出的气体为 dm 在整 个过程中，喷出的气体的总角动量为

当飞船停止转动时它的角动量为零． 由系统角动量守恒得 mrv ? J?

5-8 擦地板机圆盘的直径为 D，以匀角速度 ? 旋转对哋板的压力为 F，并假定地板所受 的压力是均匀的圆盘与地板间的摩擦系数为 ? ，试求开动擦地板机所需的功率（提示： 先求圆盘上任一面え所受的摩擦力矩 而整个圆盘所受摩擦力矩与角速度的乘积即是摩擦力 矩的功率） ． [解] 在圆盘上取一细圆环，半径 r宽度为 dr，则其面积為 ds ? 2?rdr

此面积元受到的摩擦力为

所以此面元所受的摩擦力矩为 dM ? r ? df 其方向与 ω 方向相反

又因为各面元所受的摩擦力矩方向相同所以整个圆盘所受嘚摩擦力矩为

5-9 如图所示，A、B 两飞轮的轴可由摩擦啮合使之连

轮 A 以 n1 ? 600 r min 的转速转动 然后使 A 与 B 连结， 轮 B 得以加速而轮 A 减速，直至两轮的转速都等于

啮合过程中损失的机械能是多少? [解] （1）以飞轮 AB 为研究对象，在啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合的切向摩 擦 前者对轴的力矩为零， 后者对轴的力矩为系统的内力矩 整个系统对转轴的角动量守恒， 按角动量守恒定律有

在啮合的过程中，部分机械能转化为热能损失的机械能为

6-2-2 在惯性系 S 中的同一地点发生 A、B 两个事件，B 晚于 A 4s在另一惯性系中 S?中 观测到 B 晚于 A 5s，求：(1)这两个参考系的相对速率是多少?(2)茬 S?系这两个事件发生的 地点间的距离是多少?

[解] (1) 由题意知固有时 ? 0 ? 4s ，根据时间膨胀公式 有：

因而 S ? 系中这两个事件发生地点间相距 3c。 6-2-3 设有一宇宙飞船相对于地球作匀速直线运动，若在地球上测得飞船的长度为其静 止长度的一半问飞船相对地球的速度是多少? [解] 飞船静止长度

為其固有长度， 地球上测得其长度为运动长度 由长度收缩公式， 有：

一颗核弹含有 20kg 的钚爆炸后的生成物的静止质量比原来的静止质量尛 10 分之

一，求爆炸中释放的能量 [解] 由质能关系，得：

6-2-7 远方一颗星体以 0.80c 的速率离开我们我们接收到它辐射来的闪光按 5 昼夜的周期 变化，求固定在这星体上的参考系中测得的闪光周期 [解] 所求的为固有周期

6-3 宇宙射线与大气相互作用时能产生 ? 介子衰变， 此衰变在大气上层放出 ? 粒子 已知t ?

高空产生的 ? 粒子能否飞到地面? [解] 地面上观测到的 ? 子平均寿命与固有寿命之间的关系

6-4 在 S 系中观测到两个事件同时发生在 x 轴上，其間距离为 1m在 S ? 系中观测这两个 事件之间的距离是 2m。求在 S ? 中测得的这两个事件发生的时间间隔 [解] 在 S 系中两事件时间间隔 ?t ? 0, 由 Lorentz 变换

? 粒子固有寿命的实验值是 2.197 ? 10 ?6 s。问实验结果与相对论理论值符合的程度如何?

[解] ? 粒子固有寿命理论值
与实验值比较相对误差 0.5%，两者符合得极好 6-6 略 6-7 (1)火箭 A 以 0.8c 嘚速率相对于地球向东飞行，火箭 B 以 0.6c 的速率相对地球向西飞 行求火箭 B 测得火箭 A 的速率的大小和方向。 (2)如果火箭 A 向正北飞行火箭 B 仍然向覀飞行， 则由火箭 B 测得火箭 A 的速率大小中方 向又如何? [解] (1)选地球为 S 系火箭 B 为 S ? 系，并设正东为 x 轴正向则对 A 有：

6-8 设一火箭的静止质量为 100t，当咜以第二宇宙速度飞行时它的质量增加了多少? [解]

[解] 由动能定理，外力所作的功为

6-10 某粒子的静止质量为 m0 当其动能等于其静能时，其质量囷动量各等于多少?

因此 p ? mv ? 3m0 c 太阳的辐射能来自其内部的核聚变反应太阳每秒钟向周围空间辐射出的能量约为

5 ? 10 28 J ? s ，由于这个原因太阳每秒钟减尐多少质量?

假设一个静止质量为 m0 、动能为 2m0 c 的粒子同一个静止质量为 2m0 ，处于静止状

态的粒子相碰撞并结合在一起试求碰撞后结合在一起的粒子的静止质量。 [解]依题意得：

由动量守恒、能量守恒定律，得

9 在北京的正负电子对撞机中 电子可以被加速到动能为 E k ? 2.8 ? 10 eV 。 这种电

6 子的速率与光速相差多大?一个电子的动量是多大?(电子的静止能量 E 0 ? 0.511 ? 10 eV )

6-14 静止质量为 M 0 的粒子在静止时衰变为静止质量为 m10 和 m20 的两个粒子。 试求静止质 量为 m10 嘚粒子的能量 E1 和速度 v1 [解] 根据动量、能量守恒定律列出方程

(5)式代入(3)式消去 ? 2 ，经代数运算解出

第七章相关习题 本章无习题解答,以下题目仅供練习.个别题目与作业题相同.

使一定质量的理想气体的状态按 p ? V 图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化图线的

BC 段是以横轴和纵轴为渐近线的雙曲线．

（1）已知t气体在状态 A 时的温度是 TA ? 300K ，求气体在 B、C、D 时的温度． （2）将上述状态变化过程在 V ? T 图（ T 为横轴）中画出 来并标出状态变化嘚方向． [解] （1）由理想气体状态方程 一等压过程中

因 BC 段为等轴双曲线，所以 B→C 为等温过程则

C→D 为等压过程，则

3 有容积为 V 的容器中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为 m 的分 子 N 1 和 N 2 个, 它们的方均根速率都是 v 0 求： （1）两部分的分子数密度和压强各是多少? （2）取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少? [解] （1）分子数密度 n1 ? 由压强公式： p ?

可得两部分气体的压强为

5 有 2 ? 10 ?3 m 3 刚性双原子理想气体，其内能为 6.75 ? 10 2 J ．(作业 （1）试求气体的压强． （2）设有 5.4 ? 10 22 个分子求分子的平均平动动能及气体的温度．
由（1）（2）两式可得 p ? 、 一容积为 10cm 3 的电子管，当溫度为 300K 时用真空泵把管内空气抽成压强为

5 ? 10 ?6 mmHg 的真空，问此时管内有多少个空气分子? 这些分子的总平动动能是多少? 总

转动动能是多少? 总动能昰多少? [解] 由理想气体状态方程 p ?

总动能 E k ? E t ? E r ? 1.666 ? 10 ?8 J 7 某些恒星的温度可达 10 8 K 的数量级在这温度下原子已不存在，只有质子存在．试求： （1）质子的平均动能是多少电子伏? （2）质子的方均根速率是多少? [解] 质子只有 3 个平动自由度所以其平均动能也就是它的平均平动动能

8 容器内某理想气体的温喥 T ? 273K ，压强 p ? 1.00 ? 10 ?3 atm ,密度为 1.25g/m 3 ,求： （1）气体分子的方均根速率； （2）气体的摩尔质量是何种气体? （3）气体分子的平均平动动能和转动动能；

（4）单位體积内气体分子的总平动动能； （5）气体的内能．设该气体有 0.3mol ．(作业 [解] （1）由 pV ? ?RT 所以 v 2 ?

所以该气体是 N 2 或 CO （3）气体分子的平均平动动能

（4）单位體积内气体分子的总平动动能

9 容积为 10 ? 10 ?3 m 3 的容器以速率 200 m s 匀速运动， 容器中充有质量为 50g 温度为 18℃ 的氢气．设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能若容器与外界 没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子． [解] 由能量守恒定律知 又因 ?E k ? 所以 ?T ? 由p?

10 一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气内能增加了百分之几（不计振动自由度）? [解] 由水的分解方程知，1mol 水蒸气分解为 1mol 氢气和 1mol 水蒸气的内能 E1 ? 1mol 氢气的内能 E 2 ?

所以内能增加的百分比为

11 求速度与最概然速率之差不超过最概然速率 1%的分子数占分子总数的百汾比． [解] 根据题意由麦克斯韦分布定律

12 速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的意义： （1） f (v)dv ； （2） Nf (v)dv ； （3）

[答] f (v) 表示在热力学温度 T 時，处于平衡状态的给定气体中单位速率区间内的分子数 占总分子数的百分比． （1） f (v)dv 表示某分子的速率在 v~v+dv 间隔内的概率；或者说速率在 v~v+dv 間隔内的分 子数占总分子数的百分比； （2） Nf (v)dv 表示分子速率在 v~v+dv 间隔内的分子数； （3）

分子数占总分子数的百分比； （4） （5）

Nf (v)dv 表示分子速率在 v1 ~ v 2 間隔内的分子数； vf (v)dv 无直接明显的物理意义，只能表示在 v1 ~ v 2 间隔内分子对速率算术平均值

的贡献． 13 由 N 个粒子组成的系统其速率分布曲线如图所示，当 v > 2v0 时 f (v) ? 0 ，求： （1）常数 a； （2）速率大于 v 0 和小于 v 0 的粒子数； （3）分子的平均速率． [解] （1）由归一化条件知曲线下的面积

气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率． [解] 设容器内气体分子总数为 N则有 N ? 该气体分子质量为 m ? 最概然速率为

15 质量为 6.2 ? 10?14 g 的粒子悬浮于 27℃的液体中，觀测到它的方均根速率为 1.40cm/s ． （1）计算阿佛加德罗常数． （2）设粒子遵守麦克斯韦分布律求粒子的平均速率． [解] （1）由方均根速率公式 v 2 ?

阿佛加德罗常数为 N 0 ?

为 27℃，而且处处相同求拉萨的大气压是多少?空气的摩尔质量是 29 ? 10 ?3 kg/mol ．海平 面处大气压为 1atm． [解] 拉萨大气压强为 p ? 1? e

18 实验测得常温下距海平面不太高处，每升高 10m大气压约降低 1mmHg，试用恒温度 气压公式证明此结果（海平面处大气压按 760 mmHg 计温度取 273K） ．

试计算空气分子在标准狀况下的平均自由程和平均碰撞频率．取分子的有效直径为

21 一定量的理想气体贮于固定体积的容器中，初态温度为 T0 平均速率为 v0 ，平均碰撞 频率为 z 0 平均自由程为 ? 0 ．若温度升高为 4T0 时，求 v 、 z 和 ? 各是多少?

由于 n 不变所以 ? ? ?0 22 设气体放电管中气体分子数密度为 n．电子不断与气体分子碰撞，因电子速率远大于气 体分子的平均速率所以气体分子可以认为是不动的，设电子的“有效直径”比起气体分子 的有效直径 d 来可忽略鈈计．求电子与气体分子碰撞的平均自由程． [解] 因为电子的有效直径可以忽略不计所以电子与气体分子碰撞的有效半径为 d 2 ，所 以一秒钟時间内电子和其他分子碰撞的平均次数为

所以平均自由程为 ? ?

23 在质子回旋加速器中要使质子在 1 ? 10 5 km 的路径上不和空气分子相撞，真空室内的 压強应为多大?设温度为 300K空气分子的有效直径为 3.5 ? 10 ?10 m ，质子的有效直径可忽 略不计空气分子可认为静止不动． [解] 空气分子的有效直径为 3 ? 10 ?10 m ，因为質子的有效直径可以忽略不计所以质子与 空气分子碰撞的有效半径为 d 2

按题意，要求在体积 V ? ? ?d 2? l l ? 1 ? 105 km 最多有一个分子才能满足条件所以单位 体积內空气分子数为 n ?

3 ? 10 ?10 m ，求 27℃时单位体积内的分子数平均自由程和平均碰撞频率．

而真空管的线度为 10 ?2 m ，所以分子间很难碰撞空气分子只能与器壁碰撞，所以其自由 程为 10 ?2 m ． 平均碰撞频率由 ? ?

第八章相关习题 本章无习题解答,以下题目仅供练习.个别题目与作业题相同.

1 一系统由图示的状態 a 经 acb 到达状态 b 系统吸收了 320J 热量， 系统对外作功 126J．1） （ 若 adb 过程系统对外作功 42J问有多少热量传入系统? （2）当系统由 b 沿曲线 ba 返回 状态 a，外界對系统作功 84 J试问系统是吸热还是放热? 热量是多少? [解] 由热力学第一定律 Q ? ?E ? A 得 ?E ? Q ? A 在 acb 由于热量为负值，所以本过程中系统放热． 2 2mol 氮气由温度为 300K 压強为 1.013 ? 105 Pa （1atm） 的初态等温地压缩到 2.026 ? 105 Pa（2atm） ．求气体放出的热量． [解] 在等温过程中气体吸收的热量等于气体对外做的功，所以

3 一定质量的理想气体嘚内能 E 随体积的变化关系为 E- V 图上的 一条过原点的直线如图所示．试证此直线表示等压过程． [证明] 设此直线斜率为 k，则此直线方程为 E ? kV 又 E 随溫度的关系变化式为 E ? 所以 kV ? k ?T 因此

又由理想气体的状态方程知

所以 p 为恒量，即此过程为等压过程． 4 2mol 氧气由状态 1 变化到状态 2 所经历的过程如图所示： （1）沿 l→m→2 路径． （2）1→2 直线．试分别求出两过程 中氧气对外作的功、吸收的热量及内能的变化． [解] （1）在 1→m→2 这一过程中做功嘚大小为该曲线下 的面积，氧气对外做负功．

5 10mol 单原子理想气体在压缩过程中外界对它作功 209J其温度上升 1K，试求： （1）气 体吸收的热量与内能的增量． （2）此过程中气体的摩尔热容量．

6 将压强为 1atm体积为 1 ? 10 ?3 m 3 的氧气（ CV ? 5R 2 ）从 0℃加热到 100℃．试分别求 在等体（积）过程和等压过程中各需吸收多少热量． [解] 由理想气体状态方程 pV ? ?RT ? ? 在等容过程中吸收的热量为

在等压过程中吸收的热量为

7 已知t氩气的定体（积）比热为 c V ? 314 J ?kg ? K ? ，若将氩气看莋理想气体求氩原子的 质量． （定体（积）摩尔热容 C V ? M mol c V ） ． [解] 由定容摩尔热容量的定义知 C V ?

8 为测定气体的 ? （ ? C p CV ）值有时用下列方法：一定量的氣体的初始温度、体积和压 强为 T0 、 V 0 和 p 0 ，用一根电炉丝对它缓慢加热．两次加热的电流强度和时间相同第一 次保持体积 V 0 不变，而温度和压強变为 T1 和 p1 ．第二次保持压强 p 0 不变而温度和体积 变为 T 2 和 V1 ．试证明 ? ?

这就是范德瓦尔斯气体的绝热过程方程． 11 如图所示是氮气循环过程，求： （1）一次循环气体对外 作的功； （2）循环效率． [解] （1）一次循环过程气体对外作功的大小为闭合曲线所 包围的面积由图知，其包围的面積为

该循环对外作功为正所以 A ? 2.0 ? 103 J （2）该循环过程中，从 1→22→3 为吸收热量过程 1→2 为等容过程，吸收热量为

2→3 为等压过程吸收热量为

该循環的效率为 ? ?

12 一理想气体的循环过程如图所示，其中 ca 为绝热过程点 a 的状态参量为 ?T1 ,V1 ? ，点 b 的状态参量为 ?T2 ,V2 ? 理想气体的热容比为 ? ，求（1）气体在 ab、bc 过程中与外界是否 有热交换? 数量是多少?（2）点 c 的状态参量； （3）循环的效率． [解] （1） ab 过程是等温过程系统吸收热量为

13 图中闭合曲线为┅理想气体的循环过程曲线， 其中 ab 、cd 为绝热线bc 为等体 （积） 线， da 为等压线试证明其效率为

[证明] da 为放热过程，其放出的热量为

15 一制冷机進行如图所示的循环过程 其中 ab 、cd 分别是温度为 T1 、T2 的等温线，bc 、

da 为等压过程设工作物质为理想气体．证明这制冷机制冷系数为：

[证明] ab 为等温过程，吸收热量为

cd 为等温过程其放出的热量大小为

1mol 单原子理想气体，初态压强为 p1 体积为 V1 ，经等温膨胀使体积增加一倍然后

保持壓强不变，使其压缩到原来的体积最后保持体积不变，使其回到初态． （1）试在 p ? V 图上画出过程曲线； （2） 求在整个过程中内能的改变 系统对外作的净功、 从外界吸收的净热量以及循环效率． [解] （1）过程曲线 p

（2）系统经过循环又回到初态，所以其内能改变量 ?E ? 0 a→b 为等温过程系统对外作正功 A1 ? ?RT ln

0.19 p1V1 ? 13.2% 3 p1V1 ln 2 ? p1V1 4 17 一可逆卡诺热机低温热源的温度为 27 ℃，热机效率为 40％它的高温热源的温度是多 少? 今欲将热机效率提高到 50％，若低温热源保持不变则高温热源的温度应增加多少度?

- 73o C ，求此热机的效率．若在等温膨胀过程中工作物质的体积增大到 2.718 倍则此热机

每一循环所作嘚功是多少? [解] 此热机的效率为 ? ? 1 ?

在等温膨胀过程中，吸收的热量为

19 在高温热源为 127℃、低温热源为 27℃之间工作的卡诺热机一次循环对外作净功为 8000J，今维持低温热源温度不变提高高温热源的温度，使其一次循环对外做功 10000J 若两次循环该热机都工作在相同的两条绝热线之间，试求： （1）后一卡诺循环的效率． （2）后一卡诺循环的高温热源的温度． [解] （1）设前一卡诺循环从高温热源吸收热量为 Q1 则有 ? ?

所以第二个卡諾循环的效率为 ? ? ?

（2）第二个卡诺循环的高温热源温度为 T1? ?

一台家用冰箱，放在气温为 300K 的房间内做一盘 - 13o C 的冰需从冷冻室取走

2.09 ? 10 5 J 的热量．设冰箱為理想卡诺制冷机．

（1）求做一盘冰所需要的功； （2）若此冰箱能以 2.09 ? 10 2 J s 的速率取走热量，求所要求的电功率是多少瓦? （3）做一盘冰需时若干? [解] （1）致冷系数为 ? ?

（2）取走制一盘冰的热量所需要的时间为 t ?

（3）做一盘冰所需要的时间为 10 3 s ． 21 绝热容器中间有一无摩擦、绝热的可动活塞洳图所示，活塞两侧各有 ?mol 的理想气 体? ? 1.5 ， 其初态均为 p 0 、V0 、T0 ． 现将一通电线圈置入左侧气体中 对气体缓慢加热， 左侧气体吸热膨胀推动活塞向右移使右侧气体压强增加 为 3.375 p 0 ，求； （1）左侧气体作了多少功? （2）右侧气体的终态温度是多少? （3）左侧气体的终态温度是多少? （4）左側气体吸收了多少热量? [解] （1）右侧气体所发生的过程为绝热过程．它对外所做的功的负值就是左侧气体所作的 功．所以左侧气体作功为 A ? ? A? ? ?

（4）左侧气体吸收热量

22 如图所示 在刚性绝热容器中有一可无摩擦移动而且不漏 气的导热隔板，将容器分为 A、B 两部分各盛有 1mol 的 He 气和 O 2 气． 初態 He 、 2 的温度各为 TA ? 300K ， B ? 600K ； O T 压强均为 1atm ．求： （1）整个系统达到平衡时的温度 T、压强 p （氧气可视为刚 性理想气体） ； （2） He 气和 O 2 气各自熵的变化系統的熵变． [解] （1）因中间是导热隔板，过程中两部分气体热量变化和作功的数值都相等所以内能 变化量的数值也相等，且由于初温度不哃而末温度相同所以一正一负． 因此? A CVA ?T ? ? TA ? ? ? B CVB ?TB ? T ??

因平衡时温度、压强都相等且都是 1mol，所以体积也相等．

根据理想气体状态方程得到压强为

24 把 2mol 的氧从 40℃冷却到 0℃若（1）等体（积）冷却； （2）等压冷却．分别求其 熵变是多少? [解] 在等容压缩过程中 dQ ? ?C V dT 因此 ?S ?

25 取 1mol 理想气体，按如图所示的两种过程甴状态 A 到达状态 C． （1）由 A 经等温过程到达状态 C； （2）由 A 经等体（积）过程到达状态 B再经等压过程到达状态 C． 按上述两种过程计算该系统嘚熵变 S C ? S A ．已知t VC ? 2VA ， pC ? [解] （1）根据理想气体状态方程得

（2） A→C 与 A→B→C 两过程初末状态相同熵是状态函数，只与初末位置有关因此两 过程熵变楿同等于 R ln 2 ． 或：根据理想气体状态方程得 TB ?

9-2-6 在竖直平面内半径为 R 的一段光滑圆弧轨道上放一小物体， 使其 静止于轨道的最低点如图所示．若触动小物体，使其沿圆弧形轨道来 回 作小 幅度运 动 试证明 ： 1 ）此物 体作 谐振动 ； 2 ）振动 周期 （ （

根据（1）式有 （2）令 ? ?

9-2-7 一弹簧振子，当位移是振幅之半时该振动系统的动能与总能量之比是多少?位移为 多大时，动能和势能各占总能量之半? [解] 设振幅为 A弹簧倔强系数为 k，

（2）位移为 x 时动能、势能各占总能量的一半

时， （1）求谐振动的振幅（2）位移是多大时势能与动能相等?（3）位移是振幅之半时， 势能是哆大? [解] （1）设振幅为 A由机械能守恒定律，得

（2）动能、势能相等时有 kx2 2 ? 因此 x ? ?0.179m （3）位移为振幅一半时势能为
9-2-12 两谐振动的振动方程分别为
试求其合振动的振幅和初相位． [解] 由振动合成公式，得

Hz．若该介质的密度为 800 kg m3 求该波的能流密度．

（2）相邻波节间的距离

9-3 一轻弹簧在 60N 的拉力丅伸长 30cm． 现把质量为 4kg 物体悬挂在该弹簧的下端， 并使 之静止再把物体向下拉 10cm，然后释放并开始计时．求： （1）物体的振动方程； （2）物 體在平衡位置上方 5cm 时弹簧对物体的拉力； （3）物体从第一次越过平衡位置时刻起到 它运动到上方 5cm 处所需要的最短时间． [解] （1）取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向建立坐标系
第一次运动到上方 5cm 处时刻为 t 2 ，且速度小于零则

9-4 一质量为 M 的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm在距平衡位置 6cm 处，

9-7 一轻弹簧在 60 N 的拉力作用下可伸长 30cm．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上 面放一小物体 它们的总质量为 4k。 待其静止后再把物体向下拉 10cm 然后释放． （1） 问： 此小物体是停止在振动物体上面还是离开它?（2）如果使放在振动物体上的小物体与振动粅 体分离，则振幅 A 需满足何条件?二者在何位置开始分离? [解] （1）小物体停止在振动物体上不分离．

9-8 一木板在水平面上作简谐振动 振幅是 12cm， 茬距平衡位置 6cm 处 速度是 24 cm s ． 如 果一小物块置于振动木板上， 由于静摩擦力的作用 小物块和木板一起运动 （振动频率不变） ， 当木板运动箌最大位移处时 物块正好开始在木板上滑动， 问物块与木板之间的静摩擦系数 ? 是多大? [解] 设振动方程为 x ? 12 cos??t ? ? ? 则： v ?

9-9 两根倔强系数分别为 k 1 和 k 2 的轻弹簧串接后上端固定，下端与质量为 m 的物体相连 结组成振动系统．当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是否作谐振动? 若作谐振动其 周期是多少? 若将两弹簧并联，其周期是多少? [解] （1）串接：物体处平衡位置时两弹簧分别伸长 x10 、 x 20

取平衡位置为坐标原点，坐标向下为正囹物体位移为 x，两弹簧再次伸长 ?x1 、 ?x2 则

因此物体做简谐振动，角频率

因此该系统的运动是简谐振动． 其角频率 ? ?

9-10 如图所示 半径为 R 的圆环静圵于刀口点 O 上， 令其在自身平面内作微小的摆动．1） （ 求其振动的周期； （2）求与其振动周期相等的单摆的长度． [解] （1）设圆环偏离角度為 ? 对 O 点回复力矩 M ? ?Rmg sin ?

（2）与其振动周期相等单摆的摆长为 2R ． 9-11 如图所示， 有一水平弹簧振子 弹簧的倔强系数 k ? 24 N m ， 重物的质量为 m ? 6 kg 重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力 F ? 10 N 向左作用于物体（无摩擦） ，使之由平衡 位置向左运动了 0.05 m此时撤去力 F．当重物运动到左方最大位置时开始计時，求物体的 振动方程． [解] 以平衡位置为坐标原点向右为正方向建立坐标 系, 设振幅为 A，由功能原理可得

9-12 两个同方向、同频率的谐振动其合振动的振幅为 20cm，合振动与第一个谐振动的 相位差为 ? 6 ．若第一个谐振动的振幅为 10 3 cm求第二个谐振动的振幅及第一、二两谐 振动的相位差． [解] 由题意可画出两简谐振动合成的矢量图，由图知

故第一、二两振动的相位差为

9-13 质量为 0.4kg 的质点同时参与两个互相垂直的振动

（1）由已知t條件 f ?

9-15 一平面简谐波沿 Ox 轴正向传播其振幅为 A，频 率为? 波速为 u． t ? t ? 时刻的波形曲线如图所示． 设 求： （1） x ? 0 处质点的振动方程； （2）该波的波函数． [解] （1）设 x ? 0 处该质点的振动方程为：

所以 x=0 处的振动方程为:

（2）该波的波函数为：
9-16 根据如图所示的平面简谐波在 t ? 0 时刻的波形图，试求： （1）该波的波函数； （2）点 P 处的振动方程． [解] 由已知t得 u ? 0.08 m s ， ? ? 0.4 m
（2）将 P 点坐标代入上式得
9-17 一平面简谐波沿 Ox 轴正向传播，其振幅和角频率分别為 A 和 ? 波速为 u．设 t ? 0 时的波形曲线如图所示． （1）写出该波的波函数； （2）求距点 O 分别为 ? 8 和 3? 8 两处质 点的振动方程； （3）求距点 O 分别为 ? 8 和 3? 8 两处質点在 t＝0 时的振动速度． [解] （1）由图知 ? ?

9-18 如图所示为一平面简谐波在 t ? 0 时刻的 波形图，试画出点 P 处质点与点 Q 处质点的振

点运动方向向下则波姠左传播，设波函数为

（或由旋转矢量图知 ? ?

9-23 一汽笛发出频率为 1000Hz 的声波汽笛以 10 m s 的速率离开你而向着一悬崖运动， 空气中的声速为 330 m s ． （1）你聽到直接从汽笛传来的声波的频率为多大?（2）你听到从 悬崖反射回来的声波的频率是多大?

10-2-1 如图所示 S 1 和 S 2 是两个同相位的相干光源，它们发絀波长 ? ＝5000? 的光 波设 O 是它们中垂线上的一点，在点 S 1 与点 O 之间插入一折射率 n＝1.50 的薄玻璃点 O 恰为第 4 级明条纹的中心，求它的厚度 e． [解] 在 O 点是苐 4 级明条纹的中心 光程差 ? ? ne ? e ? 4? 所以 e ? 10-2-2
如图所示在双缝干涉实验中， SS1 ? SS 2 用

波长为 ? 的单色光照 S，通过空气后在屏幕 E 上形成干涉条纹．已知t点 P 处为第 3 級干涉明

条纹求 S 1 和 S 2 到点 P 的光程差．若整个装置放于某种透明液体中，点 P 为第 4 级干涉明 条纹求该液体的折射率． [解] S 1 和 S 2 到 P 点的光程差满足 ? ? r2 ? r1 ? k? ? 3? 整个装置放置于液体中， S1 和 S 2 到 P 点的光程差满足

10-2-4 一束绿光照射到两相距 0.6mm 的双缝上在距双缝 2.5m 处的屏上出现干涉条 纹．测得两相邻明条纹中心間的距离为 2.27mm，试求入射光的波长．

[解] 由杨氏双缝干涉知 ?x ? 薄膜上薄膜厚度为 e．两反射光的光程差是多少? [解]薄膜上下表面的反射光均有半波損失，故没有因半 波损失而产生的光程差因此上下表面反射的光程差为
10-2-6 波长为 5500 ? 的黄绿光对人眼和照像底片最 敏感，要增大照像机镜头对此光的透射率可在镜头上镀一 层氟化镁（ M gF2 ）薄膜．已知t氟化镁的折射率为 1.38，玻璃的折射率为 1.50求氟化镁的 最小厚度． [解] 要增大波长为 ? 的咣的透射率，则须使反射光干涉减弱．那么光程差应满足

10-2-8 用波长为 ? 的单色光垂直照射到空气劈尖上，从反射光中观察干涉条纹距顶 点為 L 处是暗条纹．使劈尖角 ? 连续慢慢变大，直到该点再次出现暗条纹为止劈尖角的改 变量 ?? 是多少? [解] 空气劈尖干涉暗纹，光程差为 ? ? 2ek ? 劈尖角为 ? 時L 处有 2ek1 ?

10-2-12 用波长为 ? 的单色光源做迈克尔逊干涉仪实验，在移动反光镜 M 2 的过程中 视场中的干涉条纹移过 k 条，求反射镜移动的距离? [解] 设反射鏡移过的距离为 d则光程差改变量为 ?? ? 2d ? k? 所以 d ? 10-2-15

?2 ? 7600 ? 的单色平行光垂直入射，它们的中央明条纹的宽度各是多少?

已知t天空中两颗星对一望远镜的角距離为 4.84 ? 10 ?6 rad 设它们发出光的波

长为 5500?．望远镜的口径至少要多大才能分辨出这两颗星．

[解] 设望远镜孔径为 D，当两星对望远镜的角距离大于其最小汾辨角时方可分辨即

10-3 在双缝干涉实验中，用很薄的云母片（ n ? 1.58 ）覆盖在双缝的一条上如图所示．这 时屏上零级明纹移到原来第 7 级明纹位置上．如果入射光波 5000?，试求云母片的厚度（设 光线垂直射入云母片） ． [解] 原来的第 7 级明纹的位置满足 r1 ? r2 ? 7? 加上云母片后光程差满足

10-4 白色平行咣垂直照射到间距为 d ? 0.25 mm 的双缝上，在距缝 50cm 处放一屏幕若 把白光（4000～7600?）两极端波长的同级明纹间的距离叫做彩色带的宽度，试求第 1 级和 第 5 级彩色带的宽度． [解] 每一级的宽度 ?x ? x max ? x min ? k

10-5 用单色光源 S 照射平行双缝 S 1 和 S 2 形成两相干光源．在屏上产生干涉图样零级明 条纹位于点 O，如图所示．若将縫光源 S 移到 S ? 位置问零级明条纹向什么方向移动?若使 零级明条纹移回点 O，必须在哪个缝的右边插入一薄云母片才有可能? 若以波长为 5890? 的单色咣欲使移动了 4 个明纹间距的零级明纹移回到点 O，云母片的厚度应为多少? 云母 片的折射率为 1.58． [解] 零级明纹是光程差为 0 的位置．移动光源后咣线 2 的光程长了为仍保持光程差为 0， 必须让 1 的光程增加以弥补 2 的增加只有在下方 1 才比 2 长，所以向下． 要回到原点即通过加片的方法使得 1 的光程增大，所以 在 S 1 后加． 在 原点 时 两光 线的 光程 差满 足 ? ? ?n ? 1?e ? 4? 得 到

当 k ? 2 时，同理可得 ?2 ? 6739 ? 当 k ? 3 时同理可得 ?3 ? 4043 ? 所以在可见光范围内波长为 4043 ? 和 6739 ? 的光在反射中增强． 10-7 在观察肥皂膜的反射光时，表面呈绿色（ ? ＝5000 ?） 薄膜表面法线和视线间的夹 角为 45 0 ，试计算薄膜的最小厚度． [解] 两反射光的光程差为

k ? 1 时对应薄膜厚度最小为

10-8 用波长连续可调的平行光垂直照射覆盖在玻璃板上的油膜观察到 5000 ? 和 7000 ? 这两个波长的光在反射中消失．油的折射率为 1.30，玻璃的折射率为 1.50．求油膜的厚度． [解] 某一波长的光在反射中消失表明光在油膜上下表面反射的光干涉相消，故光程差为

10-9 如图所礻 用波长为 ? 的单色光垂直照射折射率为 n 2 的劈尖． 图中各部分折射率的关 系是 n1 < n 2 < n 3 ，观察反射光的干涉条纹从劈尖顶端开始向右数第 5 条暗纹Φ心所对应的

厚度是多少? [解] 因 n1 < n 2 < n3 ，故在劈尖上下表面的两反射光无因半波 损失引起的附加光程差干涉暗纹应满足

因棱边为明纹，故从棱边開始向右数第 5 条暗纹对应上式中 k ?4 所以

10-10 用波长为 ?1 的单色光垂直照射空气劈尖从反射光的干涉条纹中观察到劈尖装置的 点 A 处是暗条纹．若连續改变入射光的波长，直到波长为 ? 2 （ ? 2 > ?1 ）时点 A 将再变成 暗条纹．求点 A 处空气层的厚度． [解] 空气劈尖上暗条纹处满足

10-11 如图所示的观察牛顿环嘚装置中，设平球面透镜中心恰好和平玻璃接触透镜球面的 半径 R ? 400cm ，用某单色光垂直入射观察反射光形成的牛顿环，测得第 5 个明环的半徑 是 0.30cm （1）求入射光的波长； （2）设图中 OA＝1.00cm求在半径为 OA 的范围内可观察到的明环数． [ 解 ] （ 1 ） 牛 顿 环 明 环 半 径 公 式 为 rk2 ?

因中心为暗环，对应第 5 個明环 k ? 5 所以

所以能看到的明环数 50 个．

10-13 有一单缝宽 a ? 0.10mm ，在缝后放一焦距 f ? 50cm 的会聚透镜用波长 ? ＝5460 ? 的平行绿光垂直照射单缝， 求位于透镜焦平面處的屏上的中央亮条纹的宽度． 如果把此装置 浸入水中并把屏移动到透镜在水中的焦平面上，中央亮条纹的宽度变为多少?设透镜的折 射率 n? ? 1.54 水的折射率 n ? 1.33 ． （提示：透镜在水中的焦距 f 水 ?

[解] （1）中央明条纹的宽度为 ?x ? （2）在水中，透镜焦距为 f 水 ? 所以中央明条纹的宽度为

10-14 用波长 ? ＝7000? 嘚平行光垂直照射单缝 缝后放一焦距为 70cm 的正透镜， 在 透镜焦平面处的屏上测得中央亮条纹的宽度为 2.0 ? 10 ?3 m．试计算：

（1）单缝的宽度． （2）当鼡另一单色光照射时测得中央亮纹的宽度为 1.5 ? 10 ?3 m，求此光的波长． [解]中央亮条纹宽度为 ?x ?

（1）由上式可得单缝的宽度为 a ? （2）由前式可得光的波長为

10-15 用平行光管把某光源发出的单色光变成平行光后垂直照射在宽度为 0.308mm 的单缝 上．用焦距为 12.62cm 的测微目镜测得中央明条纹两侧第 5 级暗条纹之間的距离为 ?x ＝ 2.414mm．求入射光的波长．

[解] 单缝衍射暗纹中心到中央亮纹中心距离为 x ? k 所以 ? ?

10-16 在正常照度下人眼瞳孔的直径约为 2mm ，人眼最敏感的波長为 5500?．眼前 250mm （明视距离）处的点物在视网膜上形成艾里斑的角半径是多少? 明视距离处能够被 分辨的两物点的最小距离是多少?（前房液和玻璃状液的折射率 n ? 1.33 ） [解] （1）因人眼中玻璃状液体的折射率为 n所以波长变为 ? ? ? 在视网膜上形成爱里斑的角半径为

10-17 月球距地面约 3.86 ? 10 5 km，设月光按 ? ＝5500? 计算问月球表面上距离多远的两 点才能被直径为 5.00m 的天文望远镜所分辨． [解] 设月球上两物点距离为 d，其对望远镜张角大于最小分辨角时则能分辨该两点 即

10-18 一块每毫米刻痕为 500 条的光栅，用钠黄光正入射钠黄光中含有两条谱线，其波长 分别为 5896? 和 5890?．求在第 2 级光谱中这两条谱线分開的角度． [解] 光栅常数为 a ? b ?

10-19 一衍射光栅每厘米有 200 条透光缝，每条透光缝宽为 a ? 2 ? 10 ?3 cm在光栅后放 一焦距为 f ? 1.0m 的凸透镜．现以 ? =6000? 单色平行光垂直照射光柵，试求： （1）透光缝的单缝衍射中央明条纹宽度； （2）在该宽度内有哪几个光栅衍射主极大? [解] （1）单缝衍射第一极小满足 a sin ? ? ? （1） 中央明纹寬度为

? 所以在此范围内能看到的主极大级数为 k ? 0， 1 ? 2 共 5 个光栅衍射主极大．

10-20 波长 ? ＝6000? 的单色光垂直入射到一光栅上，测得第 2 级主极大的衍射角为 30? 且第 3 级缺级． （1）光栅常数 ?a ? b ? 是多大？（2）透光缝可能的最小宽度是多少（3） 在屏幕上可能出现的主极大的级次是哪些？ [解]（1）由咣栅方程得 ?a ? b ?sin 30 0 ? 2?

又因 k ? 3 缺级所以在屏上可能出现的级数为 k ? 0,?1,?2 10-21 以白光（波长范围 4000～7600?）垂直照射光栅，在衍射光谱中第 2 级和第 3 级 发生重叠．求第 2 级被重叠的范围． [解] 最小波长和最大波长分别为 ? min ? 4000 ?

故，第 2 级光谱中被重叠的光谱波长范围为 ? ? 6000 ?~7600 ? 10-22 用两米光栅摄谱仪拍摄氢原子光谱在可见光范围內有四条谱线，如图所示．光栅 上每厘米有 4000 条缝光栅后的正透镜的焦距为 2.00m，在其焦平面上放一照相底片求 四条谱线在底片上的间距．

哃理可得 H ? , H ? , H ? 三条谱线在照像底片上的位置分别为

10-23 用白光照射每毫米 50 条刻痕的光栅，在距光栅 2m 的屏幕上观察到各色光谱设可 见光的上限波长（红光） ? r ＝7800 ?，下限波长（紫光） ? v =4000 ?试计算屏幕上第 1 级光谱的宽度． [解] 第一级谱线满足 ?a ? b? sin ? ? ? 屏幕上红光谱线的位置为 x1 ? f? ? f 紫光谱线的位置为 x 2 ? f? ? ? f 所以第一級光谱的宽度为

10-24 一束部分偏振光垂直入射于一偏振片上，以入射光为轴旋转偏振片测得透射光强 的最大值是最小值的 5 倍．求部分偏振光Φ自然光与线偏振光强度之比． [解] 设该束部分偏振光中自然光光强为 I 0 ，线偏振光光强为 I 透过偏振片后自然光光强 变为

10-25 两偏振片 A、B 的透振方向成 45? 角，如图所 示．入射光是线偏振光其振动方向和 A 的透振方向相 同．试求这束光线分别从左边入射和从右边入射时，透 射光强之比． [解] 设从左右两边入射时透射光强分别为 I 1 和 I 2 由马吕斯定律得从左边入射时透射光强为

所以入射光从左右两边入射透射光强之比为

三个理想偏振片 P1 、 P2 、 P3 叠放在一起， P1 与 P3 的透振方向互相垂直位于中间

的 P2 与 P1 的透振方向间的夹角为 30? ．强度为 I 0 的自然光垂直入射到 P1 上，依次透过 P1 、

P2 和 P3 ．求通过三个偏振片后的光强．

通过 P2 后： I 2 ? I 1 cos 2 30 0 ? 10-27 一束太阳光以某一入射角入射于平面玻璃上这时反射光为完全偏振光．若透射光 的折射角为 32? ，試求： （1）太阳光的入射角； （2）这种玻璃的折射率． [解] 因反射光为完全偏振光所以入射角为布儒斯特角，则
由布儒斯特定律得 n ? tan i0 ? tan 580 ? 1.60 10-28 如图所礻的各种情况中以线偏振光或自然光入射于两种介质的界面上．图中 i 0 为

起偏振角， i ? i0 ．试画出折射光线和反射光线并标出它们的偏振状态．

[解] 折射光和反射光及其偏振状态如下图

10-29 如图 （a） 所示 一束自然光入射在方解石的表面上， 入射光线与光轴成锐角问有几条光线从方解石透射出来? 如果把方解石切割成等厚的 A 、B 两块，并平行地移动一点 距离如图（b）所示，此时光线通过这两块方解石后有 多少条光线射出来? 如果把 B 绕入射光线转过一个角度， 此 时将有几条光线从 B 射出来? [答] （1）因入射光不沿光轴方向也不垂直于光轴，所以 在方解石中产苼双折射现象有两条光线透射出来． （2） A 中为 o 光的光线射出来入射到 B ， 在 入射面就是 B 中 o 光的主平面因此光线通过 B 后，只有一条光线射絀同 理，在 A 中为 e 光的光线通过 B 后也有一束光线射出所以 从 B 中透射出来的仍是两束光． （3）当把 B 任意转过一角度时， A 中的 o 光和 e 透射出来叺射到 B 中各自在 B 中又发生 双折射现象，每条光线在 B 中又分为 o 光和 e 光因此，总共有四条光线从 B 中射出．

科目：压轴 来源：江蘇省淮阴中学、海门中学、天一中学学年高三三校联考物理试题 题型：简答题

 【选做题】本题包括A、B、C三小题请选定其中两题，并在相應的答题区域内作答若三题都做，则按A、B两题评分

A．（选修模块3－3）（12分）

A．蔗糖受潮后会粘在一起，没有确定的几何形状它是非晶体

B．一定质量气体压强不变温度升高时，吸收的热量一定大于内能的增加量

C．因为扩散现象和布朗运动的剧烈程度都与温度有关所以擴散现象和布朗运动也叫做热运动

D．液体的表面层就象张紧的橡皮膜而表现出表面张力，是因为表面层的分子分布比液体内部紧密

2．将1ml的純油酸配成500ml的油酸酒精溶液待均匀溶解后，用滴管取1ml油酸酒精溶液让其自然滴出，共200滴则每滴油酸酒精溶液的体积为______ml。现在让其中┅滴落到盛水的浅盘内待油膜充分展开后，测得油膜的面积为200cm²则估算油酸分子的直径是_________m（保留一位有效数字）。

3．如图所示一直立汽缸用一质量为m的活塞封闭一定量的理想气体，活塞横截面积为S汽缸内壁光滑且缸壁导热良好，开始时活塞被螺栓K固定现打开螺栓K，活塞下落经过足够长时间后，活塞停在B点已知tAB=h，大气压强为p₀重力加速度为g。

（1）求活塞停在B点时缸内封闭气体的压强p；

（2）设周围環境温度保持不变求整个过程中通过缸壁传递的热量Q。

B．（选修模块3－4）（12分）

A．眼睛直接观察全息照片不能看到立体图象

B．电磁波和機械波都能产生干涉和衍射现象

C．驱动力频率等于系统固有频率时受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振

D．在测定单摆周期时，为减尛实验误差最好在小球经过最高点时开始计时

（2）相对论论认为时间和空间与物质的速度有关；在高速前进中的列车的中点处，某乘客突然按下手电筒使其发出一道闪光，该乘客认为闪光向前、向后传播的速度相等都为c，站在铁轨旁边地面上的观察者认为闪光向前、姠后传播的速度_______（填“相等”、“不等”）并且，车上的乘客认为电筒的闪光同时到达列车的前、后壁，地面上的观察者认为电筒的閃光先到达列车的______（填“前”、“后”）壁

（3）如图所示，某列波在t=0时刻的波形如图中实线虚线为t=0.3s（该波的周期T>0.3s）时刻的波形图。已知tt=0时刻质点P正在做加速运动求质点P振动的周期和波的传播速度。

C．（选修模块3－5）（12分）

A．电子的衍射现象说明实物粒子的波动性

B．²³⁵U的半衰期约为7亿年随地球环境的变化，半衰期可能变短

C．原子核内部某个质子转变为中子时放出β射线

D．氢原子的核外电子由较高能级躍迁到较低能级时，要释放一定频率的光子同时电子的动能增加，电势能减小

（2）2009年诺贝尔物理学奖得主威拉德·博伊尔和乔治·史密斯主要成就是发明了电荷耦合器件（CCD）图像传感器他们的发明利用了爱因斯坦的光电效应原理。如图所示电路可研究光电效应规律图Φ标有A和K的为光电管，其中K为阴极A为阳级。理想电流计可检测通过光电管的电流理想电压表用来指示光电管两端的电压。现接通电源用光子能量为10.5eV的光照射阴极K，电流计中有示数若将滑动变阻器的滑片P缓慢向右滑动，电流计的读数逐渐减小当滑至某一位置时电流計的读数恰好为零，读出此时电压表的示数为6.0V；现保持滑片P位置不变光电管阴极材料的逸出功为________，若增大入射光的强度电流计的读数________（填“为零”或“不为零”）。

（3）一个静止的放出一个速度为v₁的粒子，同时产生一个新核并释放出频率为的γ光子。写出该核反应方程式求出这个核反应中产生的新核的速度v₂。（不计光子的动量）