高等数学：如图积分区域D如何改写成Y型区域的？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-03 00:45 标签： D Y

解 由被积函数的对称性可只考慮第一象限部分 * * 第七章 重积分 8.2 二重积分的计算法 8.2.1 利用直角坐标计算二重积分 当积分区域是X型区域时 当积分区域是Y型区域时 解 积分区域如图所示： 应先积x，后积y 1 y x y o x 应先积y 后积x。 评注 本例中两题不能交换积分次序因为先积分的原函数不能用初等函数表达出来，从而二重积分计算不出来 解 积分区域如图所示： 例5 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积。 解 设这两个圆柱面的方程分别为 利用立体关於坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分(如图 (a))的体积V1，然后再乘以8就行了 x2+y2=R2及x2+z2=R2 y o x x y R R z o 所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为 如图所示它的顶是柱面 y o x x y R R z o y o x 利用公式 (1)，得 x y R R z o 8.2.2 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分积分区域的边界用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r、?表达比较简单这时，我们就可以利用极坐标计算二重积分 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式。 1、极坐标系下的二重积分的形式 假定从极点O出发且穿过闭区域内部的射线与的边界曲线相交不多于两点 我们用 (2)从极点出发的一族射线：θ=常数， 把分成 n个小区域（如上图） (1)以极点为中心的一族同心圆：r =常数， 除了包含边界点的一些小闭区域外小闭区域的面积⊿?i鈳计算如下： 2、如何化为两次单积分 积分顺序：一般是先积r后积? 。 定限的方法：依的特点 O x O x O x O

设二元函数定义在有界闭区域上将区域任意分成个子域，并以表示第个子域的面积
性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外即
性质1与性质2合称为积分的线性性质。
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区間上的最大值和最小值σ为区域的面积，
性质5 如果在有界闭区域上f(x,y)=1, σ为的面积，则Sσ=∫∫σ
性质6二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区间仩连续，σ为区域的面积，则在上至少存在一点（ξ，η）使得

v)的二重积分是可以用任意字母表示的？它这么写是为了不引起疑惑f(u哦，洅说了那还要怪出题人洛，因为该积分项计算出的结果是个常数——与你变量所用的字母毫无关系

设二元函数定义在有界闭区域上将區域任意分成个子域，并以表示第个子域的面积 性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即 ∫∫[f(x,y)±g(x,y)]σ=∫∫f(x,y)σ±∫∫g(x,y)σ 性质2 （积分满足数乘） 被积函数...

哦那还要怪出题人洛？它这么写是为了不引起疑惑再说了，f(u,v)的二重积分是可以用任意字母表示的因为该积分项计算出的结果是个常数——与你变量所用的字母毫无关系。

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被积函数是y的奇函数，积分区域关于y=0对称根据奇函数在对称区间积汾为零可知，原式=0如果需要具体计算，则参考下图

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