定积分对称性求面积时是不是不能随意根据图形对称性来简化计算？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-08 00:42 标签： 定积分对称性

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函数奇偶性和区域对称性对定积分对称性的作用和意义

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* * 关于对称性我们知道,若函数 在其萣义域内满足 ,那么 的图形关于 对称性在定积分对称性计算中的应用 轴对称;若函数 满足 那么 的图形关于原点对 称.一般地,可以得到关于对称性嘚如下特征性质: 性质1 若函数 在其定义域内满足 ,那么 的图形关于直线 对称. 性质2　若函数 在其定义域内满足 ,那么 的图形关于点 对称. 利用对称性求定积分对称性,一般有下面结论: 设函数 在 连续, 若 是偶函数,则 若 是奇函数,则 例1 求 解 = = 因为 是奇函数,所以 ,从而 该题可以通过换元积分法计算,但比較繁琐, 而利用奇偶性就变得异常简便. 一般地, 凡是计算对称区间上的定积分对称性应首先考虑奇偶性进行化 简.若积分区间关于原点不对称, 而被积函数又是一个奇(偶)函数,可以通过换元或利用积分区间 的可加性将积分变形 ,再利用上述结论求之. 解 令 例2 求 例3 求 解 令 则 是奇函数. 故 将[1]的结果推广便得到下面更一般的结果: 推论 若连续函数 的图象关于直线 对称,即 :那么 若其图象关于点 对称,即: ,那么 证明 函数 图象关于直线 对称时, 函数矗线 为偶函数,利用直线变换 可得 同理可证函数图象关于点 对称的情况. 例4 求 解 因为 函数 关于直线 对称,利用推论 在上式中取 得 所以,

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