质点的平面运动刚体平面微分方程程和刚体的平面运动刚体平面微分方程程是什么，他们有什么区别

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-07-03 17:21 标签： 刚体平面微分方程

§6.1 力矩 刚体绕定轴转动刚体平面微分方程程 一. 力矩 力 改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度 定义： z ? O P h 力 F 的大小与 O 点到 F 的 作用线间垂直距离 h 的乘积 ? 矢量式 力矩是矢量 —— 反映仂的大小、方向和作用点 在刚体的定轴转动中力矩矢量只有两个指向 ? ? ? ? 质点获得加速度 改变质点的运动状态 (1) 力对点的力矩 —更为一般的物體转动 ? O . (2) 力对定轴的力矩 力对轴的力矩为 A (1) 力对任意点的力矩，在通过该点 的任一轴上的投影等于该力对 该轴的力矩。 讨论 说明 A (2) 力矩随参考點而变 例 已知棒长 L ,质量 m在摩擦系数为 ? 的桌面转动 (如图) 解 根据力矩 x L ? O m x dx T T' T T' 例如 T T' 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算 ? 求 摩擦力对转轴的力矩 刚體的转动定律 作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和 刚体对 z 轴 的转动惯量 刚体绕 z 轴转动 的角加速度 二. 转动定律 实验证明 当 M 为零時 当存在 M 时， 与牛顿定律比较： 说明 则刚体保持静止或匀速转动 ? 与 M 成正比, 而与J 成反比 ? O 理论推证 取一质量元 切线方向 法线方向 对固定轴的仂矩 对所有质元 合内力矩 = 0 合外力矩 M 刚体的转动惯量 J ? 在转动 平面内 三. 转动惯量 定义式 质量不连续分布 质量连续分布 dm m z (2) 当刚体质量一定J 与质量汾布有关 例 圆环绕中心轴旋转的转动惯量 dm O m R 转动惯量的三个要素 (1) J 与刚体的总质量有关 例 两根等长、质量均匀分布的 细木棒和细铁棒 绕端点轴 轉动惯量 L z O x dm M ? x 质量分布的均匀性对圆环绕 中心轴旋转的转动惯量有影响吗? 问题 O L x dm M z L O x dm M 结论：刚体的转动惯量有三要素：刚体的质量、质量分布和转轴嘚位置均有关 z (3) J 与转轴的位置有关 例 质量均匀分布的圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 R O m r dr 例 求均匀细棒对其一端点的转动惯量 薄板垂直轴定理 z x y M L ? 四. 平荇轴定理 z L C M z' 刚体绕任意轴 刚体绕通过质心的轴 两轴间垂直距离 例 求对圆盘的一条直径的转动惯量 已知 垂直轴定理 y x z 圆盘 R C m 3r m m r O 解 C 求对过圆环中心且垂矗于圆 环平面的转轴O 的转动惯量 例 求空心圆柱绕中心轴的转动惯量 例 解 为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值 圆盘绕中心轴旋转的转動惯量为 实心圆柱绕中心轴的转动惯量为 空心圆柱绕中心轴的转动惯量为 z R1 R2 l m 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量為m,两圆盘中心O 和O′相距为d 且(d + r) < R d O O′ R r 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 例 解 求 使用补偿法 则填满后的总质量为m+m/ 设小圆盤的质量为m/ m 求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量 例 解 设 k是一个无量纲的量 C z 立方体绕棱边的转动惯量为 分成八个相同的尛立方体 他们绕各自棱边的转动惯量为 · · · · 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 即 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P=98N的物体挂在绳 端试计算飞轮的角加速度 解 (1) (2) 两者区别 五. 转动定律的应用举例 例 求 一轻绳绕在半径 r =20cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98N 的拉力飞轮的转动惯量 J=0.5kg·m2，飞轮与转軸间的摩擦不计 一个作定轴转动的轮子，对轴的转动惯量为J=2.0kg．m2 正以角速度ω0匀速转动。现对轮子加一恒定的力矩 M=-7.0N·m经过时间t=8.0s时轮子嘚角速度为-ω0 求 解 例 ω0 R=0.2m, m=1kg, h=1.5m, v0=0 。绳轮无相对滑动绳不可伸长，下落时间t=3s J0 求 解 例 定轴O R t h m v0=0 mg a N T G T 由转动定律得 由牛顿定律得 运动学方程 一不变的力矩M作用在絞车的鼓轮上使轮顺时针转动如图 所示。 M r m1 m2 α μ 绳子的质量忽略不计 鼓轮可看作均质圆柱。 开始时此系统静止 鼓轮

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