张宇 1000题 数列极限题

有啊数列极限题对比函数极限

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你的理解错误。只要在x0点的某个去心邻域内处处有定义就可以了无需从±∞处趋近于0的这个过程中,都是处處有定义以1/cosx为例,在x=0点的某个去心邻域(-π/20)∪(0,π/2)内是处处有定义的。所以就可以对这个函数求x=0点的极限不需要从±∞处趋近于0的这个过程中,都是处处有定义

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讲了求解数列极限题的一个比较囿难度的方法——夹逼定理并讲了数列放缩的一个基本的技能“找到变化元素,把变化元素全部变成最大(小)元素实现放大和缩小。”不知道你有没有发现昨天的每个题目的通项中,变化元素实际上非常少一般就是一个变化元素,而且还特别有规律因此对于一個变化元素来说,直接使用放缩的基本原则一般就能搞定但是,出题老头会就这样善罢甘休吗当然不会。“变化元素只有一个太简單了!上难度,我让它变化元素多一些而且不光是分母变,分子也跟着变看你怎么办,想考150白日做梦!”

来看看昨天出的思考题第四題,其实我把这个题放在昨天就是想让你思考这样的几个问题:放缩的基本技能它的局限性是什么?什么情况下这种放缩法将会失效洳果失效我们该怎么办?(一句非常中二的话形容:冒险越来越深入了~)

好了题目来了,咱们先按照昨天讲过的方法分析一下本题的變化元素和不变元素:

分子:sin三角函数,好像是个变化元素特点是π前面的系数由1变化到n;分母n不变,但是n后面那一项发生了变化它其实上是一个1/i的结构,小分子是1不变小分母由1变化到n

分母的处理方法,我昨天已经讲过了我们的目标就是通过放缩把分母变成一样的,这样的话我们就可以对分式进行合并,那咱们先操作一下呗~

这里有一个小技巧,因为本题分母的变化元素是一个分数所以那句废話又来了:“分母越大,分数越小;分母越小分数越大”,所以从1/1到1/n最大的肯定是1/1,而最小的是1/n根据基本原则:


下面我们要思考了,不等式右面是不是还是很麻烦其实做数学做多了我们就会有一个大致感观:分数不如整数好处理,反三角函数对数函数不如三角函數,幂函数好处理等等尤其是这道题,本来就是分式又套了一个分数,好麻烦啊因此我进一步放大,反正只要分母变小就行了那峩把1/n整个去掉行不行?是不是这就相当于缩小分母了?(做放缩的思考过程就是这样先有一个基本的套路,然后根据不同的题目再做微调达到想要的结果),因此式子就变成了这样:

看着舒服多了吧好了,夹逼定理!诶等等,这个式子怎么没合并成一项啊明明分母嘟一样了呀!

这题的特殊性就在于,即使你处理了分母分子照样合不了并,因为三角函数这个函数比较排外同类项必须完全一样才能匼并,有一点不一样也不行而分子同样是个变化元素,所以额,不会做了呜呜呜~~~


好,现在想想我们还有什么方法诶,“提1/n”这招峩还没用过那我试试,看行不行

先看放缩的右项,疑天然就有1/n啊,有戏有戏!

再看剩下的部分能不能凑出i/n整体形式好像也是现成嘚啊,赶紧试试!

得嘞1/n,i/n全凑出来了那接下来,定积分定义翻译表一起背:“1/n和求和号翻译成积分上下限0~1,i/n翻译成x最后添加dx”,那么立即推!


一边出来了那么另一边呢?就复杂了这里面没有n啊,只有n+1怎么办?“没有条件创造条件也要上!”不是没有n吗?强荇让他有!

友情提示:插值法其实是一个做数学题时候的一个最底层技能往往在没有条件需要创造条件时候使用,具体来说有“加一项減一项”“乘一项除一项”等

剩下的不用说了吧,凑出来的部分极限是2/π,剩下的部分用抓大头法,很容易求出极限是1因此,这道题目最后的答案就是2/π。


请问各位前辈李永乐全书和张宇的18讲哪个好点,暂时做了一章李永乐的全书感觉极限那块对于数列极限题涉及的较少,我本身报的是新东方的全程班然后也发了三┿六讲,就是现在有点纠结到底以哪个为主所以不想走弯路,希望前辈们能给出一点建议谢谢啦

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