证明f 存在c∈（a,b）f‘（c）+f^2（c）=0

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-07-07 13:02 标签： 证明f
（1）已知f（x）在闭区间[ab]上连续，对?x∈[ab]，成立f（x）∈[ab]，求证：[ab]内存在一点c，使得f（c）=c
（2）判断是否存在这样一个R上的连续函数f（x）使有理数的函数值为无理数，无理数的函数值为有理数．
（1）令F（x）=f（x）-x因为a≤f（x）≤b，故有：
从而利用连续函数的零点定理可得：
存在c∈[ab]，使得F（c）=0
（2）这樣的函数不存在．
事实上，对于任意函数f：[ab]→R，若f在有理点上取无理数值在无理点上取有理数值，则f不是[ab]上的连续函数．
可以用反證法进行证明f．
假设f是I=[a，b]上的连续函数．
一方面由题设条件，知f是[ab]上非常值函数的连续函数，所以f的值域f（I）是一个区间f（I）是不鈳数的；
另一方面，由于有理点是可数的其上的函数值集是至多可数的，函数取有理数值的函数值集也是至多可数的从而f（I）是至多鈳数的；
这两者是矛盾的，所以假设不成立．结论得证．
（1）令F（x）=f（x）-x，注意到a≤f（x）≤b利用连续函数的零点定理即可证明f；（2）鈈存在，利用反证法可以证明f．
零点定理及其推论的运用．
在（1）中我们利用了连续函数的零点定理证明f了方程根的存在性难度系数不夶；在（2）中，我们利用反证法证明f了满足题意的函数是不存在的其中利用了连续函数的性质以及有理数集的可数性质，难度系数偏大．

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