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基础梳理 考点突破 知识整合
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
质疑探究:当定点F在定直线l上时,动点的轨迹是什么
提示:当定点F在定直线l上时,动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.
基础梳悝 抓主干 固双基
考点一 抛物线的定义及其应用
【例1】 (1)(2012年高考四川卷)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于(　　)
考点突破 剖典例 知规律
2.抛物线的标准方程及其简单几何性质
1.设动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹是(　D　)
解析:由题知动圆的圆心到点(1,0)与到直线x=-1的距离都为圆的半径,即相等,且(1,0)不在直线x=-1上,所以动圆圆心的轨迹为抛物线.故选D.
2.准线方程为y=-2的抛物线的标准方程是(　B　)
解析:∵抛物线的准线方程为y=-2,
∴抛物线开口向上,且-=-2,
3.(2013西城区质检)抛物线y=ax2的准线方程为y=-1,则实数a的值是　　　　.?
解析:由题意知,抛物线嘚焦点F的坐标为(1,0),
由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,
由图知点A的纵坐标y=2,
思维导引:(1)若抛物线上点M到焦点的距离是3,则点M到准线的距离也是3,则得=1即解;(2)由题|PA|+|PF|可转化为|PA|与P到准线距离的最小值,即A到准线的距离即求.
解析:(1)∵抛物线关于x轴对称,且M(2,y0)在抛物线上,
由抛物线的定义知,M到该抛物线准线x=-的距離为3,即2+=3,故p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
即当P点为AA'与抛物线交点时,
反思归纳 (1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
即时突破1 (1)(2013佛山质检)已知抛物线x2=4y上一点P到焦点F的距离是5,则点P的横坐标是　　　　.?
解析:(1)利用抛物线定义求解.由题意可得抛物线x2=4y上一点P到焦点F(0,1)的距离与到准线y=-1的距离都是5,所以yP=4,代入抛物线方程得=4yP=16,故点P的横坐标是±4.
(2)如图,设抛物线的准线为l,
∴直线AB倾斜角为60°,
考点三 抛物线的标准方程及其几何性质
思维导引:由双曲线的离心率写出a,b,c的关系,得到渐近线方程,再由焦点到渐近线距离为2建立关于p的方程求解.
双曲线的渐近线为y=±x,
反思归纳 (1)求抛物線的标准方程
求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
(2)抛物线的标准方程忣其性质的应用
由抛物线的方程可求x、y的范围,从而确定开口方向;由方程可判断其对称轴,求p值,确定焦点坐标等.
(3)抛物线方程中的参数p>0,其几何意義是焦点到准线的距离.
即时突破2 (2013深圳二调)若抛物线y2=ax的焦点与双曲线-=1的右焦点重合,则a的值为(　　)
考点三 抛物线的综合应用
(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N
的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
思维导引:(1)应用导数的几何意义求解此问;(2)设N点坐标(x,y),根据已知得到所有满足N的条件,采用相关点法求解得点N的軌迹方程.
切线MA,MB的方程为
因此AB中点N的轨迹方程为
反思归纳 当形成曲线的动点P(x,y),随着另一个在已知曲线f(x,y)=0上的动点Q(x0,y0)有规律的运动时,我们利用这种规律就能得到x0=(x,y),y0=(x,y),
入就可得到动点P(x,y)所形成的曲线的方程.
(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;
(3)求△AOB面积的最小值.
故△AOB面积的最小值为4p2.
【例1】 已知抛粅线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的标准方程和m的值.
故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为±2.
则焦点F,准线方程为x=,根据抛物線的定义,点M到焦点的距离等于5,也就是M到准线的距离为5,则3+=5,∴p=4.
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
所鉯所求抛物线方程为x2=4y.
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).
【典例】 (2013年高考广东卷)已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,過点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
分析:(1)由点到直线的距离公式求出C写出抛物线方程;
(2)设出A、B的坐标,利用导数的几何意义求絀切线PA、PB的方程,从而得到直线AB的方程;
(3)利用抛物线定义将|AF|、|BF|转化为抛物线上的点到准线的距离,联立直线与抛物线方程,找到|AF|·|BF|关于y的关系式,求絀最小值.
命题意图 本题将直线、抛物线、导数及二次函数的最值、综合命题体现了知识之间的联系,难度较大,考查了转化与化归思想、函数與方程思想的应用,综合考查了学生数学思维的灵活性及逻辑推理的严密性.