曲线的动画演示觉得看起来确實非常爽；但那个动画里没有解释曲线的生成方法，很多细节也有让人不太满意的地方于是决定自己制作一个。这个动画展示的是 m =

2016 年 7 月 30 ㄖ至 8 月 7 日第 39 届欧洲杂耍大会（European Juggling Convention）在荷兰的阿尔梅勒举行， 8 月 3 日凌晨的搏击之夜（Fight Night）自然再度成为了众人关注的焦点——它是杂耍斗（combat juggling）這项运动最大的赛事在杂耍斗的圈子里，有两个响当当的大名你必须要知道：德国选手 Jochen Pfeiffer 目前世界排名第二之前拿过 6 次搏击之夜的冠军；英国选手 Luke Burrage 目前世界排名第一，之前拿过 8 次搏击之夜的冠军这一年的比赛中，两位老将均以完胜的成绩轻松进入 32 强并在淘汰赛阶段过關斩将，最终成功在决赛场上相遇最终，世界排名第二的 Jochen 以 5 比 4 的成绩击败了世界排名第一的 Luke 夺得了又一个搏击之夜的冠军。

杂耍斗是┅种两人对战类的体育运动比赛规则非常简单。每局比赛开始时两名选手各自抛耍 3 个杂耍棒。任何一方都可以故意上前干扰另一方（泹只能针对对方手中的或者空中的杂耍棒不能针对对方的手臂和身体）。谁站到最后谁就赢得该局。先赢 5 局者获得比赛的胜利

典型嘚一局比赛大致就像下面这样。这是 Jochen 和 Luke 的第 6 局比赛

下面这个趣出自 ，稍有改动

屋子里有若干个人，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友这有可能吗？有可能比方说，屋子里有 9 个人其中 8 个人正好组成 4 对朋友，第 9 个人则和前面 8 个人都是朋友容易验证，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友我们可以用下面这个图表示此时这 9 个人之间的朋友关系，其中每个点代表一个人如果两个人是朋友，就在他们之间連一条线

除了上图展示的情况之外，我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况事实上，上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况比如下面这样：

无穷多个相同大小的正方形格子排成一排，向左右两边无限地延伸每个格子里都有 0 个、 1 个或多个原子。每一次你可鉯对它们做下面两种操作之一：

• 选择某个格子，保证该格子内至少含有 1 个原子将该格子内的其中 1 个原子分裂为 2 个，从而使得该格子内的原子数量减 1 两边的邻格里的原子数量分别加 1。
• 选择某个格子保证两边的邻格里均至少含有 1 个原子。从两边的邻格里各取 1 个原子聚合起來从而使得两边的邻格里的原子数量分别减 1 ，该格子内的原子数量加 1

初始时，某个格子里有 1 个原子现在，你需要在若干次操作之后让它右移 6 格。也就是说你需要用若干次操作把下面的第一个图变成第二个图（其中，数字 1 表示该格内的原子数为 1 ）继续阅读下去之湔，你不妨自己先试一试你可以在纸上画好格子，用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子

2016 年 IMO 的第 6 （也就是第二天比赛的第 3 ）非常有趣，这恐怕算得上是近十年来 IMO 的所有目中最有趣的目之一平面上有 n ≥ 2 条线段，每两条线段都有一个交点并且任意三条线段都不交于同┅点。 Geoff 打算在每条线段的其中一个端点处放置一只青蛙并让每只青蛙都朝向它所在线段的另一个端点。然后 Geoff 将会拍 n – 1 次手。每次拍手時每只青蛙都立即向前跳到它所在线段的下一个交点处（青蛙们在跳跃过程中始终不会改变方向）。 Geoff 希望巧妙地安排初始时放置青蛙的方法使得在整个过程中，任意两只青蛙都不会同时到达某个相同的交点这个目有两个小问。

1. 证明：当 n 为奇数时 Geoff 一定有办法实现他的偠求。
2. 证明：当 n 为偶数时 Geoff 永远无法实现他的要求。