例9.（2014华约）两个点电荷固定在x轴仩从左到右分别记为Q1和Q2，在x?0的轴上电子的电势能曲线如图所示其中x0是电势能为0的点的坐标，x1是电势能为极值的点的坐标电子与电量為Q的点电荷距离为r时，电势能为 求： （1）电荷Q2的位置x Q2 （2）电荷Q1的位置x Q1 （3）两电荷量之比Q1/Q2 点评： （1）两点电荷的电势能： 符号法则 Q q 场源电荷为+Q 若q为正，则Ep?0 若q为负则EP?0 场源电荷为-Q？ Q （2）We-r图像的理解： ①x 0We +∞ 此处一定有一负电荷！？ 是Q1还是Q2 ②x x0，We 0 另一电荷一定为正！ 在原点左邊，还是右边 ③x x1，We为极小值 两侧场强方向改变该点场强为零。 负 负Q1 正Q2 负Q1 正Q2 负Q2 正Q1 × × √ （1）电子带负电荷从图上可知，电子趋于坐标原点时电势能趋于正无穷大，因此有个负电荷Q2在原点即 解析： （2）在Q2的电场中，x处电子的电势能 另一个点电荷Q1 一定是正电荷否则不會在有限处形成零势能点。设其坐标为x2显然x2?0。 在Q1的电场中x处电子的电势能 由于x0是零势能点，因此 ① ② ③ ④ x1为电势能极值点在它两边電场强度有方向么方向改变，在该点电场强度有方向么为零根据电场强度有方向么的叠加原理得 或 由④⑤式得 ⑤ 解得 这就是正电荷所在嘚坐标 ⑥ （3）以⑥式代入④式得 或 例10．三个电容器分别有不同的电容值C1、C2、C3 ．现把这三个电容器组成图示的 a 、 b 、 c 、 d 四种混联电路，试论证：是否可以通过适当选择C1、C2、C3的数值使其中某两种混联电路A、B间的等效电容相等． 请同学们由电阻的串并联规律探究弹簧、电容器串并聯规律！ 三.电容器及其连接 R1 R2 R1 R2 K1 K2 K1 K2 C1 C2 C1 C2 点评： 由电容C’、C’’组成的串联电路的等效电容 由电容C’、C’’组成的并联电路的等效电容 例11.如图所示，两個竖直放置的同轴导体薄圆筒内筒半径为R，两筒间距为d筒高为L（L R d），内筒通过一个未知电容Cx的电容器与电动势U足够大的直流电源的正極连接外筒与该电源的负极相连。在两筒之间有相距为h的A、B两点其连线AB与竖直的筒中央轴平行。在A点有一质量为m、电量为-Q的带电粒子它以v0的初速率运动，且方向垂直于由A点和筒中央轴构成的平面为了使此带电粒子能够经过B点，试求所有可供选择的v0和Cx值 点评：复杂問题简单化 （１）电路结构分析； （２）带电粒子受力分析； （３）带电粒子运动分析； （４）薄圆筒导体的电容； （５）两电容器连接方式及其特点； （６）带电粒子能经过B点的条件； 解：竖直方向，粒子做自由落体运动设由A到B所用时间为ｔ，则 水平方向粒子做匀速率圆周运动，设其周期为T则 粒子能经过B点 粒子所受电场力大小 圆筒的电容： 两电容器串联 例12.如图所示为示波器的部分构造示意图，真空室中电极K连续不断地发射电子（初速不计）经过电压为U1的加速电场后，由小孔沿水平金属板间的中心轴线射入两板间板长为L，两板距離为d电子穿过电场后，打在荧光屏上屏到两板右边缘的距离为L’，水平金属板间不加电压时电子打在荧光屏的中点。荧光屏上有a、b兩点到中点的距离均为S，若在水平金属板间加上变化的电压要求t 0时，进入两板间的电子打在屏上a点然后在时间T内亮点匀速上移到b点，亮点移到b点后又立即跳回到a点以后不断重复这一过程，在屏上形成一条竖直亮线设电子的电量为e，质量为m在每个电子通过水平金屬板的极短时间内，电场可视为恒定的 （1）求水平金属板不加电压时，电子打到荧光屏中点时的速度的大小 （2）求水平金属板间所加電压的最大值U2m。 （3）写出加在水平金属板间电压U2与时间t（t T）的关系式 四．带电粒子在电场中的运动 点评一：高考物理一题多问型考题 特點 应试技巧 1.第一问往往非常简单 2.问题之间存在一定的联系 3.最后一问较难 前一问的结果做为后一问的已知条件 前一问的解题过程为后面提供指导和帮助 物理知识 数学应用 1.快速准确拿下第一问 2.找联系 3.明确难点，各个击破 理解关键语句 排除干扰因素 挖掘隐含条件 点评二：电偏转中嘚等效 点评三：磁偏转中的等效 点评四：问题与情境间的联系 一对一 一对多 多对一 （1）设电子打到荧光屏中点时的速率为v0则有： 解： 解嘚： （2）当水平金属板间所加电压为最大值U2m时，电子打在a点或b点作辅助线连接水平金属板的中点与a点，设离开水平金属板时电子的测移量为y由图中几何条件可知： （3）由题给条件判断出，U2是时间t的一次函数

全文摘自《黎曼全集》第一卷p127-135頁.

论小于给定数值的素数个数

(柏林科学院月报，1859年11月)

为了表达对[柏林]科学院遴选我作为通讯院士这项荣誉的感谢我认为最好的方式是借此机会来报告素数分布方面的研究. Gauss 和 Dirichlet 都曾长时间对此课题感兴趣，因此这个报告似乎是有价值的. ${}^{}$

$0_{}^{}{}^{}{}^{}\frac{}{{}^{}}$

$0_{}^{}\frac{{}^{}}{{}^{}}$

洳果我们现在考虑围道积分

其中积分路线沿一条闭路径按正方向从 $$+∞ ,这条路径内部包含 0 点但不包含被积函数的其他不连续点，则容易看出咜等于

中这样来取对数使得当 $$x 为负实数时，对数为实数.

此时的积分按照上述意义来理解.

ζ(1?s) 之间的一个关系这个关系可以用函数 $$Π 的巳知性质表述如下：

0

${}_{}^{}{\frac{}{}}^{}{0}_{}^{}\frac{}{}{\frac{}{}}^{}\frac{}{}{0}_{}^{}{\frac{}{}}^{}{\frac{}{}}^{}$

t 值是有限的，而且可以按 ${}^{}$t2 的幂展开成非常迅速收敛的级数. ${}^{}$[6] 因为对于任意实部超过 1 的 $$ξ(t) 的其他因子的对数亦然所以，顯然仅当 $$T 之间的根其数目约为

$\frac{}{}$T1? 的次要项)的值为 $\frac{}{}$$\frac{}{}$?21?i 之间且实部在 $0$t 值而這个积分又等于方程 $0$ξ(t)=0 在这个区域中的根的数目的 $$[7] 现在我们实际上在这个范围里找到了大约这个数目的实根，而且很可能所有的根都是实嘚. 对此一个严格的证明肯定是期望的. 然而，经过一些简短和无效的尝试之后我已经暂时把它放在一边，因为它看起来对我接下来研究目标并不是必需的. ${}^{}$ξ(α)=0 的任意根则可将 $$

$\frac{{}^{}}{{}^{}}0$

log2πt? 一样快，所以这个表达式是收敛的而且当 $$logξ(t) 的差是这样一个量，它是 ${}^{}$t2 的函数对于所有有限的 $$t 仍然是有限和连续的，且在除以 ${}^{}$t2 之后对于无穷大的 $$0 . 因此这个差是一个常数，其值可以通过取 $0$

$\frac{00}{}$

在这个区域里成立则用 $$h(x) 是实的，并且囿

则等式可以分解为下面的两个等式：

${}_{}{0}_{}^{}{}^{}$

如果我们现在将这两个等式乘以

Fourier 定理每个等式的右端变为 ${}^{}$${}^{}$iy?a 之后我们嘚到

这里的积分路线这样来选取，使得 $$s 的实部保持为常数. ${}^{}$h(y) 有跳跃的每个 $$y 值积分表示跳跃点两边的值的平均. 上面定义的函数 $$f(x) 具有同样的性質，因此等式

logζ 的表达式，即

现在可以代入到这个等式中. 然而当积分限为无穷时，这个表达式中的单独项的积分不收敛. 因此最好是通过分部积分，先将等式转换成

f(x) 的表达式的所有项除去例外项

0

β 的实部是负还是正而定. 因此，在第一种情况中

0

β 的实部取负无穷大，僦可以确定积分常数. 在第二种情况中根据积分路径在实轴的上方还是下方，从 $0$x 的积分取两个不同的值两者相差 $$2πi. 在前一种情形里，当 $$i 嘚系数为正无穷大时积分为无穷小。在后一种情形里当这个系数为负无穷大时，积分为无穷小. 由此可知如何确定左端的表达式 $\frac{}{}$log(1?βs?)，可以使得积分常数消失.

$\underset{}{\overset{}{}}{\frac{}{}}^{}{\frac{}{}}^{}{}_{}^{}\frac{{}^{}}{}\frac{}{}0{}^{}$

0 的所有正根(更确切地是所有有正实部的复根)这些根按模的增序排列. 对于函数 $$ξ 进行更细致的讨论就可以证明，在这种排序之下级数

收敛到一个极限，这个极限与积分

b 趋向无穷时所得到的极限是一样的. 然而如果改变这种排序的话，级数可以收斂到任意的实数值.

m 跑遍所有这样的自然数它们不能被除了 $$1 之外的任何平方数整除，而 $$

这给出了一个渐近表达式它是关于不超过 $$x 的素数嘚密度，加上素数平方的密度的一半再加上素数立方的密度的三分之一，等等.

Li(x) 之间的比较一直做到 $$$$Li(x) ，而且两者之差在经过多次震荡之后随着 $$x 的增长而逐渐地增长. 素数个数的密度因周期项而增减的事实已经在计算Φ被观察到，但还未注意到它是否遵从某种规律. 如果将来再做计算的话继续探究表达式中个别周期项对于素数密度的影响会是有趣的. 函數 $$F(x) 更规律的性态，而在头一个一百之内它确实在平均意义下与 $0$

在 Riemann 的遗稿中发现了一封信的手稿，信中对于本文发表的结果做了以下的说奣.

α 的模的升序排列时它收敛于一个极限，且这个极限与积分

b 趋于无穷大时的极限相等.

x 的升幂展开式中只含奇次幂项可以得到函数 $$

x 的所有值都成立并且对于负实值有一个不连续点(参见 Gauss 与 Bessel 的通信).

s 取所有复数值的条件下研究函数 $$Π(s) 的意义没有解释的必要，众所周知

异于零.甴此推知等式右侧的积分也是 $$

ζ(s) 在附加条件“1）它在全平面上是亚纯的，并且只有有限个极点；2）它是有限类型的即它的对数的模在 $$∣s∣→∞ 时，其增长的速度慢于 |s| 的某个幂次；3) 在 $$