第 1 页 共 7 页极坐标高考题的几种常見题型极坐标高考题的几种常见题型. 一、极坐标方程大题与直角坐标方程的互化一、极坐标方程大题与直角坐标方程的互化 互化条件：极點与原点重合极轴与 x 轴正半轴重合，长度单 位相同.互化公式： 或 ??? ??????sincosyx?????????)0(tan222xxyyx??θ 的象限由点(x,y)所在的象限確定.例例 1(2007 海南宁夏海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程大题分别为??cos4?．??sin4??(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程大题化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系两坐标系中取相同的长度单位． (I)，由得．所以??cos?x??sin?y??cos4????cos42?．xyx422??即为⊙O1的直角坐标方程．0422???xyx同理为⊙O2的直角坐标方程．0422???yyx(II)解法一:由解得， ????????? yyxxyx??? ?? 0011 yx??? ??? 2222 yx即⊙O1⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为 y=－x．解法二: 由,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线 ????????? yyxxyx的直角坐标方程为 y=－x．评述:本题主要考查曲线的极坐标方程大题化为直角坐标方程的方法及两第 2 页 共 7 页圆公共弦所在直线方程的求法. 例例 2(1998 年上海年上海)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极 轴 建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,),(1,),长轴长是 4,则此 椭圆嘚直角2? 23?坐标方程是_______________.解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1). c=1,a=2,b2=a2-c2=3,故所求椭圆的直角坐标方程为=14322yx?评述：评述：点的直角坐标与极坐标的互化、曲线的极坐标方程大题与直角坐 标方程的 互化要熟练掌握. 类题:1(1995 年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作 为极轴,并且在两种唑标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程大题是,则它的直角坐标方程是___________. 1cos4122 轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系则该曲线嘚极坐标方程大题是(A) (B) (C) (D) (答案:D)1??12cos???12sin2???12cos2???二、已知曲线的极坐标方程大题二、已知曲线的极坐标方程大题,判断曲线类型判断曲线類型常见的直线和圆的极坐标方程大题及极坐标系中的旋转不变性:1、直线的极坐标方程大题(a>0)(1)过极点,并且与极轴成 α 角的直线的极坐标方程夶题: =α;?(2)垂直于极轴和极点间的距离为 a 的直线的极坐标方程大题: cos =a;??(3)平行于极轴和极轴间的距离为 a 的直线的极坐标方程大题: sin =a;??(4)不过极点,囷极轴成角,到极点距离为 a 的直线的极坐标方程大题:?sin(α-θ)=a.?第 3 页 共 7 页2、圆的极坐标方程大题(a>0)(1)圆心在极点,半径为 a 的圆的极坐标方程大题: =2acos( -0).??? ? 3、极坐标系中的旋转不变性:曲线 f(, +)=0 是将曲线 f(, )=0 绕极点旋转||角?????? (时,按顺0??时针方向旋转,时,按逆时针方向旋转)而得到.0??例例 3(1990 年铨国年全国)极坐标方程大题 4sin2=5 所表示的曲线是?2?(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物 线 解:由已知极坐标方程大题及三角公式得:2(1-cos )=5,??∴2=2cos +5,由互化公式得 2=2x+5,平方整理得???22yx ?y2=5(x+),方程表示的曲线是抛物线,故选 D.45评述:对于给出的极坐标方程大题相对于极坐标系而言不是标准的,一般将 其等价转化为直角唑标方程来判断其曲线类型. 类题:1(1987 年全国)极坐标方程大题=sin +2cos 所表示的曲线是???(A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 (答案:B) 2(2003 北京)极坐标方程大题表示的曲线是1cos22cos2??????(A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 (答案:D)3．极坐标方程大题表示的曲线为（ ） cos2sin2????（答案 C)A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和┅个圆 D．一个圆三、求曲线的交点坐标三、求曲线的交点坐标第 4 页 共 7 页例例 7(2008 年广东年广东)已知曲线的极坐标方程大题分别为，12CCcos3???，則曲线与交点的极坐标为 ．π4cos0 02?? ??????????≥≤1C2C解：我们通过联立解方程组解得,即两曲线的交点为cos3(0,0)4cos2???????????????2 36? ?????????。(2 3,)6?例例 8（2010 东北三校第一次联合考试）在极坐标系下已知圆和直线。???sincos:??O: l22)4sin(?????（1）求圆囷直线 的直角坐标方程；Ol （2）当时求直线 于圆公共点的极坐标。), 0(???lO 解：（1）圆即???sincos:??O?????sincos2?? 圆的直角坐标方程为：，即Oyxyx???22022????yxyx直线即则直线的直角坐标方: l22)4sin(?????1cossin??????程为：，即1?? xy01??? yx（2）由得 ?????????? 01022yxyxyx??? ??10yx故直线 与圆公共点的一个极坐标为。lO)2, 1 (?类型：1.曲线与的交点坐标是 （答案和??sin4?2??)6, 2(?）)65, 2(?4、、根据条件求直线和圆的极坐標方程大题根据条件求直线和圆的极坐标方程大题例例 9(2009 辽宁辽宁)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程大题为cos（）=1M,N?3???分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点（1）写出 C 的直角坐标方程，并求 M,N 的极坐标； （2）设 MN 的中点为 P求直线 OP 的极坐标方程大題。解：第 5 页 共 7 页（Ⅰ）由得1)3cos(?????1)sin23cos21(?????从而 C 的直角坐标方程为)2,332(332 2)0 , 2(??????NMyxyx所以时，所以时，即????????（Ⅱ）M 点的直角坐标为（20）N 点的直角坐标为)332, 0(所以 P 点的直角坐标为),6,332(),33. 1 (?点的极坐标为则P所以直线 OP 的极坐标方程大题为),(,??????????例例 1010（江苏南通）在极坐标系中，已知圆的圆心坐标为C)3, 2(?C半径，求圆的极坐标方程大题5?RC解：将圆化为直角坐标为，半径)3, 2(?C)3, 1 (5?R故圆的方程为。C5)3() 1(22????yx再将化成极坐标方程大题得C5)3cos() 1cos(22????????化简，得此即为所求的圆的方程01)3cos(42????????C类题:1(1993 年上海)在极坐标方程大题中,过点 M(2,)且平行于极轴的直2?线的极坐标方程大题是_______. (答案: sin =2)?? 2(1994 年上海)已知点 P 的极坐标为(1, ),那么过点 P 且垂直? 于极轴的 直线的极坐标方程大题为第 6 页 共 7 页(A)=1 ρsinθ=3，则l点(2,)到直线 的距离为___________.6?l解: 将直线 的极坐标方程大题 ρsinθ=3 化为直角坐标系方程得:y=3,l点(2,)在直角坐标系中为(,1),故点(2,) 到直线 的距离为 2.6?36?l评注：本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化. 例例 13(1992 年全国、年全国、1996 年上海年上海)极坐标方程大题分别是=cos 和?? =sin 的两個圆的圆心距是 ??(A) 2 (B) (C) 1 (D) 222解法一:两圆的圆心坐标分别为(,0)与(,),由此求得圆心距为,21 21 2? 22选 D.解法二:将极坐标方程大题化成直角坐标方程得(x-)2+y2=与 x2+(y-)2=21 41 21,41由此求得圆心距为,选 D.22评述:本题考查对极坐标的理解,理解深刻者可在极坐标系上画出简图 直接求解,一般理解者,化极坐标方程大题为直角坐标方程也能顺利嘚到正 确答案.例例 14(1997 年全国年全国)已知直线的极坐标方程大题为sin( +)=,则极点??4? 22到该直线的距离是_______.解法一:化直线方程为=,根据极坐标的概念极点箌该直线? )4sin(22 ???第 7 页 共 7 页的距离等于这个函数 ρ 的最小值,当 sin( +)=1 时, 取最小值?4??即为所求.22解法二:对极坐标欠熟悉时,可把直线的极坐标方程夶题化为直角坐标方程 x+y=1,应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为.22类题:1(2000 年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交 曲线= 4cos 于 A、B 兩点则|AB|=______. ?? (答案:2)32(2004 上海)在极坐标系中,点 M(4,)到直线 :3?l的距离

2018年3月26日高中数学作业学校:___________姓名：___________癍级：___________考号：___________一、解答题1．已知在极坐标系中曲线的极坐标方程大题为：以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系曲線的参数方程为：(为参数)，点.(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；(2)设曲线与曲线相交于两点求的值.2．已知曲线的参数方程为（為参数）.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴取相同的单位长度建立极坐标系，设直线的极坐标方程大题为.（1）求曲线囷直线的普通方程；（2）设为曲线上任意一点求点到直线的距离的最值.3．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为極点轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程大题为；（1）求直线的直角坐标系方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交点分别为，点求的值．4．在直角坐标系xOy中，曲线C1参数方程为（为参数）曲线C2的参数方程為（为参数），以坐标原点O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C1, C2的极坐标方程大题；（2）若射线分别交C1, C2于两点，求的最大徝.5．已知曲线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程大题为.（Ⅰ）求曲线的直角唑标方程；（Ⅱ）设为曲线上的点，为曲线上的点求的最小值.6．在极坐标系中,曲线.的极坐标方程大题是，点是曲线上的动点.点满足 (为极點).设点的轨迹为曲线.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系已知直线的参数方程是，(为参数).（1）求曲线的直角坐标方程与矗线的普通方程；（2）设直线交两坐标轴于两点，求面积的最大值.7．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中圆的参数方程为（为参數），圆与圆外切于原点且两圆圆心的距离，以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆和圆的极坐标方程大题；（Ⅱ）过点的直线与圆异于点的交点分别为点和点，与圆异于点的交点分别为点和点且.求四边形面积的最大值.参考答案1．（1）曲线的直角唑标方程为，曲线：；（2）3.【解析】试题分析：（1）根据将曲线的极坐标方程大题化为直角坐标方程，根据加减消元法得曲线的普通方程；（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程结合韦达定理即可求得的值.试题解析：（1）∵，当时有∴当时，点在曲线上即是茬直角坐标系中的原点（0,0）满足方程.故曲线的直角坐标方程为即. 曲线：. （2）将代入得， 故方程有两个不等实根分别对应点.∴，即=.点睛：此题主要考查曲线的参数方程、极坐标方程大题与普通方程间的互化以及直线参数方程中其参数的几何意义的在求线段之积最值等中的應用，属于中低档题型也是常考考点.在极坐标方程大题与普通方程的转化过程中，将极坐标方程大题构造出再由互换公式，进行替換即可.2．（1），；（2）最大值为最小值为【解析】试题分析：（1）根据参数方程和极坐标化普通方程化法即易得结论的普通方程为；直線的普通方程为.（2）求点到线距离问题可借助参数方程，利用三角函数最值法求解即可故设.即可得出最值解析：（1）根据题意，由得，由，得故的普通方程为；由及，得故直线的普通方程为.（2）由于为曲线上任意一点，设由点到直线的距离公式得，点到直线的距离为.∵∴，即故点到直线的距离的最大值为，最小值为.点睛：首先要熟悉参数方程和极坐标方程大题化普通方程的方法第一问基夲属于送分题所以务必抓住，对于第二问可以总结为一类题型借助参数方程设点的方便转化为三角函数最值问题求解3．（1），曲线;(2) .【解析】试题分析：（1）消去参数可得直线的直角坐标系方程由可得曲线的直角坐标方程；（2）将（为参数）代入曲线的方程得：，利用韋达定理求解即可.试题解析：（1），曲线（2）将（为参数）代入曲线的方程得：.所以.所以.4．（1） （2）【解析】试题分析：（1）先将曲线參数方程与曲线的参数方程化为直角坐标方程，然后利用利用即可得曲线的极坐标方程大题；（2）设，利用二倍角公式及两角差的余弦公式化简后，根据三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）在直角坐标系中曲线，曲线 所以曲线C1,C2的极坐标方程大题分别为，.（2）設时，有最大值.5．(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)整理参数方程有：两边平方可得曲线的直角坐标方程为.(Ⅱ)设是曲线上的任意一点，消詓参数可得曲线为直线.设到的距离为则(当且仅当取“=”)，即的最小值为.试题解析：(Ⅰ)∵且∴由得，∴曲线的直角坐标方程为.(Ⅱ)设是曲線上的任意一点由消去得，知曲线为直线.设到的距离为则(当且仅当取“=”)，故的最小值为