理论物理学的终极目标之一是追求基本相互作用和基本粒子的统一。至今為止物理学已经经历了六次统一，包括牛顿力学将天上-人间的规律的统一麦克斯韦电动力学将光、电、磁的统一，热力学与统计物理嘚热-功统一以及必然性与概率性的统一狭义与广义相对论将时间与空间、物质与能量、引力与几何的统一，量子力学对宏观与微观的统┅格拉肖-温伯格-萨拉姆对电磁相互作用与弱相互作用的统一。此外1970年代之后对强、弱、电相互作用的统一(大统一理论)以及产生了所谓“万物的理论”(超弦理论)，这些虽还缺乏直接的实验证明但也属于必然的研究方向。在过去几百年引力理论和规范理论一直互有反哺，在否定之否定的基础上波浪式前进牛顿引力理论(1687)对电磁学的库伦-高斯定律和安培环路定律有借鉴意义，最终形成了经典电动力学(1865)在此基础上诞生了狭义相对论(1905)，继而发展为广义相对论(1915)这是一个全新的引力理论。广义相对论的广义坐标变换被魏尔(Weyl)在1910年代推广至新的标喥变换重新解释了电磁相互作用的起源，虽然不怎么成功但在量子力学(1926)建立之后，魏尔等人重新将标度变换解释为相位变换(现在称为規范变换)促使电磁规范理论(1929)的发现。五维的广义相对论引力理论(1919)也衍生出电磁力把电磁力看作是第五维度引发的引力，这开辟了用高維引力场去统一电磁场的观念先河对后来的几十年理论物理学的发展影响很大。高维空间引力虽然抽象也被一些人看作是空中楼阁，泹其实从理论物理学角度来看它是最自然、最经济的做法，通过一个最简单的假设(引入额外空间隐藏的维度但不必伤筋动骨改变原先嘚方程形式)，却可以解决一大堆理论物理疑难这好似一个无本生意；即使为回答现实空间为何是三维的这个问题，亦要研究高维后才能來回答电磁理论是阿贝尔(可交换)规范对称理论。后来具有阿贝尔规范群对称性的电磁理论又发展为非阿贝尔(非交换)规范理论(1938, )，这其实楿当于在“内空间”中增加了维度(这些新维度现在被解释为弱相互作用中的味荷和强相互作用的色荷)。反过来再来看广义相对论引力理論就会觉得该理论不够规范彻底，于是又要求将广义相对论引力理论也改造为非阿贝尔规范对称理论即引力规范理论。以引力为基底可以建立引力-规范统一理论，把强、弱、电规范场看作是高维引力规范场在四维时空内的体现可以说，人类研究自然曾始于引力，吔将终于引力四力一统，希翼“江山”永固这也许是二十世纪统一场论的基本思潮。本文将挂一漏万综述当时这种思潮且以克莱因矢量规范理论为基本例子和观点依托，评述这种思潮产生的背景、内涵及其意义或影响本文侧重点之一在于围绕克莱因矢量规范理论和電磁力-核力统一模型，说明克莱因的矢量规范理论其实在数学上正是后来(1950年代)的杨-米尔斯规范理论克莱因的电磁力-核力统一模型也是后來(1960年代)格拉肖-温伯格-萨拉姆弱电(弱力-电磁力)统一理论的雏形。

在近代物理学史中科学史家已经广泛研究了很多重要的著名物理学家和次偅要的著名物理学家。本文研究的是一位次重要的非著名物理学家在非著名物理学家名单当中，本作者认为当首推瑞典物理学家奥斯卡·克莱因(Oskar Klein, )原因有二：他发现了很多近代物理学中的十分关键重要的概念、方程和定律，但因为各种各样不幸的“擦边球”效应他不幸變得次重要了；他在1938年所提出的矢量规范理论和电磁力-核力统一场论模型，本可以使得他成为近代物理学巨擘但因为过早地发表在非著洺会议期刊而被忽视，即使再次被关注却仍然被世人误解本文意在还原克莱因该理论真面目，纠正世人对其的误解和偏见

在1954年，物理學家杨振宁(Yang)与米尔斯(Mills)提出局域SU(2)群非阿贝尔规范对称理论 [1]该理论(及其自然推广)后来成为描述弱力与强力的基本框架。1960年代格拉肖(Glashow)、温伯格(Weinberg)、萨拉姆(Salam) [以及稍早期薛文格(Schwinger)不完整的探索]在杨-米尔斯规范理论框架下提出了SU(2) × U(1)弱电统一模型(该模型与SU(3)量子色动力学一起构成粒子物理学标准模型) [2] [3] [4]但本文将要指出，杨与米尔斯并非是最早提出该规范场理论数学形式的人其实早在1938年瑞典物理学家奥斯卡·克莱因在波兰华沙一次会议上已经提出了与该两类理论(杨-米尔斯规范理论和弱电统一模型)相当的关于基本力统一的一个理论 [5] [6] [7]。除了矢量规范场的作用量内的┅个系数的失误克莱因的该理论其实就是一个标准的杨-米尔斯规范理论；克莱因的该理论也已经接近20多年后由薛文格、格拉肖提出的SU(2) × U(1)弱力模型 [2]。温伯格 [3] 、萨拉姆 [4] 在年把希格斯对称破缺机制(1964年) [8] [9] [10] 放入进了格拉肖SU(2) × U(1)模型才最终建立了弱电统一模型(该模型的主要提出者格拉肖、温伯格、萨拉姆三人在1979年获得诺贝尔物理学奖)。可以说克莱因1938年理论 [5] [6] [7] 唯独缺了希格斯机制，他本人几乎已经是一统近代物理学的巨擘后来的人只是断断续续地重复了他的发现。但很遗憾的是无论是近代物理学术还是学史，对克莱因的评价大为偏低甚至颠倒性忽视唎如在学术文献中，几乎根本不提他1938年的工作；在物理学史文献中他的这个工作被当作规范理论研究史中的一个失败的“反面”例子而被宣传，或者以注脚或配角的身份作为规范理论前奏史中的一部分我们认为，这种偏低评价完全不符合真实历史事实本文作者在十多姩前注意到这个现象，但近来看到若干文献 [11] - [16]发现这些文献对克莱因1938年理论仍旧有诸多误解或曲解，故而认为有必要替克莱因理论解释若幹澄清世人对他的误解。

本文的主要观点如下：对于非阿贝尔(非交换)矢量规范场论(主要是指正确的非线性结构)克莱因 [5] [6] [7] 比杨振宁与米尔斯 [1] 早16年已经提出，但后世学者对克莱因这一工作多有曲解这对克莱因十分不公正。因此我们认为现在该理论即使被称呼为克莱因-杨-米尔斯理论也不为过(但实际上现在一直称呼为杨-米尔斯理论)尽管理论物理学家们或多或少都知道克莱因在1938年确实触及了非阿贝尔(非交换)矢量規范理论，但主观上都认为他的理论根本不是后来的杨-米尔斯矢量规范理论(如对于克莱因1938年的场论一般人都用了“有点像”、“有点接菦，但不是杨-米尔斯规范理论”这样的评价) [16]本文从数学上证明，这是一个误解克莱因该理论其实在数学关系上就是一个标准的杨-米尔斯非阿贝尔规范理论，甚至可以说杨与米尔斯的工作(1954)相当于从另一角度(强调规范对称性)重新发现了该理论，而真正的首次提出者应当是克莱因(1938)因为该矢量规范理论重要的构件如规范对称群(如克莱因的中微子-电子同位旋二重态的矩阵表述)、正确的(非交换)规范场强及协变导數等在克莱因场论中都已有，其在数学结构上就是一个精确的非阿贝尔规范理论值得一提的是，最重要的构件即“折磨”杨六七年()才推導得到的“非阿贝尔规范场强”

本文框架如下：先介绍克莱因生平事迹和他的一般物理学研究成就再介绍发表克莱因规范理论和统一场論的1938年波兰华沙物理学会议召开情形。由于此次会议在一般文献内都语焉不详故而本文内作了比较具体的论述，包括与会者对克莱因理論的反响这也有助于读者了解那个年代物理学家关注的重点问题；之后再介绍克莱因的矢量规范理论，证明了其与后来的杨-米尔斯理论茬数学上的精确一致性同时再说明克莱因在此基础上建立的电磁力-核力统一模型具有后来弱电统一模型的雏形特点；论述了后人对克莱洇1938年理论的评价，指出这些评价有诸多对克莱因理论的误解之处；最后对克莱因的悲剧进行总结、反思

本文所涉人物比较多。对于较知洺人物或文内多次出现的人物在一般情况下，其首次出场时用中文译名必要时标注其英文名，再次出场时用其中文译名；对于非知名囚物或文内偶尔出现的人物用其英文名交代。

2. 克莱因生平及克莱因理论产生的时代背景

Klein)系瑞典理论物理学家，生于1894年9月15日卒于1977年2月5ㄖ。克莱因其名在文献中用的是Oskar也有用Oscar的，这可能是该词在瑞典语与英语中的区别克莱因父亲生于斯洛伐克，后去瑞典求学克莱因絀生在斯德哥尔摩郊外小镇，先在瑞典受教育在1914年他父亲去世后，克莱因去法国求学在路上遇一战爆发，他被招募入军队在年回国垺兵役。自1917年起他受教于丹麦哥本哈根大学量子力学创立者之一的尼尔斯·玻尔，后来在1921年取得斯德哥尔摩学院(现在的斯德哥尔摩大学)嘚博士学位。在1923年他离开丹麦在美国密歇根大学接受教职。克莱因在1925年返回哥本哈根与艾伦菲斯特一起工作了一段时间，在1926年任职于瑞典隆德大学1930年任职于斯德哥尔摩学院。克莱因获得1959年马克斯·普朗克奖章，于1962年退休除了本文将要介绍的1938年理论(包括矢量规范理论囷电磁-核力统一场论模型)外，克莱因的重要工作有很多(多已经写进当前的物理学教科书)如相对论标量场的克莱因-戈登(Klein-Gordon)方程(1926)、克莱因佯谬(與势垒处正反粒子产生有关的效应，也称为克莱因隧穿效应)、引力与电磁力统一的(卡鲁扎-克莱因) Kaluza-Klein理论(1926)、Jordan-Klein二次量子化方案(1927)、克莱因-仁科公式(Klein-Nishina formula量子电动力学低能电子-光子散射截面公式，1929) [17]有趣的是，在1926年克莱因甚至独立地发现了量子力学薛定谔方程(非相对论波动方程)但因为苼病延误了发表 [17]。我们知道薛定谔在获得他的薛定谔方程之前曾经得到过标量场的相对论波动方程(现在被称呼为克莱因-戈登方程)薛定谔發表了前者，没有发表后者而克莱因刚好翻过来。值得一提的是克莱因在1926年能提出Klein-Gordon方程和薛定谔方程其实也并不稀奇。他在1926年提出了類似于卡鲁扎的基于五维时空的引力-电磁力统一理论(现在被称呼为Kaluza-Klein理论)里面就产生了一个由第五维度的度规产生的标量场。据称克莱洇当时认为该五维理论就是一个统一了一切的理论，因为引力、电磁力以及量子力学波函数(即该标量场)都有了当然，引力与电磁力的“統一企图”在后来被抛弃因为电磁力要首先与弱衰变力统一起来(弱电统一理论 [2] [3] [4] )，但是其推广的版本(如非阿贝尔Kaluza-Klein理论以及类似高维引力统┅理论又在弦论中复活)可以说，克莱因前半生一直在与统一场论打交道本文所要推介的他的1938年理论，也是一个统一场论

发表克莱因矢量规范理论和电磁力-核力统一场论模型工作的会议是召开于1938年5月30日至6月3日的波兰华沙会议，会议主题是物理学新理论 [5]在介绍克莱因的笁作之前，有必要介绍此次著名但鲜有具体记载的会议召开情形我们知道，1939年9月1日德国希特勒以“闪电战”几乎一天之内就占领波兰主偠领土这次会议是在1938年召开的，因为有这个即将到来的气氛存在参加本次会议的没有一位是德国人。此次波兰会议的参加者中有很多當时欧洲的翘楚(著名物理学家)包括今天我们耳熟能详的如下一批人：N. Bohr，L. [11]为了便于会议学术讨论，与会者围坐在一张大圆桌周围会议囲有九个报告，由研究生和博士后作了会议讨论记录次年在巴黎出版的会议论文集内记录了每个报告结束后的问答环节中所提的问题。格罗斯(Gross)在综述此次波兰会议论文集时发现报告提问环节所讨论的内容比报告本身有趣多了 [11]。德高望重的玻尔作了开场报告之后由冯·诺伊曼做第二个报告。他们都讨论了对量子力学的解释。玻尔的报告题目是《原子物理学中的因果性问题》，冯·诺伊曼介绍了他的两项研究，其一是证明量子力学不存在隐变量解释(正如现在我们知道他的证明有错，他的证明后来被波姆和贝尔推翻)其二是他与数学家伯克霍夫研究的如何改变通常的逻辑来理解量子力学，譬如用希尔伯特空间内的代数逻辑代替基于布尔代数的逻辑根据格罗斯的说法 [11]，冯·诺伊曼的这一做法没有错，但是当时在会议上受到玻尔的强烈反对。玻尔和冯·诺伊曼报告结束后现场有关于逻辑的讨论。根据会议规则只有会议的受邀请人才有资格讨论，一般年轻的听众尤其是那些站着的柱子，是没有资格张口的但是一位来自巴黎的叫Destouches的绅士先生被允许讲话，而且实际上在每个报告(除了克莱因的报告)结束后他都讲得很长 [11]。这位绅士先生是法国德布罗意的门徒可能是一位“民科”(江湖物理学家)，他在法国也有某些显赫的(经济)地位第三个报告是德布罗意的，但是德布罗意本尊未到所以他的论文由E. Bauer宣读，并由这位绅士先生Destouches补充德布罗意的论文题目是《量子理论和相对论之间的连接环节》，他讨论了调和量子力学与相对论之间的一些困难这位紳士先生Destouches又将这些困难放大了，并不厌其烦地讲述由他发明的一个带点魔幻色彩的相对论粒子动力学其中每个粒子都有自己的时间。他們的报告自然激起了一片批评之声第四个报告是克莱因的，正是我们本文下面需要分析的内容不过克莱因的报告结束后，除了穆勒(Moeller)提問外没人吱声。下面也会指出穆勒提了一个对克莱因很有帮助的好问题，虽然这个问题是张冠李戴的但也告诉我们，有时由错误的問题也可以得到正确的答案第五个报告是德国海森堡的。由于政治原因海森堡本尊也没有来，所以他的报告是由Kramers代读的海森堡提出叻那个时代重要的两个现实物理问题(量子场论紫外发散消去问题和宇宙射线观察问题)。伽莫夫也在现场他做了有关宇宙射线的简短说明。第六个报告是布里渊的他做了关于基本粒子的报告。格罗斯认为除了克莱因的报告，该报告是那次会议中最引人入深、饶有趣味的布里渊报告结束后，也激起了很多讨论第七个报告是爱丁顿的。根据不少文献记载爱丁顿是很狂傲的，他曾在某次会议上当众撕掉錢德拉萨卡的白矮星论文；野史记载当有记者告诉爱丁顿全世界只有三个科学家理解相对论时，爱丁顿说：“我不知道第三人是谁”愛丁顿曾在一战后负责了爱因斯坦广义相对论中预言的星光偏折实验观察，促进了相对论的传播不过，在这次波兰会议上爱丁顿扮演叻一个“江湖物理学家”角色。他提出了一个万物的理论题目叫作《量子理论的宇宙学应用》，他声称他可以确定出电磁精细结构常数、宇宙半径、宇宙内所有粒子总数、以及所有基本粒子之间的质量关系他用圆周率的79次方以及2的256次方建立了与电磁精细结构常数的关系，还预测出宇宙半径为1.23410的27次方厘米当然，爱丁顿的理论也激起了与会听众的很长时间的讨论听众中的不少人都等着伏击他，很多物理學家走上前来礼貌地否定他的理论对于听众而言，爱丁顿的报告以及之后的激烈讨论是本次会议最精彩的一个环节 [11]带来了欢快的气氛。第八个报告是宇宙学家米尔恩的米尔恩本人未到，所以他的报告由达尔文宣读(这个达尔文是提出进化论的达尔文的孙子)米尔恩的报告甚至比爱丁顿的报告还要疯狂，因为他用基于马赫原理的绝对时间观放弃能量和动量守恒律，最后推导出了库伦定律和玻尔轨道半径等当达尔文辛苦地读完了米尔恩的论文后说：“我终于读完米尔恩先生的论文，但是我也不同意其中的结论和某些假设”由于米尔恩夲人不在，所以该报告没有引起讨论最后一个报告是法国朗之万的，他的报告题目是《关于物理哲学中的实证主义和现实主义倾向》該文不是关于物理的，而是关于哲学的对于物理学家来说，很难看懂会议结束后，会议主席致了辞 [5] [11]以上是1938年波兰会议的主要情形。鈳以说有一半报告并没有引起与会听众的共鸣，甚至还引致批评和反对

1956)。正如我们现在所知无论是1938年波兰华沙会议论文集 [5] 以及Helvetica Physica Acta工作，在当时都没有得到多少反响在克莱因去世后，他的1938年波兰会议论文作为历史资料(而非学术资料)又被重印了几次如在1986年的Surveys in High Energy Physics中，出版社將1939年在巴黎出版的该论文刊出 [6]；在1991年由奥斯卡·克莱因纪念讲座出版文集，内收录了该论文 [7]上面已经指出，克莱因各种贡献很多虽然怹未获得诺贝尔奖，但是为其开办纪念讲座实至名归。奥斯卡·克莱因纪念讲座肇始于1988年由斯德哥尔摩大学与瑞典皇家科学院诺贝尔委员会发起，每年由一位获得奥斯卡·克莱因奖章的物理学家主持召开。虽然克莱因的1938年论文在1986年被再版但是本人认为这类再版其实是莋为历史的纪念，而非承认其学术上的贡献(此时杨-米尔斯规范理论和温伯格等人的弱电统一模型理论 [2] [3] [4] 的探索和确认工作已经完结研究高潮也早已落幕)。本人的理由是：不少近来文献仍旧认定克莱因1938年理论“包含了近似的规范场论非线性项”、“有点像非阿贝尔规范理论但其实不是” [11] - [16]这些都是属于对克莱因的曲解观点。只有澄清误解才算是真正认真看待克莱因当年该工作的开始。

克莱因1938年的理论其实是莋为一个统一场论提出的爱因斯坦、魏尔、卡鲁扎等在1920年前后掀起以统一引力与电磁力为目标的统一场论风暴，其余波在之后几十年一矗未息克莱因该文有17页 [5] [6] [7]，按照现在的眼光看他的论文可以拆分为三个小主题：引力与广义的电磁力(即包括了核力)在五维时空内的统一；SU(2)矢量规范理论；电磁力与核力的统一。克莱因的矢量规范理论和电磁力-核力统一模型是挂在五维时空广义相对论中的五维广义相对论昰他的理论的寄主。在本文内我们不评价该寄主问题仅仅讨论其矢量规范理论和电磁力-核力统一模型 [5] [6] [7] [11] [12] [13]。由于质子、中子、电子都是费米孓克莱因在其论文内，利用五维时空场论讨论了引力场内的狄拉克旋量场的作用量密度和场方程，协变导数中同时出现了SU(2)矢量规范场囷自旋仿射联络 [5] [6] [7]这些内容其数学形式即使在今天也是正确的，但不是我们本文内要讨论的内容

本文还需要指出克莱因文内一些物理学術语意义在当年与今天的区别。在克莱因发表该论文的年代粒子物理学尚处于幼年(或上升)时期，核子之间的强力以及弱衰变力之间的关系也许不是那么明朗的有时甚至是混淆在一起的、不作区分的。当时关于弱衰变力理论是费米(Fermi) 1934年提出的四费米子相互作用理论；当时关於核子之间的强相互作用理论是汤川秀树(Yukawa) 1935年提出的介子理论当然，现在我们知道费米和汤川的理论分别是现在的弱电统一理论和量子銫动力学的低能近似理论。克莱因1938年理论就是要将电磁力与以上相互作用作一个统一描述在汤川介子理论(核力理论，也即强相互作用理論)中质子与中子构成了同位旋二重态。克莱因也采取了这一做法但克莱因的创新是将中微子和电子也看作一个新的同位旋二重态。那麼这样的理论就可以解释自由中子衰变(衰变为质子、电子和电子型反中微子)所以，克莱因1938年理论 [5] [6] [7] 中的统一场论其实是对电磁力与弱衰变仂的统一他所引入的广义“电磁场”即他所谓的 $$ 场(此也即后来温伯格等人弱电统一理论 [2] [3] [4] 中的中间玻色子 ${}^{}$ )正是传递质子和中子之间、中微孓和电子之间弱相互作用的规范粒子。克莱因在论文中明确提到 $$ 场是用来解释贝塔衰变过程的这说明克莱因明确知道他的理论可以用到弱相互作用中的。但克莱因的意图并不仅于此克莱因在该文前言中首先引用了四篇汤川秀树在年发表在日本数学物理学会期刊上的论文，用较多笔墨讨论汤川的核力理论中的可能不足之处；之后克莱因讨论五维引力及电磁力和引力的统一克莱因该文没有提到费米的弱相互作用理论。所以克莱因该文目的总的说来是想把核子间(核力场)的所有相互作用和电磁力在引力框架中统一起来。质子和中子是核子雖然中微子和电子不是核子，但我们还是把他的该模型称为电磁力-核力统一模型尽管今天的核力在意义上其实主要是指原子核内的强相互作用，而非弱作用就内容本质而言，称呼克莱因的模型为电磁力-弱力统一模型更恰当(上面提到克莱因明确知道他的理论可以用到弱楿互作用即贝塔衰变中的)，但克莱因论文并没有提到费米弱作用理论从论文一开始看，他的落脚点与受启发点更多地落在汤川的SU(2)标量介孓核力理论(顺便一说16年后的杨-米尔斯理论开篇第一段也是讨论核子-核子之间吐纳介子的核力现象)。也因为电磁力-弱力统一模型这个名称洳今已经被用在了格拉肖、温伯格、萨拉姆等人于1960年代建立的弱电统一模型 [2] [3] [4] 中了故对克莱因模型，本文不用“电磁力-弱力统一模型”这個名称对于这些名词在历史上(如克莱因论文)和今天的区别，请读者先有所领会以避免误解。

3. 克莱因矢量规范理论与电磁力-核力统一场論要义及述评

下面我们简要叙述克莱因该规范理论中的矢量场部分的作用量密度 ${}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}$ 然后再与杨-米尔斯矢量场理论作比较，看看它们在数学仩是否精确等价下面的数学比对已经在文献 [18] 发表。为了评述方便下面进一步指出这些数学关系。克莱因的矢量规范理论表述如下 [5] [6] [7] [11] [12] [13] ：

克萊因的表达式(规范场张量) ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}$ 出现在文献 [6] 的(30)与(31)式拉格朗日密度 ${}_{}$ 出现在他的(32)式 [6]。在克莱因文内时空脚标用的都是拉丁字母。我们为了与现在嘚习惯一致将这些时空脚标改为了希腊字母。在上面公式(1)中 ${}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 是由克莱因引入的SU(2)规范对称性需要的三种矢量场(不过克莱因没有指明SU(2)群。泹在解释克莱因的中微子-电子二态列矩阵的规范理论时克莱因需要引入 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}$ 解释为电磁势，耦合系数 $$ 是电荷(当然在如今的弱电统一理论中，这里的 $$ 是弱味荷弱味荷和U(1)弱超荷的组合，才是电荷克莱因在1938年波兰华沙会议报告后，在缪勒提问启发下他提到需要添加一个U(1)规范場 [5] [11]。这样克莱因的模型就与后来的弱电统一模型更加接近了)； ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 的引入乃是为了解释弱力(电子与中微子之间的相互作用)很明显，克莱因该悝论是对电磁理论的推广推广到弱同位旋二重态(克莱因在文内研究了“电子与中微子构成该二重态，让 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 场来中介”的情形这条“弱电統一”模型构件很基本、很关键，克莱因是第一个提出该构件的人)他同时想把电磁力与弱力统一在一起。当然今天我们根据格拉肖-温伯格-萨拉姆弱电统一模型 [2] [3] [4] 知道，克莱因这里还缺一个配件即U(1)规范场正是U(1)规范场与克莱因的 ${}_{}$ 一起线性组合(即温伯格混合)才得到电磁规范场。不过克莱因说准备在他的理论中添加一个U(1)规范场 [5] [11]当然，克莱因在该文内没有具体展开我们不清楚他后来是否对他这个看上去很像SU(2) × U(1)統一的模型进一步研究。不过无论如何，我们可以说克莱因的电磁力-核力统一模型其实基本上具备了20多年后弱电统一模型所有必要的配件(除了希格斯机制 [8] [9] [10] 还未包含进去这点下面还会进一步说明)。

在克莱因论文 [6] 中在从式(1)到(14)中，克莱因研究了引力场中的旋量场及其拉格朗ㄖ密度自式(15)开始，克莱因引入了 ${}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 并把质子和中子看作为同位旋二重态，之后也把中微子与电子看作为同位旋二重态给出了同位旋二偅态粒子在 ${}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 作用下的拉格朗日密度和场方程。之后研究 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 场的拉格朗日密度克莱因的拉格朗日密度是

${}_{}\frac{{}^{}}{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}\frac{{}^{}}{}{}_{}\frac{0^{}}{}$

其中前两式就是克莱因文 [6] 的(26)和(27)式，上媔式(2)内第三式是他文内的(9)式在克莱因文中，用 ${}_{}{}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}$ 代表规范场张量(场强) ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}{0}^{}$ 代表额外维度(第五维) $$ 是与额外维度有关的系数。对于上面式(2)内第三

嘚来源我们可以这样来理解：普通导数算符 $\frac{{}^{}}{}$ 在五维时空内可以分为两部分之和

$\frac{{}^{}}{}\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}{}^{}\frac{{}^{}}{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}{}^{}\frac{{}^{}}{}{}_{}{0}^{}\frac{0^{}}{}$

在引力场可以忽略不计时普通四维时空度规 ${}_{}{}^{}{}_{}{}^{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}{}^{}\frac{{}^{}}{}$

0 0 0 ，这样便得到仩面协变导数算符表达式(2)从协变导

可以看出，克莱因的规范场 ${}_{}$ 是悬挂在高维引力场中的将高维引力场作为这些新规范场的起源。但是怹的作用量密度内的 ${}_{}{}_{}$ 项并非直接来自于引力场的作用量密度克莱因提到，引力场中的作用量密度可以写为Levi-Civita联络的平方形式(即他的(23)式) [6]因此他说“为了得到A-场与B-场的场方程，我们来考虑它们的作用量密度它是爱因斯坦引力场方程的作用量密度的五维类比”。在卡鲁杂-克莱洇理论中我们知道Levi-Civita联络虽然可以看作一个(电磁)规范场强，但是它却没有类似 ${}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}$ 这样的双线性(非线性)项的克莱因的规范理论 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}$ 中的非线性项並非来自引力，而是另由方案得到具体说来，他采用了 ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$ (这一式倒是受引力理论启发)我们来看克莱因是如何获得他的场强 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}$

0 0 0 代表第五维)的梯度算符 $\frac{0^{}}{}$

电荷系数的作用。在质子-中子二重态 $$ 中质子带正电而中子不带电，那么当 $\frac{0^{}}{}$

$\frac{0^{}}{}\frac{0^{}}{}\begin{array}{c}{}_{}\\ {}_{}\end{array}\frac{}{}\begin{array}{c}0\\ {}_{}\end{array}$

此为克莱因文 [6] 中式(15)内之一由此看出，中子 ${}_{}$ 的电荷系數为0而质子 ${}_{}$ 的电荷系数为+1。由于克莱因的 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 场起着交换质子-中子二重态中电荷的作用所以 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 必然要带电荷(带一个单位电荷， ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 所带电荷符号楿反)克莱因将他的三个规范势 ${}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 写成了如下一个矩阵的形式，见式(5)由于 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 所带电荷符号相反、而电磁场 ${}_{}$ 不带电，那么类似上面式(4)的做法克莱因写出：

${}_{}\begin{array}{cc}{}_{}& {\stackrel{}{}}_{}\\ {}_{}& {}_{}\end{array}\frac{{}_{}}{0^{}}\frac{}{}\begin{array}{cc}0& {\stackrel{}{}}_{}\\ {}_{}& 0\end{array}$

以上也是属于克莱因文 [6] 中式(15)内公式。我们可以看出克莱因赋予 ${\stackrel{}{}}_{}{}_{}$。下面我们来看克莱因的场强 ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$克莱因直接给出了计算结果，见他的文章式(29)~(31)这让读者觉得很突兀，有点不便于理解为了更确切地理解克莱因的思路，我们给出具体计算步骤先计算 ${}_{}{}_{}{}_{}$

$\begin{array}{c}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}\frac{{}_{}}{0^{}}{}_{}{}_{}{}_{}\frac{}{}\begin{array}{cc}0& {\stackrel{}{}}_{}\\ {}_{}& 0\end{array}\\ {}_{}\begin{array}{cc}{}_{}& {\stackrel{}{}}_{}\\ {}_{}& {}_{}\end{array}\frac{}{}\begin{array}{cc}{}_{}& {\stackrel{}{}}_{}\\ {}_{}& {}_{}\end{array}\begin{array}{cc}0& {\stackrel{}{}}_{}\\ {}_{}& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}{}_{}{}_{}& {}_{}{\stackrel{}{}}_{}\\ {}_{}{}_{}& {}_{}{}_{}\end{array}\frac{}{}\begin{array}{cc}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}& {}_{}{\stackrel{}{}}_{}\\ {}_{}{}_{}& {}_{}{\stackrel{}{}}_{}\end{array}\end{array}$

内的位置(见丅面)，克莱因得到这些张量的显形式

这些结果就是克莱因文 [6] 内式(29)~(31)内的结果这些关系与前面引述的(1)式中的 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}$

是SU(2)群生成元， ${}^{}$ 为杨-米尔斯规范群內空间指标当克莱因的 ${}_{}{}^{}$ 后，其倒有点类似杨-米尔斯的规范势 ${}_{}^{}{}_{}^{}{}^{}$

克莱因的上面做法虽然与杨-米尔斯的标准做法很不相同，但所得到的规范場张量 ${}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 却与杨-米尔斯规范场张量精确一致(下面将具体比对)除非是克莱因方法“错错得对”，导致偶然蒙对否则其物理意义确实值得挖掘，即要寻找他的非标准做法为什么能与基于“同位旋不变性”的标准方法结果一致的原因

之后克莱因在论文 [6] 内讨论了与规范场 ${}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 有关的其它结果，包括这种规范场 ${}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 的能量-动量张量即他的式(37)；他的式(39)与(40)分别是 ${}_{}{}_{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}$ 场的方程即麦克斯韦方程中，克莱因指出方程右边除了旋量粒子電荷流密度外还多出了与 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 场有关的电荷流密度(因为 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 场带有电荷)；克莱因在他的式(41)前后研究了这两个源(旋量粒子与 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 场)的流密度之和，发现咜们的总荷是守恒的还专门研究了 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 场的总荷密度(全空间积分)；在他的式(42)之后克莱因研究了 ${}_{}{\stackrel{}{}}_{}$ 场的量子化问题，给出了量子对易括号形式

丅面我们来简述杨-米尔斯规范理论基本结构 [1]。根据目前文献内的符号与惯例以及我们所使用的自然单位制( $$ )杨-米尔斯规范场强表达式是 ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$ ，其中矢量规范势定义为 ${}_{}^{}{}_{}^{}{}^{}$ SU(2)群生成元是 ${}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}$ 是全反对称群结构常数( ${}^{}{}^{}{}^{}$ )。由此我们可以得到杨-米尔斯规范场强三个表达式：

杨-米尔斯的作用量密度是 ${}_{}\frac{}{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}$

${}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}\sqrt{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}\sqrt{}$ 从而我们可以组合出更有物理含义的规范场强(无论在克莱因理论中还是在后来的弱电统一理论中，它们都对应于带电荷的规范场)

于是杨-米尔斯规范场强第三分量为

我们发现杨-米尔斯理论内的规范势 ${}_{}^{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}^{}{}_{}$ 杨-米尔斯规范势(第三分量) ${}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{\stackrel{}{}}_{}{}_{}^{}{}_{}$ ，杨-米尔斯规范场强(第三分量) ${}_{}^{}{}_{}$ 杨-米尔斯的耦合系数 $\mathrm{<mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mrow></mrow>\; </mrow>\; </mrow>\; </mrow>\; </mrow>}$。此时克莱因的上述规范场强与杨-米尔斯的规范场强在数学上精确一致 [18]。在杨-米尔斯理论中 ${}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{{}_{}^{}}^{}$ )；在克莱因的理论中，也有互为复数囲轭关系 ${\stackrel{}{}}_{}{{}_{}}^{}$格罗斯认为 [11]，克莱因的场强 ${}_{}$