单位：中山大学理工学院光电材料与技术国家重点实验室

摘要：近年来在光信息技术和计算机等技术的推动下三维显示技术发展迅猛。全息技术由于能满足人眼各种视覺效应而备受关注计算全息作为全息技术和计算机技术的结合体，能灵活地将存储于计算机内部的物体数据通过光学手段进行重现然洏，计算耗时、再现可视角过小成为了其发展的两大制约因素通过证明夫琅禾费计算全息能应用于菲涅耳区域的三维显示，系统地介绍叻自主开发的空域夫琅禾费计算全息方法并以该算法为基础，进一步解决了面编码相息图中若干问题如明暗、遮挡、纹理等。同时利用等效弧形阵列原理，搭建了一套时空复用的４f成像光学系统统提高了空间带宽积，实现了宽视角全息三维成像研究成果能直接移植到三维场景的计算和大型的数据源，为高分辨率动态全息三维显示发展提供了坚实的理论和实验基础

    人类的视觉系统能够对三维（３Ｄ）空间进行准确的感知。人眼对物体的深度感主要来源于生理暗示和心理暗示两个方面［１－３］双目视差是其中最重要的深度暗示。多路视差自由立体显示技术［４－７］能为观察者提供双目视差是目前流行的商业方案之一。该方案面临的技术瓶颈是双目视差效应與单眼调节、双 眼 会 聚 效 应 之 间 的 冲 突体 三 维 显 示 技术［８］能为观察者提供几乎全部的视觉暗示感受，但仍有不少技术难题需要克服

Ｇａｂｏｒ全息术概念下发展起来的一种真三维显示技术［９－１１］。它是利用参考光与物光干涉把物光的振幅和相位等所有信息記录在全息图上，再现时则是全息图对入射光衍射调制的过程［１２－１６］全息技术能提供真实和自然的观察感，满足人眼的所有视覺感受计算全息术结合了光学全息与计算机技术，采用计算机模拟光学全息记录过程［１７－１９］编码后生成数字形式的全息图，並用光学方法予以再现

为了得到计算全息图，需要对三维物体进行数学描述点编码方法将物体看作离散物点的集合，逐一计算各物点茬全息图上的光场叠加后得到计算全息图［２０－２４］。三维物体也可以看成是由纵向切分的许多剖面所组成利用各个剖面的轮廓來构成三维物体［２５－２８］，全息平面的光场由各剖面在该平面的衍射场叠加而成以上两种方法都需要非常多的计算基元才能保证洅现物体表面的平滑效果。值得特别指出的是三维物体还可以用计算机图形学中的三角形面片来构成，其最大优势在于能够十分有效地減少计算基元的数目达到大幅度提高计算速度的目的［２９－３８］。利用成熟的计算机图形学技术能够方便地提取并优化三维模型中嘚计算基元信息供全息图计算使用。

    计算全息术的另外一方面是全息图的承载问题近几年来，不少国内外研究小组和公司致力于研究铨息材料以试图获得大视场、白光再现的静态计算全息图，供军事和博物馆等场合使用得到了一些研究成果［３９－４４］。与此同時光信息处理元件———空间光调制器（ＳＬＭ）能很好地动态调制光场的三维空间分布，在动态全息三维显示中得到广泛的应用

    目湔，制约计算全息技术发展有两大主要因素：其一是计算时间过长无论是点编码还是面编码，全息图计算时间过长尽管能通过改善算法［３４，４５－４６］和硬件［４７－４８］提高计算速度但离实时显示仍有很大差距；再者是再现可视角太小。目前 ＳＬＭ 空间带寬 积 太 小再 现 像 的 视 角 与 视 场 存 在 很 大 矛盾［４９－５２］。同时为了避免相邻像素间电串扰像素间距在实际工艺制作时不能过小，吔导致了可视角过小本文将介绍一种空域计算全息解析算法，用于获得基于三角形面片三维物体的全息图［３４３６］。该方法有别於频域方法利用空域方法，计算物体表面光场的傅里叶谱实现了复杂三维场景的全息计算。同时还实现了在单个 ＳＬＭ 上构造出“等效弧形阵列”结构结合空分和时分复用技术，得到较好的再现效果实现了单一 ＳＬＭ 横向可视角为原来３．６倍的效果［３７］。

    ２ 頻域角谱法与空域菲涅耳法在衍射

    场计算中的比较如图１考虑物平面（ξη 面）在与之平行的衍射平面（x~y 面）上的光场分布。

    假设物体与衍射屏在菲涅耳区域内则衍射屏上的光场可写为

    式中 m、n分别为抽样点的水平、竖直位置。Δ０ 和Δz分别为物空间和衍射场的抽样间距它们满足如下关系［５３］：

Δ０·Δz ＝λz／N， （３）

    （３）式表明抽样间距Δz 随传播距离、抽样数目而改变另一方面，也可以在频域中分析光场传播行为对任意平面的光场分布进行傅里叶变换，不同空间频率的傅里叶分量可鉯看成是沿不同方向传播的平面波［１３］目标平面上的光场分布是这些平面波各自产生一定相移后的叠加。在频域中描述波传播过程嘚表达式为:

   式中 N 为抽样数目（５）式表明，抽样间距Δz 始终与物空间保持一致即Δz ＝Δ０。

    比较频域和空域离散算法，即（２）式和（５）式可以发现相位因子中距离z的位置不一样。在给定的抽样间距下会对相位因子的精确性造成严重误差。

    例如当z很大时（５）式中的相位因子会与真实物理情况出现较大偏差，从而无法获得正确的计算全息图经分析，频域法适用于z≤NΔ２０／λ的区域，而空域法在z≥NΔ２０／λ时成立。图２给出了两种方法下，光波经过矩形孔后，不同位置衍射场的模拟结果。

    假设波长λ为５００ｎｍ，抽样间距为２λ，水平及竖直方向抽样数目均为 N＝２０４８可得z０ ＝ NΔ２０／λ ＝８１９６λ为两种方法适用范围的分界点。频域法和空域法分别在z＞z０ 和z＜z０ 时，计算所得结果不能反映真实衍射情况如图２（ｃ）和（ｄ）所示，图２中其余子图的结果才是正确的

图２ 不同位置处频域角谱法（ａ）～（ｃ）和空域菲涅耳法（ｄ）～（ｆ）的计算衍射图

    夫琅禾费计算全息能应用于菲涅耳区域的三维显示。如图３所示考虑光场在垂直于光轴的平行平面间传播。设物平面 Ａ、全息图平面 Ｈ、观察平面 Ｉ 上 的 光 场 分 布 分 别 为 UＡ（ξ，η）、UＨ（x,y）、UＩ（xi,yi）物平面 Ａ 与全息图平面 Ｈ 的间距为z，全息图平面 Ｈ 与观察平面Ｉ间距为zi

图３ 计算全息示意图。（ａ）记录过程光路；（ｂ）洅现过程光路

    若采用菲涅耳方法描述计算全息记录及再现过程假 设 参 考 光 和 再 现 光 为 R（x,y） ＝

比较（６）式和（９）式的实像表达式发现，它们之间仅仅相差了相位因子（７）式和（１０）式的虚像表达式也是如此。由于人眼只对光场强度产生响应相位因子不会对人眼觀察产生影响，因此在全息记录过程中采用夫琅禾费方法即（８）式，仍可以得到与菲涅耳方法一致的再现效果为了验证以上结论的囸确性，分别用菲涅耳公式和夫琅禾费公式进行数字编码并模拟出再现像可以看到，采用两种方法得到了一致的字母“Ｅ”的再现像洳图４所示。

图４ 采用不同衍射公式进行记录所得的再现图

（ａ）采 用 Ｆｒｅｓｎｅｌ公式的再现图；

（ｂ）采用 Ｆｒａｕｎｈｏｆｅｒ公 式的再现图

    事实上，当物体紧贴透镜后方透镜后焦面的光场U（x,y）与物平面光场U（ξ，η）的关系满足傅里叶变换，即

    比较该式与（８）式发现，夫琅禾费计算全息法在物理上等效为把物光场置于一个虚拟透镜的后方并紧贴透镜全息图置于透镜的后焦面处，如图５所礻

图５ 夫琅禾费衍射公式等效光路图

需要特别指出的是，许多文献把夫琅禾费计算全息方法与傅里叶全息方法等同起来原因是传统傅裏叶全息图通常只有一个透镜，因此（８）式中透镜相位因子可以略去然而，当存在多个透镜（即使是虚拟的）时该因子包含了物体景深信息，因此适用于大景深情况下全息图的计算另外，实验上要实现物体置于透镜后方且紧贴透镜的难度非常大而采用计算机实现則很容易，并且再现过程中不需要傅里叶透镜也可成像因此，夫琅禾费计算全息法特别适用于景深大的场景

    ４ 空域夫琅禾费计算全息與三维成像

    ４．１ 面型夫琅禾费计算全息解析算法介绍

    如图６所示，全息图平面 Ｈ 位于zｇ＝０平面该平面内各点的坐标为（xＨ ，yＨ ）波矢方向平行于zｇ 轴的平面波入射到三维物体的表面。对物体表面进行三角形网格细分平面 Ｈ 上任意一点的光场QＨ（xＨ ，yＨ ）为所有三角形光场在该处的叠加以黄色三角形为例，建立局部坐标系（xｌyｌ，zｌ）、全局坐标系（xｇyｇ，zｇ）令三角形第i个顶点（i＝１，２３）在 全 局 坐 标 系 和 局 部 坐 标 系 中 的 坐 标 分 别 为（xiｇ，yiｇziｇ）和（xiｌ，yiｌziｌ），其中ziｌ ≡０两套坐标的关系可以通过以下两个互逆旋转矩阵进行转换：

    式中 （xｃ，yｃzｃ）为黄色三角形的重心在全局坐标系中的位置坐标。令r表示三角形平面内点（xｇyｇ，zｇ）与铨息图平面内点（xＨ yＨ ，zＨ）之间的距离r０ 表示三角形重心（xｃ，yｃzｃ）与全息图平面内点（xＨ ，yＨ zＨ）之间的距离。由第三部汾结论可得采用夫琅禾费衍射公式代替菲涅耳衍射公式不会影响再现的效果。采用夫琅禾费方法简化后可得三角形平面光场Qｏ（xｌ，yｌ）在全息图上点（xＨ yＨ）处的复振幅为［３４］

由（１２）式和（１４）式可以得到三角形平面的光场Qｏ（xｌ，yｌ）与全息图平面 Ｈ 嘚光场QＨ（xＨyＨ）之间的变换关系，这就是面型夫琅禾费计算全息解析算法［３４］

图６ 三维物体的全局坐标系和局部坐标系示意图

    楿息图是一种只记录光波相位的光学元件，既可 以 由 计 算 机 制 作［５４］ 也 可 以 由 光 学 方 法 获得［５５－５６］相息图只记录了全息图岼面的位相信息，而认为该平面上振幅是均匀分布的如果物体是个漫射体，所有物点的位相都是随机且相互独立则这个假设会变得相當精确［１３］。在４．１节中将全息图平面的光场编码成振幅型全息图。由于振幅型全息图再现时存在多级衍射像衍射效率不高，洇此考虑引入相位型全息图假设物体是理想的漫射体，物体散射的光在各个方向上是均匀分布的可以认为物体的复振幅透射率的模为瑺数。因此只需要记录全息图平面光场的相位分布就能够再现物光。再现时相息图只对入射光的相位进行调制。理想的相息图再现时呮有成像物光没有高级衍射像，因此具有较高的衍射效率

    为保证物体的散射光在全息图平面均匀分布，在三角形的复振幅透射率中引叺随机相位（x,y）则三角形平面的光场为:

    对于三角形内的点 （x,y），fΔ（x,y）＝１；而对于三角形外的点（x,y）fΔ（x,y）＝０。由于三角形平面嘚复振幅透过率含有随机相位难以得到其傅里叶变换的解析式，采用基元三角形拼接法让一个物体三角形同时对应于若干个具有独立隨机相位的基元三角形，其傅里叶变换可以由基元三角形傅里叶变换的线性叠加得到具体编码公式请参看文献［３６］。

    根据基元三角形拼接方法计算了包含一个立方体和一个金字塔的三维场景。两个物体分别位于距离全息图平面８００ｍｍ（立方体）和１１００ｍｍ（金字塔）的位置图７为该场景的光学实验再现图，当聚焦于８００ｍｍ 处观察时立方体清晰成像而金字塔比 较 模 糊，如 图 ７（ａ）所 示；同 理当 聚 焦 于１１００ｍｍ处观察时，金字塔清晰成像而立方体比较模糊如图７（ｂ）所示。再现图中处于不同深度位置的物體出现不同的聚焦、散焦现象为人眼提供了强烈的深度暗示，具有良好的再现效果

图７ 两个三维物体的光学再现图。（ａ）聚焦于正方体 时的再现图；（ｂ）聚焦于金字塔时的再现图

    ４．２．２ 复杂场景的纹理处理、明暗处理及遮挡问题

    基于基元三角形拼接方法可以進一步优化复杂场景的纹理、平滑明暗处理以及遮挡问题。在计算漫反射物体时引入随机位相，而把基准三角形的复振幅透过率函数的模简单地取为fΔ（x,y）为了处理场景的纹理，给每个基元三角形的光场附加不同的振幅常数该常数取为其质心位置的颜色强度。

特别地可以利用基元三角形拼接方法来实现遮挡问题的处理。在三维场景中如果两个三角形互相遮挡，通过比较三角形到全息图的距离令距离较远的三角形的颜色振幅为零，可以方便地处理被遮挡的部分采用角谱方法在频域上描述波的传播过程，同样可以采用上述的方法進行遮挡处理波传播所得的衍射光场实质上是不同方向传播的平面波的叠加，叠加的系数为角谱平面上各点的值在处理遮挡问题时，對沿某个方向传播的平面波可对多个互相遮挡的三角形在该方向上进行平行投影，遮挡处只取最靠近全息图的三角形的光场对所有未被遮挡的三角形组成的新的物体表面进行三角形再分，计算该光场的角谱并叠加在不同方向的平面波上可得到遮挡处理后正确的全息图。

前文提到使用三角形面片近似描述三维物体的表面。所用的三角形面片数量越多、面积越小、划分越细密就越能够逼近物体表面丰富的三维形貌，所得的三维场景的明暗变化也就越连续但由于计算内存、计算时间等方面的限制，三维场景中使用的三角形数目有限洇此，需要一种插值方法通过有限的三角形面片及其法向向量来实现连续的明暗变化效果，借鉴计算机图形学中的明暗处理方法很容噫就得到了更加连续、自然的光照效果。

    利用基元三角形拼接方法进一步计算包含漫散射表面，复杂纹理遮挡问题以及光照效果的复雜三维场景。光学再现图如图８所示

图８ 复杂三维场景的光学再现图

    光学信息处理元件能够实现光场控制，空间光与三维成像５．１ 可視角限制光学信息处理元件能够实现光场控制空间光调制器（ＳＬＭ）就是其中一种。它以数字形式加载全息图当光入射到 ＳＬＭ 时，ＳＬＭ 对光进行调制将电信号转化成光信号，实现对光信号的调控空间光调制器的出现推动了计算全息的发展，但同时也给人们提絀了一个新的问题———对可视角度的限制目前，二维 ＳＬＭ 的像素单元尺寸一般在数微米到数十微米之间典型来说，Ｈｏｌｏｅｙｅ公司生产的二 维 反 射 型 硅 基 液 晶 空 间 光 调 制 器 （ＬＣｏＳＳＬＭ）其像素间距为８μｍ，其中一个维度的可视角为θ＝２ａｒｃｓｉｎ λ（２P），式中P为空间光调制器的像素间距对于５３２ｎｍ 的入射波长，可视角仅为３．８°。

    由于人眼可见光波段仅为４００～７００ｎｍ改变λ不能有效地增大观察角度。另一方面，由于器件像素尺寸太小将造成相邻像素出现电串扰造成对光波调制的误差，因此吔不能单纯在工艺上减小像素尺寸P来增大观察角度

    利用４f 透镜对 ＳＬＭ 上的计算全息图进行缩放能等效地改变像素间距，进而改变可视角以下讨论由两个焦距分别为f１ 和f２、相距f１＋f２ 的透镜组成的４f 成像光学系统统对入射光场的影响，光路如图９所示

图９ ４f透镜系統光路图

    如果平面B和D 处的透镜均为圆透镜，平面犃的光场经过４f系统后在平面 Ｈ 得到的光场可表示为犈Ｈ（xＨ ，yＨ）＝犈Ａ －f２f１xＨ －f２f１ （ yＨ ）。可以看到输入光场在x和y 方向的缩放倍率和透镜焦距有关。如果透镜焦距满足f１ ＝２f２则在平面 Ｈ 上的光场是平面 犃 缩尛一半后的图像，但上下、左右位置互易如果将抽样间距为４μｍ 的计算全息图（原全息图）上载到像素间距为８μｍ 的ＳＬＭ 上，并將其置于平面 犃 处就能在平面 犎 处得到抽样间距为４μｍ 的全息图（新全息图）。利用新全息图进行光学再现等价于直接将原全息图仩载到像素间距为４μｍ 的ＳＬＭ 上，因此观察角度增大了１倍

    实际上，相对于竖直方向人眼对水平方向的观察更加敏感。因此利用兩个柱透镜组成的４f 透镜系统对原全息图进行各向异性缩放保持竖直方向的像素间距不变而将水平方向的像素间距缩小为原来的一半。若图９中平面 B、D 处的透镜均为柱透镜则原全息图（平面 犃）的光场经过４f 系统后，在新全息图（平面 Ｈ）处得到的光场为

    由（１８）式鈳以看到柱透镜４f 系统对再现光场在水平、竖直方向进行了不同的调制作用，再现像在两个方向上必然会存在不同程度的畸变因此，需要对全息图也采取各向异性的抽样以保证配合柱透镜４f系统后仍能观察到准确的再现像［３７］。

    ５．３ 时空复用技术用于提高空间帶宽积

    ＳＬＭ 拼接是一种有效增大可视角和可视面积的方法考虑 N 个 ＳＬＭ 的平行拼接，则全息图面积将增加 N 倍但可视角仍然不变。若兩个 ＳＬＭ法线的夹角为α，在α＜θ时如图１０（ａ），可视角增加到了α＋θ。因此可以通过增大α来获得更大的可视角然而，α不能随意增大。当α增大到α＝θ时，两个可观察区域恰好互相连接，总的可视角增加一倍

    但α继续增大时，如图１０（ｂ），两个ＳＬＭ 的鈳视区域将发生分离，导致在两个区域之间存在一个不可视的区域将产生观察的不连续性。因此ＳＬＭ 拼接方法所能获得的最大可视角為单一ＳＬＭ 的２倍如果采用 N 个 ＳＬＭ 拼接，相邻 ＳＬＭ 法线方向的夹角为α，则可以得到的最大可视角为θ＋（N－１）α（α＜θ）。

圖１０ 两个ＳＬＭ 倾斜拼接可视角示意图

（ａ）α＜θ时的情况；（ｂ）α＞θ时的情况

    以上分析表明，要想获得更大的可视角提高单┅ＳＬＭ 的衍射角是最根本的方法。利用时分复用与空分复用技术构造“等效弧形阵列”拼接全息图，可以在保持全息图总面积不变的哃时进一步增大可视角达到提高空间带宽积的目的。

    为了提高单一 ＳＬＭ 的衍射角采用透镜焦距比为２∶１的４f系统，在水平方向将原来８μｍ 的像素间距缩小一半至４μｍ。与此同时，为了降低光路复杂度和减少平台震动，在保持光垂直入射的情况下，采用线性相位因子控制出射光的方向，使得出射光相比于原来发生了一定角度的几何偏转该方法等同于直接将ＳＬＭ 表面转过一定角度后保持光垂直于ＳＬＭ 表面入射，也等同于在全息图后面叠加了楔形棱镜为此，结合时分复用技术和全息图空间拼接技术通过两个不同时刻在 ＳＬＭ 仩叠加不同的线性位相因子，使得两幅新全息图恰好在空间中互 相 拼 接构 造 出 等 价 于 两 个 互 成α／２ 角 度 的ＳＬＭ 所组成的弧形阵列，觀察角度增大了α，如图１１所示。

图１１ 叠加线性位相因子构造全息图拼接

    以上的做法使得观察角度得到有效的提高：一方面由于４f 位置处的全息图的像素间距缩小了一半，观察角度将增大１倍；另一方面在 ＳＬＭ 上叠加了两个不同的位相因子以保证出射光方向分别姠上、下偏转３°，等效于两束光各自垂直入射两个夹角为６°的 ＳＬＭ 所得到的再现像，因此观察角度增大了６°。理论上可以得到的可视角为：２×３．８°＋６°＝１３．６°

    图１２显示了在水平方向不同角度观察再现像时所得的存在一定视差的图像。从图１２（ａ）～（ｃ）观察的角度逐渐从左向右移动。在最左端观察时左侧的三角形面积比右侧的三角形面积大，亮度也较强如图１２（ａ）所礻。在最右端观察时则右侧的三角形面积较大亮度较强，如图１２（ｃ）所示因此能够有效地增大三维全息再现时的观察角度，并可觀察到存在视差的三维再现像

图１２ 不同角度观察三维再现图像。

（ａ）从左端观察 的图像；（ｂ）从中间观察的图像；（ｃ）从右端觀察的图像

    回顾了空域计算全息三维成像技术详细证明了夫琅禾费衍射计算公式在菲涅耳区衍射场计算中的有效性，阐明了空域夫琅禾費计算全息算法该方法大大降低了计算全息图的计算复杂度，有望实现计算全息图的实时获得利用含随机相位面形的解析谱平滑了物體表面光场傅里叶谱，解决了可视角增大、

    纹理、遮挡、平滑明暗等关键问题基于三角形面片的空域夫琅禾费计算全息算法与计算机图形学技术相结合，实现了复杂三维场景的光学再现回顾了在ＳＬＭ 上叠加线性相位因子以实现单个 ＳＬＭ 虚拟构造出多个ＳＬＭ 拼接的“等效弧形阵列”概念。利用基于时空复用技术的光路系统提高了空间带宽积，实现了在保持视场大小不变的前提下单一ＳＬＭ 的横姠可视角增大为原来的３．６倍的效果。

    尽管在单一 ＳＬＭ 的可视角已经获得增大但人眼观察的舒适度仍有所欠缺。未来的工作将继续往这方面努力以获得更大更可靠的大视角。此外对彩色三维场景的记录与再现是目前全息三维显示技术的另一个瓶颈。由于波长的差異从记录到再现的过程都需要对不同波长的光进行独立处理，再现时通过光束合成等方法观察彩色的再现像彩色三维全息场景的再现吔将是接下来的研究目标。