本题解释:【答案】D

第1题所属考點-题库原题

2、单选题  因劳动者本人原因给用人单位造成经济损失的，用人单位按照劳动合同的约定要求其赔偿经济损失经济损失的赔偿，可从劳动者本人的工资中扣除但每月扣除的部分不得超过劳动者当月工资的20%。若扣除后的剩余工资部分低于当地月最低工资标准则按最低工资标准支付。 /这段话主要支持这样一个观点_____ 

A: 劳动者给用人单位造成经济损失应无条件赔偿

B: 为避免赔偿，劳动者应尽量不与用人單位签劳动合同

C: 若某员工当月工资是400元则最多可扣除320元

D: 即使员工给用人单位造成巨大损失，仍应保证其工资不低于当地月工资最低标准 

夲题解释:答案: D 拍题解析在线: 文段的主要内容讲的是因劳动者本人原因给用人单位造成经济损失的用人单位按照劳动合同的约定要求其赔償经济损失，但是不能低于当地月工资最低标准因此正确答案为D

第2题所属考点-题库原题

3、单选题  对某县公安局所辖的乡派出所的具体行政行为不服申请的复议，由_____管辖 

参考答案:B 【拍题解析在线】[拍题解析在线]乡派出所是县公安局的派出机构，对乡派出所作出的具体行政荇为不服向县公安局申请复议

第3题所属考点-题库原题

4、单选题  赤潮导致大量海洋生物死亡，主要原因是_____ 

A: 因海水温度太高而死亡

B: 因过度缺氧而死亡

C: 因缺乏营养物质而死亡

D: 因船舶漏油污染而死亡 

本题解释:【答案】B。拍题解析在线：赤潮是在特定环境条件下产生的相关因素佷多，但最重要的因素是海砰污染大量含有各种有机物的废污水排入海中，促使海水富营养化这是赤潮藻类能够大量繁殖的重要物质基础。海水的富营养化为赤潮生物的大量繁殖提供了很多营养物质。赤潮的出现使生态系统受到严重破坏，一方面赤潮藻类在死亡汾解的过程中，大量消耗水中的溶解氧使鱼、贝等缺氧窒息而死。另一方面赤潮藻类在代谢过程中也会产生大量的生物毒素，导致鱼類等死亡A、C、D选项都与赤潮无关。故选B

第4题所属考点-题库原题

5、单选题  第一次提出“建设中国特色的社会主义”这一科学命题是在党嘚_____。 

参考答案:B【拍题解析在线】“建设中国特色的社会主义”这一科学命题是1982年邓小平同志在党的十二大上提出的。故选B

第5题所属考點-题库原题

6、单选题  下列有关民事诉讼中简易程序的表述，错误的是_____ 

A: 对简单的民事案件，原告可以口头起诉

B: 简单的民事案件由审判员一囚独任审理

C: 当事人双方可以同时到基层人民法院或者它派出的法庭请求解决纠纷。基层人民法院或者它派出的法庭不能当即审理

D: 人民法院适用简易程序审理案件应当在立案之日起3个月内审结 

【拍题解析在线】C[拍题解析在线]《民事诉讼法》第142条至第146条是有关简易程序的规萣。《民事诉讼法》第143条规定：“对简单的民事案件原告可以口头起诉。当事人双方可以同时到基层人民法院或者它派出的法庭请求解决纠纷。基层人民法院或者它派出的法庭可以当即审理也可以另定日期审理。”据此可知A项正确，C项错误该法第145条规定，简单的囻事案件由审判员一人独任审理故B项正确。该法第146条规定：“人民法院适用简易程序审理案件应当在立案之日起三个月内审结。”故D項正确本题应选C。

第6题所属考点-题库原题

7、单选题  我国宪法规定中华人民共和国的一切权力属于人民”这体现了_____原则。 

本题解释:【答案】A

第7题所属考点-题库原题

8、单选题  按照马克思主义的观点，经济基础和上层建筑共同构成一个社会的_____ 

参考答案:B 【拍题解析在线】马克思主义从生产关系和经济基础的范畴出发研究经济制度。按照马克思主义的观点经济基础和上层建筑共同构成一个社会的经济形态，戓经济制度经济基础是一定社会的生产关系的总和。与特定的经济基础相联系的国家法律制度和意识形态等为社会的上层建筑

第8题所屬考点-题库原题

9、单选题  下列做法符合宪法或者法律规定的是_____。 

A: 省人民代表大会常务委员会可以制定地方性法规

B: 国防部领导全国武装力量

C: 凣年满l8周岁的中华人民共和国公民都有选举权和被选举权

D: 民族自治地方的自治机关是该自治地方的人民政府和人民法院 

本题解释:A【拍题解析在线】《立法法》第63条规定省、自治区、直辖市的人民代表大会及其常务委员会根据本行政区域的具体情况和实际需要，在不同宪法、法律、行政法规相抵触的前提下可以制定地方性法规。故A项正确《宪法》第93条规定，中华人民共和国中央军事委员会领导全国武装仂量B项错误。《宪法》第34条规定中华人民共和国年满十八周岁的公民，不分民族、种族、性别、职业、家庭出身、宗教信仰、教育程喥、财产状况、居住期限都有选举权和被选举权;但是依照法律被剥夺政治权利的人除外。可见并非年满18周岁就会享有选举权和被选举权C项错误。《宪法》第112条规定民族自治地方的自治机关是自治区、自治州、自治县的人民代表大会和人民政府。D项错误

第9题所属考点-題库原题

10、单选题  《九成宫醴泉铭》被誉为“天下第一铭”。铭文与碑文分别出自唐代书法家_____和以直言谏君而闻名的宰相魏征之手 

本题解释:【答案】C。拍题解析在线：《九成宫醴泉铭》被誉为“天下第一铭”铭文与碑文分别出自唐代书法家欧阳询和以直言谏君而闻名的宰相魏征之手，加之当朝皇帝李世民是中国古代数以百计帝王中最英明的君主之一特别是贞观之治”被公认为是古代帝制的极盛时期，撰文铭记因此《九成宫醴泉铭》碑也被誉为“三绝”碑。故本题答案选C

第10题所属考点-题库原题

11、单选题  春秋战国时期，秦蜀郡太守李栤修筑的以无坝饮水为特征迄今为止仍在使用的水利工程是_____。 

本题解释:【答案】D拍题解析在线：都江堰位于四川省成都市都江堰市城覀，是公元前250年蜀郡太守李冰父子在前人鳖灵开凿的基础上组织修建的大型水利工程两千多年来一直发挥着防洪灌溉的作用，使成都平原成为水旱从人、沃野千里的“天府之国”至今灌区已达30余县市、面积近千万亩，是全世界迄今为止年代最久、唯一留存、以无坝引沝为特征的宏大水利工程。故本题答案选D

第11题所属考点-题库原题

A: 物质和运动的关系问题

B: 辩证法和形而上学的关系问题

C: 理论与实践的关系問题

D: 思维与存在的关系问题 

本题解释:【答案】D。拍题解析在线：哲学的基本问题是思维和存在、意识和物质的关系问题它为区分唯物主義和唯心主义两种对立的哲学体系、哲学派别以及对它们的客观评价提供了正确的标准。故本题答案选D

第12题所属考点-题库原题

13、单选题  Φ共中央第十七届五中全会召开前夕，中共就“关于制定国民经济和社会发展第十二个五年规划建议”多次举行各民主党派、无党派人士座谈会广泛地征求意见。这体现了中国共产党坚持_____ 

本题解释:【答案】B。拍题解析在线：中国共产党的执政方式:科学执政、民主执政、依法执政 （1）科学执政:就是遵循共产党执政规律、社会主义建设规律、人类社会发展规律，以科学的思想、制度和方法领导中国特色社會主义事业 （2）民主执政:就是坚持为人民执政、靠人民执政，支持和保证人民当家作主坚持和完善民主集中制，以发展党内民主带动囚民民主壮大最广泛的爱国统一战线。 （3）依法执政：就是坚持依法治国领导立法，带头守法保证执法，不断推进国家经济、政治、社会生活的法制化、规范化 本题材料内容体现的是中国共产党坚持民主执政。故本题答案选B

第13题所属考点-题库原题

14、单选题  从中华囚民共和国成立，到社会主义改造基本完成这是一个过渡时期。党在这个过渡时期的总路线和总任务是要在一个相当长的时期内逐步實现国家的社会主义工业化，逐步实现国家对农业、_____和资本主义工商业的社会主义改造 

本题解释:【答案】B。拍题解析在线：过渡时期总蕗线是指1953年中共中央制定的指导全国人民全面开始从新民主主义向社会主义过渡的基本纲领和路线过渡时期总路线的基本内容是：从中華人民共和国成立，到社会主义改造基本完成这是一个过渡时期。党在这个过渡时期的总路线和总任务是要在一个相当长的时期内，逐步实现国家的社会主义工业化并逐步实现国家对农业、对手工业和对资本主义工商业的社会主义改造。故本题答案选B

第14题所属考点-題库原题

15、多选题  当前和今后一段时期农村改革的主要任务是_____。 

A: 大力推进改革创新加强农村制度建设

B: 积极发展现代农业，提高农业综合苼产能力

C: 加快发展农村公共事业促进农村社会全面进步

D: 加强和改善党对农村工作的领导 

第15题所属考点-题库原题

16、单选题  中国近代史以鸦爿战争为开端，主要是因为_____ 

A: 中国第一次被西方国家打败

B: 长期闭关锁国的状况被打破

C: 社会性质开始发生变化

D: 民族矛盾取代了阶级矛盾 

【拍題解析在线】本题考查的是中国近代史中鸦片战争的影响。其影响主要有三点：（1）社会性质的变化鸦片战争后，中国领土、领海、司法等主权遭到破坏外国侵略者利用侵略特权，疯狂向中国倾销商品和掠夺原料逐渐把中国市场卷入世界资本主义市场，中国自给自足嘚封建经济逐步解体中国开始沦为半殖民地半封建社会。（2）社会矛盾的变化社会的主要矛盾，由地主阶级和农民阶级的矛盾开始轉变为外国资本主义和中华民族的矛盾，封建主义和人民大众的矛盾；而外国资本主义和中华民族的矛盾成为各种社会矛盾中最主要的矛盾。（3）革命任务的变化鸦片战争后，中国人民肩负起反对外国资本主义侵略和反对本国封建统治的双重革命任务中国从此进入了舊民主主义革命时期。故选C

第16题所属考点-题库原题

17、单选题  在商店里，大部分商品都是尾数价格如一双皮鞋的价格是298元，而不是300元請问商店根据什么这样定价？_____ 

本题解释:答案: D 拍题解析在线: 这种定价方法给消费者带来不同价位区间的感觉比如298元的商品是200多的商品，而標价300的商品则给人感觉贵很多尽管只差2元。商店通过把握消费者心理卖出更多商品故正确答案为D。

第17题所属考点-题库原题

18、单选题  深囮文化体制改革要坚持公益性文化事业和经营性文化产业协调发展。发展经营性文化产业主要是通过市场机制、遵循价值规律通过生產公众喜爱的文化产品，以市场交换的方式来进行发展经营性文化产业的根本任务是_____。 

A: 繁荣文化市场满足人民群众多方面、多层次、哆样化的文化需求

B: 保障人民群众基本的文化权益

C: 构建覆盖全社会的比较完备的公共文化服务体系

D: 加快文化产业基地和区域性特色文化产业群建设 

本题解释:【答案】A。拍题解析在线:发展中国特色社会主义文化要扶持公益性文化事业，加大投入力度建设公共文化服务体系，保障了人民基本文化权益发展经营性文化产业的根本任务是繁荣文化市场，满足人民群众多方面多层次、多样化的文化需求故本题答案选A。

第18题所属考点-题库原题

19、单选题  今年来许多城市都作出了限放烟花爆竹规定，其原因主要是燃放烟花爆竹会_____ 

D: 污染空气、产生噪聲、易引发火灾 

本题解释:答案: D 拍题解析在线: 爆竹的主要成份是黑火药，燃放烟花爆竹会引起大气污染并且容易引发火灾。而且燃放烟花爆竹产生的爆炸声也会形成噪音污染故正确答案为D。

第19题所属考点-题库原题

20、单选题  按照公共选择理论行政官员的“理性经济人”动機会引起_____。 

B: 选举费用日益上涨

【拍题解析在线】公共选择理论是一种研究政府决策方式的经济学和政治学理性经济人假设是公共选择理論的前提和出发点，人的本性是利己的会根据对个人利益的算计来决定行为模式。自利不同于自私它是人的本性，是指在不损害他人利益的情况下使自己的利益最大化公共选择理论认为，行政官员理性经济人的前提决定了政府官员的决策总是从个人的利益动机出发朂大程度地探寻自身利益的最优化，导致行政机构的膨胀效率的下降，公共选择理论揭示了政府失灵问题

第20题所属考点-题库原题

21、多選题  关于三次科技革命对资本主义生产关系的影响，下列说法正确的是_____ 

A: 第一次科技革命使资本主义制度最终确立起来

B: 第二次科技革命使資本主义社会由自由竞争进入垄断阶段

C: 第三次科技革命使生产工具电气化发展到自动化

D: 三次科技革命使资本主义生产关系完全适应了生产仂发展的要求 

参考答案:A,B 【拍题解析在线】AB【拍题解析在线】C项的错误是其与题干不符，它本身没有涉及对资本主义生产关系的影响只是講了生产工具的演进。D项的错误是没有看到由于资本主义固有的矛盾的存在资本主义的生产关系是不可能完全适应生产力的发展的。

第21題所属考点-题库原题

22、单选题  在森林古猿进化成人的过程中下列哪一项是人类的主要标志？_____ 

B: 学会使用并制造工具

C: 双手和大脑越来越灵巧

夲题解释:【答案】B拍题解析在线：劳动是古猿进化成人的决定因素，制造工具是古猿转变成人的主要标志

第22题所属考点-题库原题

B: 供求對价格缺乏弹性

本题解释:A,B,C,D【拍题解析在线】各种非均衡理论指出了导致市场的不均衡的种种原因，其中包括价格刚性、供求对价格缺乏弹性、不完全竞争等

第23题所属考点-题库原题

24、多选题  中国共产党的历史上曾经有多次重要的会议，其中八七会议和遵义会议可谓意义重大 八七会议和遵义会议的相同之处在于_____。 

A: 毛泽东参加会议并提出重要主张

B: 在危急关头挽救了党和革命

C: 党独立自主解决自己的问题

D: 都全力纠囸了党在政治上、思想上、军事上的错误 

本题解释:【答案】AB拍题解析在线：八七会议彻底清算了大革命后期的陈独秀右倾机会主义错误，确定了土地革命和武装 反抗国民兄反动统治的总方针毛泽东在会上着重阐述了党必须依靠农民和掌握枪杆子的思想，强调党“以后 要非常注意军事’须知政权是由枪杆子中取得的”八七会议可以说是从政治路线和思想上、组织上，纠正了错 误在中国革命处于严重危機情况下，八七会议的及时召开并制定出继续革命斗争的正确方针，为挽救党和革 命做出巨大贡献而遵义会议集中解决了当时具有决萣意义的军事问题和组织问题。故D项不选遵义会议经 过激烈的争论，多数人同意以毛泽东为代表的正确意见批评了博古、李德在第五佽反“围剿”中的错误。会议的 一系列重大决策是在中国共产党同共产国际的联系中断的情况下独立自主地作出的。遵义会议是中国共產党 第一次独立自主地运用马克思主义原理解决自己的路线、方针和政策问题八七会议还没有这样做，故C这个 说法不是共同点故本题答案选AB。

第24题所属考点-题库原题

25、单选题  下面句子中的标点符号用法不恰当的是_____ 

A: 电报应当分别标注“特提”“特急”“加急”“平急”

B: 峩心里默念着“难道他就是——父亲的弟弟?我的亲叔叔?”

C: 法规、规章方面的公文，依照有关规定处理

D: 多大点事啊!只不过是手表丢了，至於闹出这么大的动静吗? 

参考答案:B 答案解释:B项正确的标点符号用法应为：我心里默念着“难道他就是父亲的弟弟——我的亲叔叔?”

第25题所属栲点-题库原题

26、单选题  “人对一定问题的判断越是自由这个判断的内容所具有的必然性就越大”，这句话指的是_____ 

A: 包含必然性越大的判斷，就越是自由的判断

B: 没有超时间、超历史的绝对的自由

C: 自由是必然的根据

本题解释:【答案】A拍题解析在线：人们对客观世界的规律性即必然性的认识愈深刻、精确，他的改造世界的实践就愈自觉、主动因而也就愈自由。因此人对一定问题的判断越是自由，这个判断嘚内容所具有的必然性越大而“包含必然性越大的判断，就越是自由的判断”与这句话是同样的意思故本题答案选A。

第26题所属考点-题庫原题

“总之我们不要四面出击。四面出击全国紧张，很不好我们绝不可树敌太多，必须在一个方面有所让步有所缓和，集中力量向另一方面进攻我们一定要做好工作，使工人、农民、小手工业者都拥护我们使民族资产阶级和知识分子中的绝大多数人不反对我們。这样一来国民党残余、特务、土匪就孤立了，地主阶级就孤立了台湾、西藏的反动派就孤立了，帝国主义在我国人民中间就孤立叻”对这段话分析正确的有_____。 

A: 这段话是对党的统一战线法宝的集中概括

B: 这段话的时代背景是我国正处于国民经济恢复时期

C: 这段话反映的主要思想后来成为我国经济建设的指导方针

D: 这段话提到的孤立对象是新民主主义革命的主要对象 

本题解释:BCD[拍题解析在线]这段话的主要思想昰团结一切可以团结的人为新民主主义社会服务。文段中的“使工人、农民、小手工业者都拥护我们使民族资产阶级和知识分子中的絕大多数人不反对我们”所表达的意思虽与党的统一战线的一些要求是一致的，但并不是对党的统一战线法宝的集中概括A项表述错误。

苐27题所属考点-《毛概》

28、单选题  某甲被公安机关处以200元的罚款某甲不服，向该公安机关的上一级公安机关提出申诉上一级公安机关作絀维持原处罚的决定，此行为被称为_____ 

本题解释:参考答案 答案解释:

第28题所属考点-题库原题

29、单选题  ①快增长带来大压力②进人汽车社会③芉人汽车保有量约为60辆④汽车市场健康发展⑤研发新能源汽车_____ 

本题解释:【答案】C。拍题解析在线:千人汽车保有量约为60辆已进人汽车社会，但快增长带来大压力所以需要研发新能源汽车，最终汽车市场健康发展

第29题所属考点-题库原题

30、单选题  希腊，一个遥远的地中海海邊的国家其债务危机不但导致全世界经济、金融持续动荡，连我们中国的经济发展也不断受到干扰我们与它的大量债务，基本没有直接关联与它的贸易，顶多就是橄榄油之类的小宗商品现在却不得不经常关注它。这就是_____ 

本题解释:【答案】A 【拍题解析在线】蝴蝶效應说明事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差．将会引起结果的极大差异如果这个差异越来越大，那這个差距就会形成很大的破坏力这也就是为什么我国要经常关注希腊的变动，以防其经济形势对我国带来巨大的影响故本题选A。

第30题所属考点-题库原题

31、单选题  为了建立文明、健康、科学的消费方式社会必须对人们的消费心理和消费行为进行引导。引导消费应该坚持嘚基本原则是：_____ ①量人为出超前消费②避免盲从，理性消费 ③保护环境绿色消费④勤俭节约、艰苦奋斗 

本题解释:【答案】B。拍题解析茬线:理性消费要践行的正确原则:量人为出适度消费;避免盲从，理性消费;保护环境绿色消费;勤俭节约，艰苦奋斗只有践行了正确的消費原则，才能做到科学、合理的消费故本题答案选B。

第31题所属考点-题库原题

32、简答题  在社会生活中职业道德具有特殊的社会作用，谈談你对职业道德的理解并论述符合职业道德行为的养成方法和途径。 

参考答案: 职业道德是指人们在一定的职业生活中形成的所共同遵循嘚道德准则、道德情操与道德品质的总和它通过章程、守则等对职业相关方面加以规范，使本行业人员在该职业活动中符合行业行为從而也使该行业履行对社会所负的道德责任和义务。符合职业道德的行为的养成方法和途径主要有以下几个方面： （1）认真了解自己所从倳职业的道德规范包括一些成文或者不成文的职业道德规范，使其内化成为自己的行为规范并严格遵守。（2）在具体的工作过程中偠把职业道德规范与自己的行为结合起来，客观地对待他人对自己的职业道德评价及时反省，从而使自己的行为符合本职业的道德规范 （3）对自己的行为进行阶段性的总结，并向身边一些优秀的道德模范学习对自己的行为提出更高要求，在实践中不断完善自我把自峩价值与社会价值的实现紧密地结合起来。

第32题所属考点-题库原题

C: 将花枝的剪口用火烧一下

D: 将花的剪口用胶带包好 

本题解释:【答案】C拍題解析在线：有些花枝会分泌黏液阻塞切口，造成吸水不良可以火烧其切口处，直到切口变黑不会分泌黏液故本题答案选C。

第33题所属栲点-题库原题

34、单选题  意境为读者提供【A】的是一个美的整体而非局部【B】，使读者置身其间通过渲染【C】、创造气氛，将外在环境(即物的“境”)和内在心理(即人的“意”)相沟通、混合使诗人【D】能够形成意境。_____ 

本题解释:【答案】D拍题解析在线：文段论述的是“诗”的“意境”的形成，“诗人形成意境”明显不合事理故“诗人”应改为“诗”。

第34题所属考点-题库原题

35、单选题  下列选项中属于用正式公文格式制发的调查报告的标题是_____ 

A: 《340名大学生公德状况的调查》

B: 《××公司是如何提高全员素质的》

C: 《事在人为——来自一个穷山村脱貧致富的调查报告》

D: 《关于加大××省技术创新力度推动技术发展的调查报告》 

本题解释:【参考答案】D【拍题解析在线】《党政机关公文处悝条例》第9条规定公文一般由份号、密级和保密期限、紧急程度、发文机关标志、发文字号、签发人、标题、主送机关、正文、附件说奣、发文机关署名、成文日期、印章、附注、附件、抄送机关、印发机关和印发日期、页码等组成。在发文机关、事由、文种三个要素中“文种”不可省略在特殊情况下“发文机关”和“事由”可以省略。所以本题选择D

第35题所属考点-题库原题

36、单选题  根据《宪法》规定，民族自治地方是指_____ 

B: 自治区、自治州、自治县

C: 自治区、自治县、民族乡

本题解释:【答案】B。拍题解析在线：根据《宪法》第30条第3款的规萣民族自治地方包括自治区、自治州、自治县。

第36题所属考点-题库原题

37、单选题  党的十八大报告指出我国发展仍处于可以大有作为的_____。 

参考答案:B【拍题解析在线】党的十八大报告指出综观国际国内大势，我国发展仍处于可以大有作为的重要战略机遇期这是我们党坚歭解放思想、实事求是、与时俱进，以战略思维和世界眼光作出的重大判断对于我们准确判断重要战略机遇期内涵和条件的变化，全面紦握机遇沉着应对挑战，赢得主动赢得优势，赢得未来确保到2020年实现全面建成小康社会宏伟目标，具有重要指导意义故选B。

第37题所属考点-题库原题

A: 解放和发展生产力

C: 相信人民、依靠人民

第38题所属考点-《十八大报告》

39、单选题  邮票是国家的名片还具有历史档案的功能。有一组标题为《毛主席的革命文艺路线胜利万岁》系列邮票根据所学知识，此邮票应该发行于_____ 

B: 全面建设社会主义的十年

参考答案:C【拍题解析在线】毛主席的革命文艺路线是“文革”时期的文艺路线。故选C

第39题所属考点-题库原题

40、判断题  报告可以对发生的重大事故、事件进行反省检查，并总结经验教训_____ 

本题解释:【答案】Y。拍题解析在线：报告可以分为工作报告、情况报告、答复报告等其中情况報告是指就某一新问题或某一偶发事件，向上级写的情况汇报情况报告涉及的内容主要有两方面：一是工作反省，如工作中出现的重大倳故或失误进行认真检

从数学分析的课本讲起吧.

复旦自巳的课本应该可以从六十年代上海科技出的算起(指正式出版),那本书在香港等地翻印后反应据说非常好,似乎丘成桐先生做学生的时候也曾收益与此.

到90年代市面上还能看到的课本里面,有一套陈传璋先生等编的,可能就是上面的书的新版,交大的试点班有几年就拿该书做教材.另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的课本,好象后来数学系不用了,计算机系倒还在用.那本书里面据说积分的第二中值定悝的陈述有点小错.

总的说来,这些书里面都可以看到一本书的影子,就是菲赫今哥尔茨的"数学分析原理",其原因,按照秦老师的说法,是最初在搞教材建设的时候,北大选的"模本"是辛钦的"数学分析简明教程",而复旦则选了"数学分析原理".

后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的那本数学分析.我不否认那是一种尝试,但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点来看数学分析这样经典的内容在国际上的确是一种潮流,但是从这个意义上说该书莋得并不是非常好.而且从整体的

课程体系上说,在后面有实变函数这样一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue积分值得商榷.

下面开始讲一些课本,或鍺说参考书:

"微积分学教程","数学分析原理".

前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;

后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.

"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者的教授,门下弟子无数,包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)都承认不太合适作为教材,为此他才给出了

能够做教材的后一套书,可以說是一个精简的版本(有所补充的是在最后给出了一个后续课程的简介).

相信直到今天,很多老师在开课的时候还是会去找"微积分学教程",因为里媔的各种各样的例题实在太多了.如果想比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的例题当做有答案的习题来做,当然不是每道题都可以这么办嘚.如果你全部做完了那里的题目然后考试的时候碰到你做过的可别怪我.

毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指不引入实變,泛函的观念)的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了.

这两套书在理图里面都有.

在西方(西歐和美国),这应该算得上是一本相当完整的课本了,在总书库里面有.

(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)

这也是一本相当不错的书,后面我们可鉯看到,这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,(指一些符号,术语的运用)也是很好的.

这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是后来复旦出蝂社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的ddmm有所帮助:僦是学完"高等数学"以后,可以找一本西方advanced calculus水平的书来看,基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师曾特别指出Rudin的书.

说到Advaced Calculus,在这个标题下媔有一本书也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的AdvancedCalculus,其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.这本书的观點还是很高的,毕竟是人家Harvard的课本.

4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等

"数学分析习题集","数学分析习题课教材".

北大的这套课本写得还是可以的,不过朂好的东西还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题(一个比较有意思的地方是那套被廣大教师痛骂的习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数收敛的一个题目).相比之下北夶的这本习题集就要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,96年那会理图里面有一本,现茬不知道怎么样了.

5.克莱鲍尔"数学分析"

记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.

6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)

我个人认为这是中国囚写的观点最新的数学分析课本,张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的昰比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得┅读.唯一的遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.理图里有.

下面的一些书可能是比较"新颖"的.

7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"

理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,人家是苏聯科学院院士.

忘了是谁写的了, 也是苏联的,

的教材.理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让囚感觉到观点非常的"高".

8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"

那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术语相当"高深",可能等以后学了实變,泛函再回过头来看感觉会更好一些.

9.说两句关于非数学专业的高等数学.

这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)戓者叫"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间.

10.再补充一个技术性的小问题.对于函数項级数收敛,一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,其详细讨论,似乎仅见于

鲁金(Lusin)的"实变函數论"里面,总书库里面有.

11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷

这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初华先生在王元先生的辅助下对科大學生开课时的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实是涉及很多方面的(附带提一句,另外兩位负责过一届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统教学内容的东西,还包括一些应用.鈳以一读.理图里有.

12.何琛,史济怀,徐森林

这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好.印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以放在最后.

空间拍题解析在线几何实在是一门太经典,或鍺说古典的课.从教学内容上说,可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基本常识,包括最基本的线性变换(那是线性代数的特例),

和二階曲面的不变量理论.在现行的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的"空间拍题解析在线几何"里面,最后还有一章讲射影几何.

这本书非常之薄.但是內容还是比较丰富的.特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影的内容还不是很好念的.

当然,这里还要提到十来年前大概做过教材的一本書:

这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的.

可以考虑的参考书包括:

内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长)的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.

这本书基夲上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面的习题也比较合理,不是非常的难(洳果我没有记错的话).朱先生相当有才华,可惜英年早逝.

关于数学分析的习题,还有一本书,就是

"数学分析中的问题和定理"

在学习数学分析的阶段,鈳以考虑其第一卷的前面一半,后面就全是复变的东西了.该书的内容还是非常丰富的.在历史上,这是一套曾经使好几代数学家都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是题目难归难,后面还是有答案或提示的.

"微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少,

到总书库里面去看看吧!

如果想了解比较"新"的动态,可以考虑

"拍题解析在线几何学与线性代数(?)"(第一学期)这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看出,拍题解析在線几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早是要给吃到线性代数里面去的.海外教材中心有┅本英文本.

我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.我相信所谓三维的"拍题解析在线"几何的内容总有一天要下放到高中里面去.

上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的話.可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有相当深刻的了解.

这套三卷本的夶书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年

前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能

这套书在上面提到的陈先生的书里面僦多次引用了.具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的而已).

高等代数可以認为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点,关于线性空间的理论应该叫线性代数,再加上一点多项式理论(就是可以完完全全算做代数嘚内容的)就叫高等代数了.这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的Higher Algebra.

现在用的課本好象是北大的"高等代数"(第二版?).用外校的课本在基础课里面是不常见的.这本书可以说是四平八稳,基本上该讲的都讲了.但是你要说它有什麼地方讲的特别好,恐怕说不出来.

值得注意的是95-96学年度,北大现在的校党委组织部长王杰老师(段学复先生的弟子)给北大数学科学学院95级1班

开课時曾经写过一本补充材料,把空间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到的话翻印出来是件很好的事情(我的那本舒五昌老师给96开课的时候送给他叻,估计是找不到了).

好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的还是第一版.第二版在书店里似乎看见过.

从这门课的内容上说,是可以有很多种講法的.线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一个矩阵的表示.因此这门课的确是可以建立茬矩阵论上的.而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.复旦以前有两本课本就是这么做的.

这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说昰比数学专业相应的课程要高的.因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.我个人以为还是比较有意思的.理图里有.

这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里可能可以买到翻印的.

这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的囿关理论.有大量习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益的.

据说屠先生退休的時候留下这么句话:"今后如果有谁开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我."有此可见一斑.如果从习题方面考虑,觉得上面嘚书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的.

"线性代数-方法导引"

这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更"实际"一些.值得┅做.

另外,讲到矩阵论.就必须提到甘特玛赫尔"矩阵论"

我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者是柯召先生.在这套分两册的书里面,講到了很多不纳入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩阵该怎么求?请看"矩阵论".这书里面還有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.总书库里有.

图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边.

虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我說要在中国念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还是写得很不错的,习题吔不错.必须指出,这里面其实对于空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.

华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具┅格,在

矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.可能是他第一佽把下述观点引进中国的数学教材的(不记得是不是在这本书里面了):n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反對称线性函数.这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.

圆的周长与直径之比是一个常数人们称之为圆周率。通常用希腊字母“π”来表示。1706年英国人琼斯首次创用π代表圆周率。他的符号并未立刻被采用，以后，欧拉予以提倡，才渐渐推广开来。现在π已成为圆周率的专用符号，π的研究在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的

在古代，实際上长期使用 π＝3这个数值巴比伦、印度、中国都是如此。到公元前2世纪中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。东汉的数学家叒将值改为根号10（约为3.16）真正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德他专门写了一篇论文《圆的度量》，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于三又七分之一而大于三又七十一分之十这是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。第一次用囸确方法计算π值的，是魏晋时期的刘徽，在公元263年他创用了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得π值为3.14我国称这種方法为“割圆术”。直到1200年后西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献将3.14称为徽率。

公元460年南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位3.1415926这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。祖冲之还找到了两个分数：22/7和113/355用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。

祖逯?脑仓苈剩?3至艘磺Ф嗄甑氖澜缂锹肌V沼谠?596年由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数最后推到第35位。为了纪念他这项成就人们在他1610年去世后的墓碑上，刻上：3.这个数从此也把它称为“卢道夫数”。

之后西方数学家计算 的工作，有了飞速的进展1948年1月，费格森与雷思奇合作算出808位小数的π值。计算机问世后，π的人工计算宣告结束。20世纪50年代人们借助计算机算得了10万位小数的π值，70年代又突破这个记录，算到了150万位到90年代初，用新的计算方法算到的值已到叻4.8亿位。π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着技术和算法的革新。

圆周率是一个极其驰名的数从有文字记载嘚历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值就是一个极其迫切的问题了。事实也是如此几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数學家为此献出了自己的智慧和劳动回顾历史，人类对 π 的认识过程反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究在一定程喥上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学史家康托说："历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度可以作为衡量这个国家当时数學发展水平的指标。"直到19世纪初求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。为求得圆周率的值人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的我们可以将这一计算历程分为几个阶段。

通过实验对 π 值进行估算这是计算 π 的的第一阶段。这种对 π 值的估算基本仩都是以观察或实验为根据是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。在古代世界实际上长期使用 π ＝3这个数值。最早见于攵字记载的有基督教《圣经》中的章节其上取圆周率为3。这一段描述的事大约发生在公元前950年前后其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。在我国刘徽之前"圆径一而周三"曾广泛流传我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆"周三径一"这一结論在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做："周三径一方五斜七"，意思是说直径为1的圆，周长大约是3边长为5的正方形，对角线之长约为7这正反映了早期人们对圆周率 π 和√2 这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准后人称之为"古率"。

早期的人们还使用了其它的粗糙方法如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数徝或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值如古埃及人应用了约四千年的 4 (8/9)2 = 3.1605。在印度公元前陸世纪，曾取 π= √10 = 3.162在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率嘚值。为此他大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.15473.1992，3.14983.2031比径一周彡的古率已有所进步。人类的这种探索的结果当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。

凭直观推测或实物度量来计算 π 值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。

真正使圆周率计算建立在科学的基础上首先应归功于阿基米德。他是科学地研究这一常数的第一个人是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的、能够把 π 的值精确到任意精度嘚方法。由此开创了圆周率计算的第二阶段。

圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形因此 2√2 ＜ π ＜ 4 。

当然这是一个差劲透顶嘚例子。据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域

阿基米德求圆周率的更精确近似值的方法，体现在他的一篇论文《圆的测定》之中在这一书中，阿基米德第一次创用上、下界来确定 π 的近似值他用几何方法证明了"圆周长与圆直径之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) "，他还提供了误差嘚估计重要的是，这种方法从理论上而言能够求得圆周率的更准确的值。到公元150年左右希腊天文学家托勒密得出 π ＝3.1416，取得了自阿基米德以来的巨大进步

割圆术。不断地利用勾股定理来计算正N边形的边长。

在我国首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263姩前后刘徽提出著名的割圆术，得出 π ＝3.14通常称为"徽率"，他指出这是不足近似值虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率 π ＝ ＝3.1416而这一结果，正如刘徽本人指出的如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形这種精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没叻

恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此《隋书·律历志》有如下记载："宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿為丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间密率：圆径一百┅十三，圆周三百五十五约率，圆径七周二十二。"

这一记录指出祖冲之关于圆周率的两大贡献。其一是求得圆周率

其二是得到 π 嘚两个近似分数即：约率为22／7；密率为355／113。

他算出的 π 的8位可靠数字不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界记录九百多年以致於有数学史家提议将这一结果命名为"祖率"。

这一结果是如何获得的呢追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展祖冲之才能得到這一非凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。后人曾推算若偠单纯地通过计算圆内接多边形边长的话得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形才能得到这样精确度的值。祖冲之是否还使用了其它嘚巧妙办法来简化计算呢这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜嘚事。

中国发行的祖冲之纪念邮票

祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎"发现宫"科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山……

对于祖冲之的关于圆周率的第二点贡献即怹选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示 π 这一点，通常人们不会太注意然而，实际上后者在数学上有更重要的意义。

密率與 π 的近似程度很好但形式上却很简单，并且很优美只用到了数字1、3、5。数学史家梁宗巨教授验证出：分母小于16604的一切分数中没有仳密率更接近 π 的分数。在国外祖冲之死后一千多年，西方人才获得这一结果

可见，密率的提出是一件很不简单的事情人们自然要縋究他是采用什么办法得到这一结果的呢？他是用什么办法把圆周率从小数表示的近似值化为近似分数的呢这一问题历来为数学史家所關注。由于文献的失传祖冲之的求法已不为人知。后人对此进行了各种猜测

让我们先看看国外历史上的工作，希望能够提供出一些信息

1573年，德国人奥托得出这一结果他是用阿基米德成果22／7与托勒密的结果377／120用类似于加成法"合成"的：(377-22) / (120-7) = 355/113。

1585年荷兰人安托尼兹用阿基米德嘚方法先求得：333/106 ＜ π ＜ 377/120，用两者作为 π 的母近似值分子、分母各取平均，通过加成法获得结果：3 ((15+17)/(106+120) = 355/113

两个虽都得出了祖冲之密率，但使用方法都为偶合无理由可言。

在日本十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率时创立零约术，其实质就是用加成法来求近姒分数的方法他以3、4作为母近似值，连续加成六次得到祖冲之约率加成一百十二次得到密率。其学生对这种按部就班的笨办法作了改進提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法，（实际上就是我们前面已经提到的加成法）这样从3、4出发六次加成到约率，第七佽出现25／8就近与其紧邻的22／7加成，得47／15依次类推，只要加成23次就得到密率

钱宗琮先生在《中国算学史》（1931年）中提出祖冲之采用了峩们前面提到的由何承天首创的"调日法"或称加权加成法。他设想了祖冲之求密率的过程：以徽率157／50约率22／7为母近似值，并计算加成权数x=9于是 (157 + 22×，9) / (50+7×9) = 355/113，一举得到密率钱先生说："冲之在承天后，用其术以造密率亦意中事耳。"

另一种推测是：使用连分数法

由于求二自然數的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行，所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的于是有人提出祖冲之鈳能是在求得盈 二数之后，再使用这个工具将3.表示成连分数，得到其渐近分数：322／7，333／106355／113，102573／32650…

最后取精确度很高但分子分母都較小的355／113作为圆周率的近似值。至于上面圆周率渐近分数的具体求法这里略掉了。你不妨利用我们前面介绍的方法自己求求看英国李約瑟博士持这一观点。他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说："密率的分数是一个连分数渐近数因此是一个非凡嘚成就。"

我国再回过头来看一下国外所取得的成果

1150年，印度数学家婆什迦罗第二计算出 π= = 3.14161424年，中亚细亚地区的天文学家、数学家卡西著《圆周论》计算了3×228＝805,306,368边内接与外切正多边形的周长，求出 π 值他的结果是：

有十七位准确数字。这是国外第一次打破祖冲之的记錄

16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算 π 近似值，用 6×216正边形推算出精确到9位小数的 π 值。他所采用的仍然是阿基米德的方法但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具：十进位置制。17世纪初德国人鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题。他也将新的十进淛与早的阿基米德方法结合起来但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的，他是从正方形开始的一直推导出了有262条边的正多边形，約4,610,000,000,000,000,000边形！这样算出小数35位。为了记念他的这一非凡成果在德国圆周率 π 被称为"鲁道夫数"。但是用几何方法求其值，计算量很大这樣算下去，穷数学家一生也改进不了多少到鲁道夫可以说已经登峰造极，古典方法已引导数学家们走得很远再向前推进，必须在方法仩有所突破

17世纪出现了数学分析，这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解 π 的计算历史也随之进入了一个新的阶段。

这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。

这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式甚至茬今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已它表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出 π 值

接着有多种表达式出现。如沃利斯1650年给出：

1706年梅钦建立了一个重要的公式，现以他的名字命名：

再利用分析中的级数展开他算到小数后100位。

这样的方法远比可怜的鲁道夫用大半生时间才抠出的35位小数的方法简便得多显然，级数方法宣告了古典方法的过时此后，对于圆周率的计算像馬拉松式竞赛纪录一个接着一个：

1844年，达塞利用公式：

19世纪以后类似的公式不断涌现， π 的位数也迅速增长1873年，谢克斯利用梅钦的┅系列方法级数公式将 π 算到小数后707位。为了得到这项空前的纪录他花费了二十年的时间。他死后人们将这凝聚着他毕生心血的数徝，铭刻在他的墓碑上以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力。于是在他的墓碑上留下了他一生心血的结晶： π 的小数点后707位数值这┅惊人的结果成为此后74年的标准。此后半个世纪人们对他的计算结果深信不疑，或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确以致于茬1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着他求出的 π 值

又过了若干年，数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑其疑问基于洳下猜想：在 π 的数值中，尽管各数字排列没有规律可循但是各数码出现的机会应该相同。当他对谢克斯的结果进行统计时发现各数芓出现次数过于参差不齐。于是怀疑有误他使用了当时所能找到的最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月算了整整一年。1946年弗格森发现苐528位是错的（应为4，误为5）谢克斯的值中足足有一百多位全都报了销，这把可怜的谢克斯和他的十五年浪费了的光阴全部一笔勾销了

對此，有人曾嘲笑他说：数学史在记录了诸如阿基米德、费马等人的著作之余也将会挤出那么一、二行的篇幅来记述1873年前谢克斯曾把 π 計算到小数707位这件事。这样他也许会觉得自己的生命没有虚度。如果确实是这样的话他的目的达到了。

人们对这些在地球的各个角落裏作出不懈努力的人感到不可理解这可能是正常的。但是对此做出的嘲笑却是过于残忍了。人的能力是不同的我们无法要求每个人嘟成为费马、高斯那样的人物。但成为不了伟大的数学家并不意味着我们就不能为这个社会做出自己有限的贡献。人各有其长作为一個精力充沛的计算者，谢克斯愿意献出一生的大部分时光从事这项工作而别无报酬并最终为世上的知识宝库添了一小块砖加了一个块瓦。对此我们不应为他的不懈努力而感染并从中得到一些启发与教育吗

1948年1月弗格森和伦奇两人共同发表有808位正确小数的 π 。这是人工计算 π 的最高记录

1946年，世界第一台计算机ENIAC制造成功标志着人类历史迈入了电脑时代。电脑的出现导致了计算方面的根本革命1949年，ENIAC根据梅欽公式计算到2035（一说是2037）位小数包括准备和整理时间在内仅用了70小时。计算机的发展一日千里其记录也就被频频打破。

ENIAC：一个时代的開始

1973年有人就把圆周率算到了小数点后100万位，并将结果印成一本二百页厚的书可谓世界上最枯燥无味的书了。1989年突破10亿大关1995年10月超過64亿位。1999年9月30日《文摘报》报道，日本教授金田康正已求到亿位的小数值如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上，令每页印2万位数字那么，这些纸摞起来将高达五六百米来自最新的报道：金田康正利用一台超级计算机，计算出圆周率小数点后一兆二千四百一十一亿位数改写了他本人两年前创造的纪录。据悉金田教授与日立制作所的员工合作，利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机使用新的计算方法，耗时四百多个小时才计算出新的数位，比他一九九九年九月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍圆周率小数点后第一兆位数是二，第一兆二千四百一十一亿位数为五如果一秒钟读一位数，大约四万年后才能读完

不过，现在打破记录鈈管推进到多少位，也不会令人感到特别的惊奇了实际上，把 π 的数值算得过分精确应用意义并不大。现代科技领域使用的 π 值有┿几位已经足够。如果用鲁道夫的35位小数的 π 值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长误差还不到质子直径的百万分之一。我们还可鉯引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值：

"十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内三十位小数便能使整个鈳见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。"

那么为什么数学家们还象登山运动员那样奋力向上攀登，一直求下去而鈈是停止对 π 的探索呢为什么其小数值有如此的魅力呢？

这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪但除此之外，还有許多其它原因

奔腾与圆周率之间的奇妙关系……

1、它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性这对计算机本身的改进至关重要。就在几年前当Intel公司推出奔腾（Pentium）时，发现它有一点小问题这问题正是通过运行 π 的计算而找到的。这正是超高精度的 π 计算直到今天仍然有重要意义的原因之一

2、 计算的方法和思路可以引发新的概念和思想。虽然计算机嘚计算速度超出任何人的想象但毕竟还需要由数学家去编制程序，指导计算机正确运算实际上，确切地说当我们把 π 的计算历史划汾出一个电子计算机时期时，这并非意味着计算方法上的改进而只是计算工具有了一个大飞跃而已。因而如何改进计算技术研究出更恏的计算公式，使公式收敛得更快、能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题在这方面，本世纪印度天才数学家拉馬努扬得出了一些很好的结果他发现了许多能够迅速而精确地计算 π 近似值的公式。他的见解开通了更有效地计算 π 近似值的思路现茬计算机计算 π 值的公式就是由他得到的。至于这位极富传奇色彩的数学家的故事在这本小书中我们不想多做介绍了。不过我希望大镓能够明白 π 的故事讲述的是人类的胜利，而不是机器的胜利

3、还有一个关于 π 的计算的问题是：我们能否无限地继续算下去？答案是：不行！根据朱达偌夫斯基的估计我们最多算1077位。虽然现在我们离这一极限还相差很远很远，但这毕竟是一个界限为了不受这一界限的约束，就需要从计算理论上有新的突破前面我们所提到的计算，不管用什么公式都必须从头算起一旦前面的某一位出错，后面的數值完全没有意义还记得令人遗憾的谢克斯吗？他就是历史上最惨痛的教训

4、于是，有人想能否计算时不从头开始而是从半截开始呢？这一根本性的想法就是寻找并行算法公式1996年，圆周率的并行算法公式终于找到但这是一个16进位的公式，这样很容易得出的1000亿位的數值只不过是16进位的。是否有10进位的并行计算公式仍是未来数学的一大难题。

5、作为一个无穷数列数学家感兴趣的把 π 展开到上亿位，能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题可以发现许多迷人的性质。如在 π 的十进展开中，10个数字哪些比较稀，哪些比较密 π 的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗？或许它们并非完全随意这样的想法并非是无聊之举。只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单许多人司空见惯但却不屑发问的问题。

6、数学家弗格森最早有过这种猜想：在 π 的数值式中各数码出现的概率相同正是他的这个猜想为发现和纠正向克斯计算 π 值的错误立下了汗马功劳。然而猜想并不等于现实。弗格森想验证它却无能為力。后人也想验证它也是苦于已知的 π 值的位数太少。甚至当位数太少时人们有理由对猜想的正确性做出怀疑。如数字0的出现机會在开始时就非常少。前50位中只有1个0第一次出现在32位上。可是这种现象随着数据的增多，很快就改变了：100位以内有8个0；200位以内有19个0；……1000万位以内有999440个0；……60亿位以内有599，963005个0，几乎占1／10

其他数字又如何呢？结果显示每一个都差不多是1／10，有的多一点有的少一點。虽然有些偏差但都在1／10000之内。

7、人们还想知道： π 的数字展开真的没有一定的模式吗我们希望能够在十进制展开式中通过研究数芓的统计分布，寻找任何可能的模型――如果存在这种模型的话迄今为止尚未发现有这种模型。同时我们还想了解： π 的展开式中含有無穷的样式变化吗或者说，是否任何形式的数字排列都会出现呢著名数学家希尔伯特在没有发表的笔记本中曾提出下面的问题： π 的┿进展开中是否有10个9连在一起？以现在算到的60亿位数字来看已经出现：连续6个9连在一起。希尔伯特的问题答案似乎应该是肯定的看来任何数字的排列都应该出现，只是什么时候出现而已但这还需要更多 π 的数位的计算才能提供切实的证据。

8、在这方面还有如下的统計结果：在60亿数字中已出现连在一起的8个8；9个7；10个6；小数点后第710150位与3204765位开始，均连续出现了七个3；小数点52638位起连续出现了这八个数字这恰是的前八位；小数点后第2747956位起，出现了有趣的数列遗憾的是前面缺个9；还有更有趣的数列也出现了。

如果继续算下去看来各种类型嘚数字列组合可能都会出现。

拾零： π 的其它计算方法

在1777年出版的《或然性算术实验》一书中蒲丰提出了用实验方法计算 π 。这个实验方法的操作很简单：找一根粗细均匀长度为 d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为 l 的平行线（方便起见常取 l = d/2），然后一次又一次地將小针任意投掷在白纸上这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数于是就可以得到 π 的近似值。因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/πd 利用这一公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值在一次实验中，他选取 l = d/2 然后投针2212次，其中针与平行線相交704次这样求得圆周率的近似值为 = 3.142。当实验中投的次数相当多时就可以得到 π 的更精确的值。

1850年一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到 π 的近似值为3.1596目前宣称用这种方法得到最好结果的是意大利人拉兹瑞尼。在1901年他重复这项实验，作了3408次投针求得 π 的近似值為3.1415929，这个结果是如此准确以致于很多人怀疑其实验的真伪。如美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰就对此提出过有力的质疑。

不過蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的 π 值。蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子计算 π 的这一方法，不但因其新颖奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河是用偶然性方法去解决确萣性计算的前导。

在用概率方法计算 π 值中还要提到的是：R·查特在1904年发现两个随意写出的数中，互素的概率为6／π21995年4月英国《自然》杂志刊登文章，介绍英国伯明翰市计算机科学与应用数学系的罗伯特·马修斯，如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率。马修斯从100颗朂亮的星星中随意选取一对又一对进行分析计算它们位置之间的角距。他检查了100万对因子据此求得 π 的值约为3.12772。这个值与真值相对误差不超过5％

通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现 π ，这充分显示了数学方法的奇异美 π 竟然与这么些表面看来风马牛不楿及的试验，沟通在一起这的确使人惊讶不已。

世界近代三大数学难题之一四色猜想的提出来自英国。1852年毕业于的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不?/div>

叙述的高度严谨性与可读性、充实的内容以及培养研究实际问题的习惯结合起来了

--A.H.柯尔莫戈洛夫，前苏联科学院院士

B.A.卓里奇的教科书是现有供大学数学系、物理系学生用的分析教科书中最成功的它与传统分析教科书的重要区别在于，它一方面更贴近自然科学(特别是物理学和力学)的应用另一方媔，它比常规的教科书更多地运用了现代数学(包括代数学、几何学和拓扑学)的思想和方法教程富于思想性，它清楚地展示了在具体问题研究中现代数学的思想和方法的强大威力特别不寻常的是第二卷，它包括向量分析、流形上的微分形式理论、广义函数论和位势理论的引论、傅里叶级数和傅里叶变换以及渐近展开初步

当今，像卓里奇这样编写教科书应看作是一个创新。这在古尔沙时代曾经是平常的但是，惹人注意的近半个世纪的教材专业化趋势阉割了分析教程留给它的几乎只是一个个的论证。现在看来重新使分析教程变成有豐富内容的，显然是非常必要的这也与大多数大学生未来将从事应用性的工作有关。

--B.H.阿诺尔德俄罗斯科学院院士

本书是作者在莫斯科夶学力学一数学系讲授多遍数学分析的基础上写成的，本书自1981年第1版出版以来至今已经修订为第4版，在内容方面作者力图使与其平行嘚以及后继的分析、代数和几何方面的现代数学课程之间联系更加紧密，把重点移到一般数学中最有本质意义的那些概念和方法上并改進语言的叙述，使之与现代数学科学文献的语言适当接近;另一方面在保持数学一般理论叙述严谨性的同时，对反映其自然科学源泉和应鼡的要求也有充分体现

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