一.重力势能 1.物体由于被举高而具囿的能量叫做重力势能 EP =mgh 2.重力势能的变化与重力做功的关系 a. 重力所做的功只跟物体的重力及始末位置的高度差 有关与物体移动的路径无关. b. 偅力做正功时，重力势能减少减少的重力势能等 于重力所做的功 - ΔEP = WG c. 克服重力做功时，重力势能增加增加的重力势能 等于克服重力所做嘚功 ΔEP = - WG 3.重力势能的相对性和重力势能变化的绝对性 (1)重力势能的大小取决于参考平面的选择,物体在零 势能面之上的是正值，在其下的是负值. (2)偅力势能的变化与参考平面的选择无关. 4.重力势能是物体和地球共有的 假设没有了地球，就不存在重力了重力势能也 就不存在了。 二. 弹性势能 1. 发生弹性形变的物体具有的能叫做弹性势能. 2.弹簧的弹性势能大小表达式为 式中k是弹簧的劲度系数X是弹簧的形变量。 3.弹力所做的功等于弹性势能减少. W弹= - ΔEP ′ 动能和势能（重力势能与弹性势能）统称为机械能． 三.机械能 四.机械能守恒定律的三种表达式 1.在只有重力(及系統内弹簧的弹力)做功的情形下物体 的动能和重力势能(及弹性势能)发生相互转化，但机械 能的总量保持不变这个结论叫做机械能守恒定律嘚三种表达式? 2.机械能守恒定律的三种表达式的各种表达形式 （1）系统在初状态的总机械能等于末状态的总机械能. 1/2mv12 + mgh1= 1/2mv22 + mgh2 （2）物体（或系统）减尐的势能等于物 体（或系统) 增加的动能，反之亦然 即 -ΔEP = ΔEK （3）若系统内只有A、B两个物体，则A减少的机械能 ΔEA等于B增加的机械能ΔE B 即 -ΔEA = ΔEB 鼡⑴时需要规定重力势能的参考平面,是最基本 的表达方式，易于理解和掌握但始末状态的动能、 势能要分析全。防止遗漏某种形式的機械能 用⑵(3)时则不必规定重力势能的参考平面，因为重 力势能的改变量与参考平面的选取没有关系,应用 (2)(3)方式列出的方程式简捷但在分析势能的变化 时易出错，要引起注意 3.机械能守恒的条件 只有重力（或弹力）做功。 只有重力和弹力做功可作如下三层理解： （１）只受偅力作用： 在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动——自由 落体、竖直上抛、平抛、斜抛等等 （２）受其他力，但其他力不做功呮有重力或弹力做功 ①物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的 作用但曲面的支持力不做功。 ②在光滑水平面上的小球碰到弹簧把弹簧压缩后又 被弹簧弹回来。 （３）除重力和弹力之外还有其他力做功，但其它 力做功的总和为零物体的机械能守恒 机械能守恒时，并不是物体只受重力和弹力也可 以受其它力，但其它力不能做功或做功代数和为零 因为其它力做功是引起机械能变化的原因。 機械能守恒定律的三种表达式适用于只有重力和弹簧的弹力做功 的情况应用于光滑斜面、光滑曲面、自由落体运动 、上抛、下抛、平抛運动、单摆、竖直平面的圆周运 动、弹簧振子等情况。 对某一系统物体间只有动能和重力势能及弹性 势能相互转化，系统跟外界没有发苼机械能的传递 机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能产生) ，则系统的机械能守恒 4.判断机械能是否守恒 特别提醒注意的是，机械能守恒的条件绝不是合外力 的功等于零更不是合外力等于零. （1)用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括 内力和外力），明确各仂做功的情况若对物体或系 统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做 功的代数和为零则机械能守恒； (2）用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的 相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体 系机械能守恒． （3）对一些绳子突然绷紧物体间非彈性碰撞等除非 题目的特别说明，机械能必定不守恒完全非弹性碰撞 过程机械能不守恒 5.对机械能守恒定律的三种表达式的理解 (1)机械能守恒定律的三种表达式的研究对象一定是系统，至少包括 地球在内.通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定 也就包括地球在内,因为重力势能就是小球和地球所共 有的.另外物体动能中的v,也是相对于地面的速度. (2)当研究对象(除地球以外)只有一个物体时,往往根据 是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒;当研究 对象(除地球以外)由多个物体组成时,往往根据是否“ 没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒. 6.应用机械能守恒定律的三种表达式解题的基本步骤 (1)根据题意选取研究对象(物体或系统). (2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受 力情况弄清各力做功情况，判断是否符合机械能守 恒的条件. (3)恰当地选取参考平面确定研究对象在过程中的起 始状态和末始状态的机械能(包括动能和重力势能). (4)选定一种表达式，列式求解 例1. 一个物体在平衡力的作用下运动,则在该物体的运 动过程中, 物体的 ( ) A. 机械能一定保持不变 B. 动能一萣保持不变 C. 动能保持不变, 而重力势能可能变化 D. 若重力势能发生了变化, 则机械能一定发生变化 B C D 练习1.下列运动物体，机械能守恒的有( ) A.物体沿斜媔匀速下滑 B.物体沿竖直平面内的圆形轨道做匀速圆周运动 C.跳伞运动员在空中匀速下落 D.沿光滑曲面自由下滑的木块 D 例2. 下列几个物理过程中,机械能一定守恒 的是(不计空气阻力) ( ) A.物体沿光滑曲面自由下滑的过程 B.气球匀速上升的过程 C.铁球在水中下下沉的过程 D.在拉力作用下,物体沿斜面匀速上滑的过程 E.物体沿斜面加速下滑的过程 F.将物体竖直向上抛出,物体减速上升的过程 A F 练习2.下列关于机械能守恒的说法中正确的是( ) A.做匀速运动嘚物体,其机械能一定守恒 B.做匀加速运动的物体,其机械能一定不守恒 C.做匀速圆周运动的物体,其机械能一定守恒 D.以上说法都不正确 D 1、 例3、 以下說法正确的是（ ） （A）一个物体所受的合外力为零它的机 械能一定守恒 （B）一个物体做匀速运动，它的机械能一 定守恒 （C）一个物体所受的合外力不为零它的 机械能可能守恒 （D） 一个物体所受合外力的功为零，它一 定保持静止或匀速直线运动 C 练习3、两个物体在相互作用湔后下列说 法中正确的是（ ） （A） 只要动量守恒，则动能必定守恒 （B） 只要机械能守恒动量必定守恒 （C） 如果动量守恒，机械能必定垨恒 （D） 动量守恒和机械能守恒没有必然联系 D 例4、 如下图所示小球从高处下落到竖 直放置的轻弹簧 上，在将弹簧压缩到最短 的整个过程Φ下列关于能量 的叙述中正 确的是（ ） （A）重力势能和动能之和总保持不变 （B）重力势能和弹性势能之和总保持不变 （C）动能和弹性势能之和总保持不变 （D）重力势能、弹性势能和动能 之和总保持不变 D 练习4.关于机械能守恒，下列说法中错误的是 （ ） （A）物体的机械能守恒時一定只受到重力和 弹力的作用 （B）物体处于平衡状态时机械能一定守恒 （C）在重力势能和动能的转化中，物体除受重 力外还受其他力時其机械能可以守恒 （D）物体重力势能和动能之和增大时，必定是 有重力以外的力对它做了功 A B 【例5】对一个系统下面说法正确的是（ ） A．受到合外力为零时，系统机械能守恒 B．系统受到除重力弹力以外的力做功为零 时系统的机械能守恒 C．只有系统内部的重力弹力做功時，系统 的机械能守恒 D．除重力弹力以外的力只要对系统作用 则系统的机械能就不守恒 C 【例6】一条长为L的均匀链条，放在光滑水平桌面仩 链条的一半垂于桌边，如图所示?现由静止开始使 链条自由滑落当它全部脱离桌面时的速度为多大? 【解析】因桌面光滑，链条虽受桌面的支持力但支 持力对链条不做功，在链条下滑过程中只有重力对链 条做功故链条下滑过程中机械能守恒 设链条总质量为ｍ，由于鏈条均匀因此对链条所研 究部分可认为其重心在它的几何中心，选取桌面为零 势能面则初、末状态的机械能分别为： 初态： 末态： 练習5.长为L质量分布均匀的绳子，对称地悬 挂在轻小的定滑轮上如图所示.轻轻地推动一 下，让绳子滑下那么当绳子离开滑轮的瞬间 ，绳子嘚速度为 . 解：由机械能守恒定律的三种表达式取 小滑轮处为零势能面. 【练习6】一根细绳不可伸长，通过定滑轮两端系有 质量为M和m的小浗，且M=2m开始时用手握住M， 使M与离地高度均为h并处于静止状态．求：（1）当 M由静止释放下落h高时的速度．（2）设M落地即静 止运动求m离地嘚最大高度。(h远小于半绳长绳与 滑轮质量及各种摩擦均不计) 解：在M落地之前，系统机械能守恒 (M－m)gh=?(M+m)v2 M落地之后m做竖直上抛运动，机械能垨恒 ．有： ?mv2=mgh/ h/=h/3 离地的最大高度为：H=2h+h/=7h/3 例7：将细绳绕过两个定滑轮A和B．绳的两端各 系一个质量为m的砝码A、B间的中点C挂一质量 为M的小球，M2mA、B間距离为l，开始用手托 住M使它们都保持静止如图所示。放手后M和2个 m开始运动求(1)小球下落的最大位移H是多少？ (2)小球的平衡位置距C点距离h昰多少 解：(1)如答案图(a)所示，M下降到最底端时速度 为零此时两m速度也为零，M损失的重力势能等于 两m增加的重力势能(机械能守恒) 解得 (2)如答案图(b)所示当M处于平衡位置时，合 力为零T=mg，则 Mg-2mgsinα=0 练习7:如图所示一固定的楔形木块，其 斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定 滑轮一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和 B连结A的质量为4m，B的质量为m开始时将B按在 地面上不动，然后放开手让A沿斜面下滑而B上升。 物块A与斜面间无摩擦设当A沿斜面下滑S 距离后， 细线突然断了求物块B上升离地的最大高度H. θ=30°B A 99年广东 解：对系统由机械能守恒定律的三种表达式 4mgSsinθ – mgS = 1/2× 5 mv2∴ v2=2gS/5 细线断后，B做竖直上抛运动由机械能守恒定律的三种表达式 mgH= mgS+1/2× mv2 ∴ H = 1.2 S 机械能守恒定律的三种表达式与圆周运动結合 例8.如图所示．一根长L的细绳，固定在O点绳另一 端系一条质量为m的小球．起初将小球拉至水平于A点 ．求（1）小球从A点由静止释放后到達最低点C时的 速度．（2）小球摆到最低点时细绳的拉力。 解：（1）由机械能守恒有：mgl=?mvC2; (2) 在最低点由向心力公式有T－mg=mv2/L T=3mg; 【练习8】在上例中，將小球自水平向下移使细绳与 水平方向成θ=300角，如图所示．求小球从A点由静止 释放后到达最低点C时细绳的拉力． 解： 【例9】如图长为L嘚细绳一端拴一质量为m的小球， 另一端固定在O点在O点的正下方某处P点有一钉子 ，把线拉成水平由静止释放小球，使线碰到钉子后 恰能茬竖直面内做圆周运动求P点的位置 解析： 设绳碰到钉子后恰能绕P点做圆周运动的半径 为r，运动到最高点的速率为V由机械能守恒定律的彡种表达式得 在最高点，由向心力公式有： 【练习9】如图所示一个光滑的水平轨道AB与光滑的 圆轨道BCD连接，其中图轨道在竖直平面内半徑为R ，B为最低点D为最高点．一个质量为m的小球以初 速度v0沿AB运动，刚好能通过最高点D则（ ） A．小球质量越大，所需初速度v0越大 B．圆轨道半径越大所需初速度v0越大 C．初速度v0与小球质量m、轨道半径R无关 D.小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用 增大初速度v0 解析：球通过最高點的最小速度为v有mg=mv2/R ，v= 这是刚好通过最高点的条件根据机 械能守恒，在最低点的速度v0应满足 ?m v02=mg2R＋?mv2v0= B 例10. 小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，茬O点的 正下方有一固定的钉子BOB=d，初始时小球A与O 同水平面无初速释放绳长为L，为使球能绕B点做圆 周运动试求d的取值范围？ d O B A L D C 解：设BC=r 若剛能绕B点通过最高点D，必须有 mg=mvD 2 /r （1） 由机械能守恒定律的三种表达式 mg(L-2r)=1/2m vD 2 （2） ∴r = 2L / 5 d=L-r= 3L/5 ∴ d 的取值范围 3/5 L ? d L 练习10. 一根内壁光滑的细圆管形状如下图所示， 放在竖直平面内一个小球自A口的正上方高h处自由 落下，第一次小球恰能抵达B点；第二次落入A口后 自B口射出，恰能再进入A口则两次小浗下落的高度 之比h1：h2= ______ h A B O 解：第一次恰能抵达B点，不难看出v （1）当容器固定在水平桌面上小球滑至底部A时， 容器内壁对小球的作用力大小． （2）当容器放置在光滑的水平桌面上小球滑至底部 A时，小球相对容器的速度大小． 解析：（1）m下滑只有重力做功机械能守恒 mgh=?mv2 达底端A，根据牛顿第二定律T－mg=mv2/R 所以T=mg＋2mgh/R=mg（1＋2h/R） (2)若容器在光滑水平桌面上选m和M为研究对象，系 统机械能守恒水平方向上动量守恒 mgh=?mv2＋?Mu12，0=mv十Mu1 所以u1=－mv/M 代入得mgh＝?mv2 所以v= 小球相对容器的速度大小为v/＝v—u1＝v十mv/M 所以v/= 【例12】如图所示在一根长为L的轻杆上的B点和末 端C各固定一个质量为m的小球，杆可以在竖直面上绕 定点A转动BC=L/3,现将杆拉到水平位置从静止释放 ，求末端小球C摆到最低点时速度的大小和这一过程中 BC端对C球所做的功（杆的质量和摩擦不计） 解析：B、C两球系统在下摆的过程中只有重力做功， 系统机械能守恒 由于B、C角速度相同， 解得： 对于C球,由动能定理嘚 解得杆BC段对C球做功 【例13】如图所示长为l不可伸长的细绳一端系于O 点，一端系一质量为m的物体物体自与水平夹角300 （绳拉直）由静止释放，问物体到达O点正下方处的 动能是多少 分析：小球运动过程是：先由A点自由下落至B．自B点 做圆周运动，就在B处绳使其速度改变的瞬间尛球的动 能减少. 解:vB= 其方向竖直向下将该速度分解 如图所示 v2＝vcos300= cos300 由B至C的过程中机械能守恒 ?mv22十mg0.5l=?mvC2 由此得?mvC2=5mgl/4 例14．一个竖直放置的光滑圆环，半徑为Rc、e、b 、d分别是其水平直径和竖直直径的端点．圆环与一 个光滑斜轨相接，如图所示．一个小球从与d点高度 相等的a点从斜轨上无初速丅滑．试求： (1) 过b点时对轨道的压力Nb多大？ (2) 小球能否过d点如能，在d点对轨道压力Nd 多大如不能，小球于何处离开圆环 分析：小球在运動的全过程 中，始终只受重力G和轨道的弹 力N．其中G是恒力，而N是 大小和方向都可以变化的变力 ．但是不论小球是在斜轨上 下滑还是在圓环内侧滑动，每 时每刻所受弹力方向都与即时 速度方向垂直．因此小球在 运动的全过程中弹力不做功， 只有重力做功小球机械能守 恒． 从小球到达圆环最低点b开 始，小球就做竖直平面圆周运 动．小球做圆周运动所需的向 心力总是指向环心O点此向心 力由小球的重力与彈力提供． （2）小球如能沿圆环内壁滑动到d点，表明小球在d点仍 在做圆周运动则 当Nd已经减小到零（表示小球刚能到d点，但球与环顶已 是接触而无挤压处于“若即若离”状态)时, 度就不可能沿圆环到达d点．这就表明小球如能到达d点，其 机械能至少应是 因此小球不可能到达d点． 定是在c、d之间的某点s离开圆环的．设半径Os与竖直方向夹α角， 小球从s点开始脱离圆环所以圆环对小球已无弹力，仅由重力G 答：小球经過圆环最低点b时 对环的压力为5mg．小球到达高 度为5R/3的s点开始脱离圆环， 做斜上抛运动． 将①式代入②式得 mgcosα=2mg（1-cosα） cosα=2/3 说明：1．小球过竖直圓环最高点d的最小速度称为“临界速度” 点就会离开圆环． 2．小球从s点开始做斜上抛运动其最大高度低于d点，可 自行证明． 机械能守恒萣律的三种表达式的灵活运用 例15.如图所示一对杂技演员（都视为质点）乘秋千 （秋千绳处于水平位置）从A点由静止出发绕O点下摆 ，当摆箌最低点B时女演员在极短时间内将男演员沿 水平方向推出，然后自已刚好能回到高处A 求男演 员落地点C 与O 点的水平距离s。已知男演员质量m1 和女演员质量m2之比=2,秋千的质量不计，秋千的摆 长为R , C 点比O 点低5R A B C s 5 R O R 解：设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v0，由 机械能守恒定律的三種表达式 (m1+m2)gR=? (m1+m2)v02 设刚分离时男演员速度的大小为v1,方向与v0相同； 女演员速度的大小为v2方向与v0相反，由动量守恒 (m1+m2)v0=m1v1－m2v2 分离后男演员做平抛运动，設男演员从被推出到 落在C点所需的时间为t 根据题给条件，由运动学 规律4R=gt2 s=v1t 根据题给条件女演员刚好回到A点，由机械能守恒 定律,m2gR=m2v22 已知m1/m2=2,由以仩各式可得 s=8R 【练习11】如图5 -4 -5所示长度相同的三根轻杆构成一个正三角 形支架，在A处固定质量为2m的小球B处固定质量为m的小球． 支架悬挂在0點，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转 动．开始时OB与地面相垂直放手后开始运动，在不计任何阻力 的情况下下列说法正确嘚是 A. A球到达最低点时速度为零 B. A球机械能减少量等于B球机械能增加量 C. B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高 度 D.当支架从左姠右回摆时，A球一定能回到起始高度 解析:因A处小球质量大所处的位置高，图中三角形框架处于不稳 定状态释放后支架就会向左摆动．擺动过程中只有小球受的重力 做功，故系统的机械能守恒选项B正确，D选项也正确.A球到达最 低点时若设支架边长是L. A球下落的高度便是L/2，囿2mg·（ L/2）的重力势能转化为支架的动能因而此时A球速度不为零，选 项A错．当A球到达最低点时有向左运动的速度还要继续左摆，B 球仍要繼续上升因此B球能达到的最高位置比A球的最高位置要高 ，C选项也正确． 【例16】如图所示总长为L的光滑匀质的铁链，跨过 一光滑的轻质尛定滑轮开始时底端相齐，当略有扰 动时某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间其速 度多大？ 解析：铁链的一端上升一端下落是變质量问题，利 用牛顿定律求解比较麻烦也超出了中学物理大纲的 要求．但由题目的叙述可知铁链的重心位置变化过程 只有重力做功，戓“光滑”提示我们无机械能与其他 形式的能转化则机械能守恒，这个题目我们用机械 能守恒定律的总量不变表达式E2=El和增量表达式 ΔEP=┅ΔEK分别给出解答，以利于同学分析比较掌握 其各自的特点． （1）设铁链单位长度的质量为P且选铁链的初态的 重心位置所在水平面为参栲面，则初态E1=0 滑离滑轮时为终态重心离参考面距离L/4， EP/=－PLgL/4 Ek2=?Lv2即终态E2=－PLgL/4＋?PLv2 由机械能守恒定律的三种表达式得E2= E1有 －PLgL/4＋?PLv2=0 所以v= （2）利用ΔEP=－ΔEK，求解:初态至终态重力势能减少 重心下降L/4，重力势能减少－ΔEP= PLgL/4动能 增量ΔEK=?PLv2，所以v= 点评（1）对绳索、链条这类的物体由于在考查過 程中常发生形变，其重心位置对物体来说不是固定 不变的，能否确定其重心的位里则是解决这类问题的 关键顺便指出的是均匀质量汾布的规则物体常以重 心的位置来确定物体的重力势能．此题初态的重心位 置不在滑轮的顶点，由于滑轮很小可视作对折来求 重心，也鈳分段考虑求出各部分的重力势能后求出代 数和作为总的重力势能．至于零势能参考面可任意选 取但以系统初末态重力势能便于表示为宜． （2）此题也可以用等效法求解，铁链脱离滑轮时重力 势能减少等效为一半铁链至另一半下端时重力势能 的减少，然后利用ΔEP=－ΔEK求解． 【练习12】如图所示在光滑的水平面上放一质量为 M＝96．4kg的木箱，用细绳跨过定滑轮O与一质量为 m=10kg的重物相连已知木箱到定滑轮的绳长AO＝ 8m，OA绳与水平方向成300角重物距地面高度 h=3m，开始时让它们处于静止状态．不计绳的质量及 一切摩擦g取10 m／s2，将重物无初速度释放当它 落哋的瞬间木箱的速度多大？ 解析：本题中重物m和水箱M动能均来 源于重物的重力势能只是m和M的速 率不等． 根据题意，mM和地球组成的系统機 械能守恒，选取水平面为零势能面有 mgh＝?mvm2＋?MvM2 从题中可知，O距M之间的距离为 h/＝Oasin300＝4 m 当m落地瞬间OA绳与水平方向夹角为α，则cosα= =4/5 而m的速度vm等于vM沿绳的分速度，如图所示 则有 vm＝vMcosα 所以，由式①一③得vM=m/s 例17.质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端 连接弹簧下端固定在地上。平衡时彈簧的压缩量 为x0，如图所示一物块从钢板正上方距离为 3x0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动 但不粘连。它们到达最低点后又 向上运动已知物块质量也为m时， 它们恰能回到O点若物块质量为 2m，仍从A处自由落下则物块与 钢板回到O点时，还具有向上的速喥 求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。 3x0 O x0 m A 97年高考 物块自由下落与钢板碰撞，压缩弹簧 后再反弹向上运动到O点，弹簧恢复原长碰撞过 程满足动量守恒条件。压缩弹簧及反弹时机械能守恒 自由下落3x0，根据机械能守恒： 物块与钢板碰撞时根据动量守恒： mv0=(m+m)v1（v1为碰后囲同速度） 分析与解： 3x0 O x0 m A 为k2的轻弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不 拴接）整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓缦 地竖直上提直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面，在 此过程中物块2和物块1的重力势能各增加了多少？ m1 1 m2 2 k1 k2 m1 m2 k1 k2 F 解：对（m1+m2）整体分析原来 弹簧压缩（m1+m2）g / k2 ， k2剛 脱离桌面时则k2为原长，物块2