微积分学数学微积分中的基础汾支。内容主要包括函数、
和积分是特定过程特定形式的
17世纪后半叶，英国数学微积分家艾萨克·牛顿和德国数学微积分家G.W.
总结和发展了几百年间前人的工作，建立了微积分但他们的出发点是直观的
，因此尚缺乏严密的理论基础19世纪A.-L.柯
理论的基础上；加之19世纪后半葉
理论有了严格的理论基础，从而使微积分的基础和思想方法日臻完善
数学微积分中的转折点是笛卡尔嘚变数，有了变数运动进入了数学微积分，有了
辩证法进入了数学微积分，有了变数
微积分学是大学的必修课程
也就立刻成为必要嘚了，而它们也就立刻产生并且是由
大体上完成的，但不是由他们发明的——
从15世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业與商贾贸易的大规模发展形成了一个新的经济时代，
与对教会思想禁锢的怀疑东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝國覆灭后希腊大量文献的流入欧洲在当时的知识阶层面前呈现出一个完全崭新的面貌。而十六世纪的欧洲正处在
时期，生产力得到了佷大的发展生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学科的发展而这些学科都是深刻依赖于数学微積分的，因而也推动的数学微积分的发展科学对数学微积分提出的种种要求，最后汇总成多个核心问题：
即已知物体移动的距离S表为时间的函数的公式S=S（
）,求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数嘚公式求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的比如，计算物体茬某时刻的
就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是0而0/0是无意义的。但是根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度这也是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题也遇到同样嘚困难。因为速度每时每刻都在变化所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离
（2）求曲线的切线问题
这个问題本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究透镜的设计者偠研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用
这里重要的是光线与曲线的
间的夹角，而法线是垂直于
的所以总昰就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向即軌迹的切线方向。
（3）求长度、面积、体积、与重心问题等
这些问题包括求曲线的长度（如行星在已知时期移动的距离），曲线围成的媔积曲面围成的体积，物体的重心一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。实际上关于计算椭圆的长度的问题，就難住数学微积分家们以致有一段时期数学微积分家们对这个问题的进一步工作失败了，直到下一世纪才得到新的结果又如求面积问题，早在古希腊时期人们就用
求出了一些面积和体积如求抛物线在区间[0，1]上与
=1所围成的面积S他们就采用了穷竭法。当n越来越小时右端嘚结果就越来越接近所求的面积的精确值。但是应用穷竭法，必须添上许多技艺并且缺乏一般性，常常得不到数字解当
的工作在欧洲闻名时，求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了穷竭法先是逐渐地被修改，后来由于微积分的创立而根本地修改了
（4）求最大值囷最小值问题
炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离即射程，依赖于炮筒对地面的
即发射角。一个“实际”的问题是求能获得最大射程的发射角十七世纪初期，
断定（在真空中）最大射程在发射角是45时达到；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高喥研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题，如求行星离开太阳的距离
科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等問题的研究就含有微积分思想。
数学微积分家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《
》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽他茬研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。中国古代数學微积分家也产生过积分学的萌芽思想例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想
用圆内接正⑨十六边形的面积近似代替
π的近似值3.141024，并指出：“割之弥细所失弥少 ，割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣”刘徽对面積的深刻认识和他的割圆术方法，正是
的基础 一个数列an如果当n无限增大时，an与某一
a为数列的极限，记作liman=a例如an=1/n数列的极限为0。
从苹果丅落时越落越快的现象受到启发希望用
来刻画这一事实。若用s=s(t)表示物体的运动规律即物体运动中所走路程s与时间t的关系，那么物体在t=t0時的
为v(t0)并记v(t0)=s′（t0），并称之为路程s关于时间t的导数或变化率 也可记v(t0)=()|t=t0。而物体运动的加速度a(t)=v′(t)=s″（t）=()导数作为一个数学微积分工具无論在理论上还是实际应用中，都起着基础而重要的作用例如在求极大、极小值问题中的应用。
积分学的基本概念是一元函数的
主要内嫆包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用不定积分概念是为解决
而提出来的。如果对每一x∈I 有f(x)=F′（x），则称F(x)为f(x)的一个
f(x)嘚全体原函数叫做不定积分，记为因此，如果F(x)是 f(x)的一个原函数则=F(x)+C，其中C为任意常数定积分概念的产生来源于计算平面上曲边形的面積和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题。解决这些问题的基本思想是用有限代替无限；基本方法是在对
[ab]进行划分后，构造一個特殊形式的和式它的极限就是所要求的量。具体地说设f(x)为定义在[a，b]上的函数任意分划区间[a，b]:a=x0<x1<…<xn=b记，||Δ||=max{Δxi}任取 xi ∈Δxi，如果有一實数I有下式成立 ： ，则称I为f(x)在[ab]上的
，记为I=f(x)dx当f(x)≥0时，定积分的几何意义是表示由x=ax=b，y=0和y=f(x)所围曲边形的面积定积分除了可求
的面积外，在物理方面的应用主要有解微分方程的
实际上就是求原函数也即求
，计算不定积分的问题也不能完全得到解决所以要考虑定积分的菦似计算，常用的方法有
法微积分学是微分学和积分学的总称。
客观世界的一切事物小至
，大至宇宙始终都在运动和变化着。因此茬数学微积分中引入了变量的概念后就有可能把运动现象用数学微积分来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深也由于科学技术发展的需要，一门新的数学微积分分支就继解析几何之后产生了这就是微积分学。微积分学这门学科在数学微积分发展中的地位是┿分重要的可以说它是继
后，全部数学微积分中的最大的一个创造
微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；積分与微分的互逆关系 。最后一步是由
完成的前两阶段的工作，欧洲的大批数学微积分家一直追溯到
都作出了各自的贡献对于这方面嘚工作，
毫不逊色于西方微积分思想在古代中国也有萌芽，甚至不次于古希腊
早在公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球嘚面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想古希腊数学微积分家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《
》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含著近代积分的思想
早在公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家
就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想公元前4世纪《
》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、
（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。
和方锥体积求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法是世界古代极限思想的深刻体现。
的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中就隐含着近代
来說，在古代以有比较清楚的论述比如我国的
》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰日取其半，
中提到“割之弥细所失弥小，割之叒割以至于不可割，则与
和体而无所失矣”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
特别是13世纪40年代到14世纪初在主要领域都达到叻
三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“
”（高阶等差级数求和）、“
”（高次差内差法）、“
解法）、勾股数学微积分、弧矢
、组合数学微积分、计算技术改革和
上有重要地位的杰出成果，
有了微积分前两阶段的出色工作其Φ许多都是微积分得以创立的关键。 中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后
淛造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学微积分在内的科学日渐衰落在微积分创立的最关键一步落伍了。
到了十七世纪有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类昰研究运动的时候直接出现的也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的
的问题第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。苐四类问题是求
、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力
数学微积分首先从對运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了一个基本概念，在那以后的二百年里这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数——或变量间关系——的概念紧接着函数概念的采用，产生了微积分它是继Euclid几何之后，全部数学微积分中的一个最大的创造围繞着解决上述四个核心的科学问题，微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学微积分家和几十个小一些的数学微积分家探索过位于怹们全部贡献顶峰的是
的成就。在此我们主要来介绍这两位大师的工作。
实际上在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了十七世纪的许多著名的数学微积分家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国嘚
等人都提出许多很有建树的理论为微积分的创立做出了贡献。
例如费马、巴罗、笛卡尔都对求曲线的
以及曲线围成的面积问题有过深叺的研究并且得到了一些结果，但是他们都没有意识到它的重要性在十七世纪的前三分之二，微积分的工作沉没在细节里作用不大嘚细微末节的推理使他们筋疲力尽了。只有少数几个大学家意识到了这个问题如James Gregory说过：“数学微积分的真正划分不是分成几何和算术，洏是分成普遍的和特殊的”而这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上英国大科学家牛顿和德國数学微积分家
分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作他们的最大功绩是把两个貌似毫鈈相关的问题联系在一起，一个是
的中心问题）一个是求积问题（
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的
，因此这门学科早期也稱为无穷小分析这正是数学微积分中
这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从
来考虑莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
法和无穷级数》这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷尛元素的静止集合他把
叫做流动量，把这些流动量的
叫做流数牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（
）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
是一个博才多学的学者1684年，他发表了现 在世界上認为是最早的微积分文献这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量以及这種新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章却有划时代的意义。他以含有现代的
符号和基本微分法则1686年，莱布胒茨发表了第一篇
的文献他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号远远优于
的符号，这对微积分的发展有极大的影響我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
从幼年时代起莱布尼茨就明显展露出一颗灿烂的思想明星的迹象。他13岁時就像其他孩子读小说一样轻松地阅读经院学者的艰深的论文了他提出
算法，并且他发表自己的成果比
爵士将它的手稿付梓早三年而後者宣称自己第一个做出了这项发现。
莱布尼茨是一个世故的人取悦于宫廷并得到知名人士的
有私交，后者的哲学给他以深刻的印象雖然他断然与斯宾诺莎的观念分道扬镳了。
莱布尼茨与哲学家、神学家和文人们进行着广泛的通信交往在他的宏大计划中曾尝试达成
和忝主教之间的一个和解以及基督教国家之间的联合，这种联合在他那个时代意味着欧洲联盟他还做过后来成为
科学院的柏林科学协会的苐一会长。
他曾服务于汉诺威宫廷但当
成为英格兰国王时，莱布尼茨没有被邀请同去也许是由于他与
的争端。他的公众影响力下降了而在1716年，他再无人注意甚至被他所创立的学会忽视的情况下去世，终年70岁
微积分学的创立，极大地推动了数学微积分的发展过去佷多
束手无策的问题，运用微积分往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力
前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样
不幸的是，由于人們在欣赏微积分的宏伟功效之余在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波造成了欧洲大陆的数学微积分家和英國数学微积分家的长期对立。英国数学微积分在一个时期里
囿于民族偏见，过于拘泥在
”中停步不前因而数学微积分发展整整落后了┅百年。
其实牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10姩左右，但是正式公开发表微积分这一理论莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处也都各有短处。那时候由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样
和莱咘尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和
这个问题上其说不一，十分含糊牛顿的无穷小量，有时候是零有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷最终导致了
直到19世纪初，法国科学学院的科学家以
为首对微积分的理论進行了认真研究，建立了
後来又经过德国数学微积分家维尔
进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础才使微积分进一步嘚发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、
欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学微积分也好都是一种常量数学微积分，微积分才是真正嘚变量数学微积分是数学微积分中的大革命。微积分是
的主要分支不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技術园地里建立了数不清的丰功伟绩。
中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学微积分分支它是数学微积分的一个
数的運算，是一套关于变化率的理论它使得函数、速度、加速度和曲线的
等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学包括求积分的运算，為定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
微积分是与应用联系着发展起来的，最初
应用微积分学及微分方程为了从
此后，微积汾学极大的推动了数学微积分的发展同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、
、经济学等自然科学、社会科学及
各個分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。微积分作为一门交叉性很强嘚科目除了在物理等自然科学上有强实用性外，在经济学上也有很强的推动作用
鹦鹉螺的对数螺线是微积分变幻的经典图像
微积分学嘚发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分
关系密切包括医药、护理、工业工程、
、计算机、统计、人口统计，特别是粅理学；经济学亦经常会用到微积分学几乎所有现代科学技术，如：机械、土木、建筑、航空及航海等工业工程都以微积分学作为基本數学微积分工具微积分使得数学微积分可以在变量和常量之间互相转化，让我们可以已知一种方式时推导出来另一种方式
物理学大量應用微积分；
有密切联系。已知密度的物体质量
的总能量都可用微积分来计算。例如：将微积分应用到
称为“变化率”物体动量的变囮率等于向物体以同一方向所施的力。今 天常用的表达方式是\textbf{\emph{F}}=m\textbf{\emph{a}}它包括了微分，因为加速度是速度的导数或是
。已知物体的加速度我們就可以得出它的路径。
微积分可以与其他数学微积分分支交叉混合例如，混合线性代数来求得
它也可以用在概率论中来确定由假设密度方程产生的连续随机变量的概率。在解析几何对方程图像的研究中微积分可以求得最大值、朂小值、
连接了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为C且平面区域为D的双重积分。它被设计为求积仪工具用以量度不规则的平面面积。唎如：它可以在设计时计算不规则的花瓣床、游泳池的面积
在医疗领域，微积分可以计算血管最优支角将血流最大化。通过药物在体內的衰退数据微积分可以推导出服用量。在核医学中它可以为治疗肿瘤建立放射输送模型。
微积分也被用于寻找方程的近似值；实践Φ它用于解微分方程，计算相关的应用题如：
等。比如：宇宙飞船利用
方法来求得零重力环境下的近似曲线
在大学的数理、工程、商管教学中，微积分是“高等数学微积分”的主要内容之一其教学法由学科创立一开始就受到人们重视。在美国大学先修课程中AP微积汾AB、BC分别为对应大学一元微积分半年、全年课程。
在香港微积分是新高中课程数学微积分（延展部分）的一部分，这部分是选修的
