中的一个二阶微分算子算子定義为
(▽·f)。拉普拉斯算子也可以推广为定义在
拉普拉斯-贝尔特拉米算子中的一个二阶微分算子算子,定义为
是二阶可微的实函数则
的拉普拉斯算子定义为:
的拉普拉斯算子也是笛卡尔
作为一个二阶微汾算子算子,拉普拉斯算子把
≥2时成立算子Δ :
),或更一般地定义了一个算子Δ :
另外,满足▽·▽f=0 的函数f, 称为
代表 x-y 平面上的笛卡尔
在参数方程为(其中以及)的N维球坐标系中拉普拉斯算子为:
是偏微分算子方程的一个类型,简称椭圆型方程这类方程主要用来描述物理中的平衡稳定状态,如定常状态的电磁场、引力场和反应扩散现象等
椭圆型方程是由方程中主部的系数来界定的。對两个自变量的二阶线性或半线性方程
成立的区域内就称方程是椭圆型的。此时可以通过自变量的非奇异变换将方程化为标准型
。该偏微分算子算子的主部是
中每一点都是椭圆型的就称该方程在
线型椭圆型方程的典型代表是拉普拉斯方程(也叫调和方程)
这个算子叫拉普拉斯算子(Laplace operator),也叫调和算子可以说,调和方程是最基本同时也是最重要的线性椭圆型方程。
对于非线性方程也可以定义椭圆型方程。例如考虑二阶实系数拟线性方程
中的拟线性椭圆型方程。类似地可以定义高阶拟线性椭圆型方程。
拉普拉斯算子可以用一定嘚方法推广到非欧几里德空间这时它就有可能是椭圆型算子,双曲型算子或超双曲型算子。
在闵可夫斯基空间中拉普拉斯算子变为達朗贝尔算子。