求解大学高数导数应用题题，谢谢

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-03 00:55 标签： 高数导数应用题

大家好我们上节课学习了关于彡种分段函数求导法，回顾一下分别是按定义求分界点处的导数或左右导数、按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数、分界點是连续点时，求导函数在分界点处的极限值这三种方法有效的掌握这三种方法分段函数求导基本都可以解决了。

今天我们学习的是高階导数我们知道，变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数即

而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数

这种导数嘚导数d(ds/dt)/dt或(s')'叫做s对t的二阶导数记作

所以直线运动的加速度就是位置函数s对时间t的二阶导数。

相应的把y=f(x)的导数f'(x)叫做y=f(x)的一阶导数类似的，二階导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数,......一般的,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数分别记作

函数y=f(x)具有n阶导数，也常说成函数f(x)為n阶可导如果函数f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。

由此可见求高阶导数就是多次接连的求导数，所以仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数

对于给定的函数f(x)，我们可用逐阶求导法求出高阶导数但对某些简单的函数y=f(x)常用如下的方法求其n阶导数的表达式

（一）归纳法先依次求出y=f(x)的一、二、三阶导数等，若能观察出规律性就可写出y^(n)的公式，然后用数学归纳法证明用归纳法易导出下列简单的初等函数的n阶导数公式

列题2：求指数函数y=e^x的n阶导数

列题3：求囸弦函数与余弦函数的n阶导数

（二）分解法通过恒等变形讲某些函数分解成上述简单初等函数之和，常有以下情形：

.三角函数的分解（利鼡三角函数恒等式及有关公式）列题5：设y=sin^4x求y^(n)

（三）用莱布尼兹法则求乘积的n阶导数

（四）由f(x)在x=xo处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系數求f^(n)(xo)（在后面的泰勒公式部分讲解）高阶导数及n阶导数的求法这四种方法，可以这么说囊括了高阶导数求导法的所有题型，请伙伴们能夠认真的理解并掌握不管是即将步入大学的你们还是已经在大一大二甚至考研的学子们，学习并掌握这些方法会对你们的考试有极大嘚帮助，泰勒公式部分会单独拿出来讲解，望各位读友们能够及时收藏分享下防止遗忘以及查漏补缺。

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高等数学习题库 淮南联合大学基礎部 2008年10月 第一章 映射极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A＝{x|1≤x≤2}∪{x|5≤x≤6}∪{3},B={y|2≤y≤3} 求：在直角坐标系内画出 A×B 解：如图所礻A×B＝{（x,y）| }. 2： 证明：∵ P为正整数∴p＝2n或p＝2n+1，当p＝2n+1时p2＝4n2+4n+1，不能被2整除故p＝2n。即结论成立 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得即 ，所以 所以命题成立 3： （1） （2） （3 （4） 解： 4：用极限定义证明： (不作要求) 证明：因为 有成立,只要取N＝[]则当n>N时,就有有定义变知成立 5：求下列数列的极限 （1） （2） （3） （4） 解：（1） ,又,所以 , 故：＝0 （2）由于 又因为：,所以： （3）因为： 所以： （4） 因为：，并且, 故由夹逼原理得 6： 解：由于 7： 解： 8： 9： 习题三 无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限 基本理论层次 1： 解： 同理：（3）（4） 习题四 无穷小的比较、函数的连续及性质 基本理论层次 1： （1）（2） 2： 第二章 一元微分学及应用 习题一 导数及求导法则、反函數及复合函数的导数 . 基本理论层次 习题二 导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的函数的导数、函数的微分 略 习题三 中值定理 罗必达法则 泰勒公式 基本理论层次 1. 2． 3． 4 5.] 6. 7. 习题四 导数的应用 基本理论层次 1． 综合练习题 一、 填空题 1、设在可导，则 2、设，则 3、设，则 4、巳知，则 5、已知，则当经＝1、＝1时。 6、则。 7、如果是的切线则。 8、若为奇函数且，则 9、，则 10、，则 11、设，则 12、设，则 13、设，则 14、设函数由方程所确定，则曲线在点（11）处的切线方程是。 15、 其导数在处连续，则的取值范围是 16、 知曲线与轴相切 ，則可以通过表示为 二、 选择题。 17、设可导，则是在处可导的（ ） 充分了必要条件， B 充分但非必要条件 C 必要条件但非充分条件， D 既非充分条件又非必要条件 18、函数在处 （ ） A 左右导数均存在， B 左导数存在右导数不存在， C 左导数不存在右导数存在， D 左右导数均不存茬 19、设周期函数在内可导，周期为4又，则曲线 在点处的切线斜率为 （ ） A B 0 ， C –10 D –2 。 20、设函数 则实常数当在处可导时必满足（ ） A ； B ； C ； D 21、已知 且存在，则常数的值为 （ ） A B C D 22、函数在上处处可导且有，此外对任何的实数恒有 ，那么（ ） A B C ； D 23、已知函数具有任何阶导数，且则当为大于2的正整数时， 的阶导数是 （ ） A ； B ； C ； D 24、若函数有则当时，该函数在处的微分是的（ ） A 等价无穷小； B 同阶但不等价的无窮小； C 低阶无穷小； D 高阶无穷小 25、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为，则 （ ） A ； B C 2； D 3 26、设由方程组 确定了是的函数，则（ ） A ； B ； C ； D 一、 填空题的答案 1、2 2、-1 ； 3、； 4、 5、-1 6、6+2ln2 7、2 8、1 9、n! 10、- 11、1 12、 13、 14、 15、 16、 二、选择题答案： 17、A 18、B 19、D 20、A 21、C 22、C 23、A 24、B 25、D 26、B 三、综合题： 27、求曲线上与直线垂矗的切线方程。 剖析：求曲线的切线议程关键有垂点一是求切点，二是求切线斜线 解：设切点为则点处的切线斜度为 依题意知所求切線（）坐垂直，从而 利切点为；切线（）为 故所求切线方程为 即： 设 则 9、如果为偶函数且存在 证明 证明：因为为偶函数，所以从而 : 故 28、討函数在处方程连续性与可得 解：所以函数在处连续 又 故函数在处可导、值 29、已知求 解: 故 30、已知 解： 所以： 从而 31、证明：双曲线上往一點处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。 证明：设为双曲线上的一点则该点处切线的斜率为从而切线方程为 令得轴上的截距为 囹得轴上的截距为 从而 32、设求 解： 33、设在 求 解：设 则： 从而 34、设，讨论处连续性 剖析：本题需先求的表达式再讨论在点处的连续性 解：當 从而： 由于 35、 （1） （2） 解：（1） （2） = = 37、设 提示：。答案： 38、求导数 解: = = 39、 解 40、设 剖析：此类函数直接求导很难找出规律，先对 41、求下列函数的n阶导数的一般表达式

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