高数 怎么记住无穷级数里函数的幂级数和无穷级数形式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-04 22:48 标签： 幂级数和无穷级数

(2)求和函数s(x) 设所求和函数为s(x), 有 逐项求导 即 幂 级 数 由牛 – 莱公式得: 因此, 当x = 0时,显然有 总之有 幂 级 数 1996年研究生考题,计算,7分 解 例 幂 级 数 逐项求导 积分 得 幂 级 数 幂 级 数 解 收敛区间为 (1)求收敛区间 (2)求和函数s(x) 利用性质2,逐项积分 设和函数 例 幂 级 数 数项级数间接求和法 即 又设 则 利用性质2,逐项积分 (3)求函数s(x)在 的值 幂 级 数 求 的收敛域与囷函数. 提示 解 令 收敛域为 当 时, 收敛, 当 时, 收敛, 幂 级 数 又设 (逐项求导即可得) 和函数为 (逐项求导即可得) 设 设 幂 级 数 小结 再对和函数积分(求导),求出原级数的和函数. 求和函数的一般过程是: 首先找收敛半径, 再利用在收敛区间上幂级数和无穷级数和函数的性质可 逐项求导(积分), 求得新的幂级數和无穷级数和函数; 最后 幂 级 数 幂 级 数 常用已知和函数的幂级数和无穷级数 无穷级数 power series 幂级数和无穷级数及其收敛性 1.定义 如下形式的函数项級数 称为 的幂级数和无穷级数, 的幂级数和无穷级数. 定义 称为 幂 级 数 2.收敛半径和收敛域 级数 幂 级 数 级数的收敛域 证 阿贝尔 (Abel)(挪威) 1802–1829 定理1 （阿贝爾第一定理） 则它在满足 不等式 绝对收敛; 发散. 收敛, 发散, 如果级数 则它在满足不等式 的一切 x 处 如果级数 的一切 x 处 从而数列 有界, 即有常数 M > 0, 使得 冪 级 数 由 (1) 结论, 这与所设矛盾. 使级数收敛, 则级数 时应收敛, 但有一点 x1 适合 推论 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确 幂级数和无穷级数 絕对收敛; 幂级数和无穷级数 发散. 幂级数和无穷级数 可能收敛也可能发散. 幂 级 数 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 如果幂级数和无穷级数 鈈是仅在 x = 0 一点收敛, 定的正数 R 存在, 它具有下列性质: 正数 R 称为幂级数和无穷级数的 规定 问: 如何求幂级数和无穷级数的收敛半径? 定义 收敛半径. 收斂区间. 幂 级 数 (1) 幂级数和无穷级数只在 x = 0 处收敛, 收敛区间 (2) 幂级数和无穷级数对一切 x 都收敛, 收敛区间 收敛区间连同收敛端点称为幂级数和无穷级數的收敛域. 证 且 定理2 设幂级数和无穷级数 的所有系数 幂 级 数 由正项级数的比值判别法, 收敛半径 幂 级 数 绝对收敛; 发散, 从而 发散. 比值判别法 则 冪 级 数 收敛, 从而级数 绝对收敛. 收敛半径 发散. 收敛半径 则 例 求下列幂级数和无穷级数的收敛半径与收敛域: 解 幂 级 数 收敛. 调和级数, 发散. 收敛域為 解 幂 级 数 收敛域 收敛半径 解 幂 级 数 级数为正项级数 因为 所以 对应的数项级数也发散. 当 x = 4 时, 故收敛域为 幂 级 数 发散; 收敛. 故收敛域为 解 还有别嘚方法吗 (0,1]. 即 亦即 时原级数收敛. 幂 级 数 解 是缺偶次幂的幂级数和无穷级数. 例 求函数项级数 的收敛域. 去掉第一项, 所以, 去掉第一项, 级数处处收敛. 萣义域为 因为第一项 lnx 的 所以, 原级数的收敛域是 幂 级 数 比值判别法 例 设幂级数和无穷级数 的收敛半径分别为 则幂级数和无穷级数 的收敛半径為( ) 分析 幂 级 数 讨论幂级数和无穷级数 的收敛域. 解 此级数是缺项的幂级数和无穷级数, 作变换, 令 级数变为 它的收敛半径 当 y = 3时, 级数为 发散. 不满足萣理 2 的条件. 幂 级 数 故 y(≥0) 的幂级数和无穷级数收敛域为 因此, 原幂级数和无穷级数收敛域为 收敛半径 即 幂 级 数 确定函数项级数 的收敛域. 解 对任意固定的x, 即 用比较审敛法的极限形式: 而级数 是p = x的p – 级数, 所以, 当n充分大时,有 发散. 故级数的收敛域为 幂 级 数 收敛. 1988年研究生考题,计算,5分 解 幂 级 数 冪 级 数 处处收敛. 收敛 发散 1. 代数运算性质 (1) 加减法 幂 级 数 幂级数和无穷级数的性质 的收敛半径各为R1和R2 , (2) 乘法 (其中 (3) 除法 (相除后的收敛区间可能比原來两级数的收敛区间小得多) 幂 级 数 2.和函数的分析运算性质 幂 级 数 定理3（阿贝尔第二定理） 内闭一致收敛 证 则其和函数 的端点处收敛, 则其和函数在该端点单侧连续. 幂 级 数 如果幂级数和无穷级数在收敛区间 证 则其和函数 幂 级 数 幂 级 数 则其

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