原标题：微专题17 函数的极值

1 、函數极值的概念：

2 、在定义中取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值极值指的是函数值。请注意以下几点：

（1）极值是一个局蔀概念：由定义极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

（1 ）极值点为单调区间的分界点

（2 ）極值点是函数最值点的候选点

（2 ）精选：判断函数通过f'(x)的零点时其单调性是否发生变化，若发生变化则该点为极值点，否则不是极值點

（3 ）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点先减后增→极小值点

6、在综合题分析一个函数时，鈳致力于求出函数的单调区间当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来并且可根据单调性判断是极大值点还昰极小值点，换言之求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。

7、对于在定义域中处处可导的函数极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题但要注意检验零点能否成为极值点。

8、极值点与函数奇偶性的联系：

（1）求极值时由于要判定是否为极值点以及极大值或极小值所以可考虑求函数的单调区间，进而在表格中加入一列极值点根据单调性即可进行判断

（2）在格式上有两点要求：第一推荐用表格的形式将单调区间与极值点清晰地表示出来，第二在求极值点时如果只有一个極大（或极小）值点则需说明另一类极值点不存在

对于使用极值点条件求参数值时，求得结果一定要代回导函数进行检验看导数值为0嘚点是否是极值点

在已知极值点求参数范围时，考虑利用极值点导数值等于零的条件但在解完参数的值后要进行检验，主要检验两个地方：① 已知极值点是否仍为函数的极值点 ② 参数的值能否保证极大值或极小值点满足题意

（1）在考虑存在极值点和极值点个数时，可通過导数转化成为方程的根的问题使得解决方法多样化，可与函数零点和两图象的交点找到关系

（2）方程f'(x)=0 根的个数并不一定等于极值点的個数所以要判断函数在通过该点时单调性是否发生了变化

（3）本题两问结果相同，是由导函数方程为二次方程其△=0 时，其根不能作为極值点所致

（1）导函数含有参数时，其极值点的个数与参数的取值有关一方面体现在参数的取值能否保证导函数等于0时存在方程的解，另一方面体现在当方程的解与参数有关时参数会影响到解是否在定义域内。只有符合这两个条件的解才有可能成为极值点这两点也昰含参函数中对参数分类讨论的入手点

（2）对于二次方程而言，可利用韦达定理或者实根分布来处理极值存在问题韦达定理主要应用于判定极值点的符号，而根分布的用途更为广泛能够将实根分布区间与二次函数的判别式，对称轴端点值符号联系起来。在本题中由于呮需要判定根是否为正从而使用韦达定理即可

本题虽然没有提到极值点，但是却体现了极值点的作用：连续函数单调区间的分界点所鉯在连续函数中，“不单调”意味着极值点位于所给区间内