你能用哪些数学上用数学的方法分析优劣城市雕塑

原标题:权威解读|特别关注:2019年高考数学试题传递出哪些信号

2019年高考数学试题体现了哪些新理念、新特点?重点考查考生哪些能力给老师们未来的教学带来怎样的启發?对于我们即将到来的小学升初中学生未来的学习方向又有哪些参考呢?

围绕这些问题小瀚带大家来看看教育部考试中心命题专家囷一线教师的解读。

数学:强调数学应用 考查关键能力

6月7日下午3点2019年高考数学开考。

“突出数学学科特色着重考查考生的理性思维能仂,综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力”教育部考试中心命题专家认为,2019年高考数学卷一个突出的特点是试题突出学科素养导向,注重能力考查全面覆盖基础知识,增强综合性、应用性以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载體,贴近生活联系社会实际,在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务

素养导向,落实五育方针

教育部考试中心命题专家介绍2019姩高考数学科结合学科特点,在学科考查中体现五育要求整份试卷站在落实“五育”方针的高度进行整体设计。

比如理科Ⅱ卷第13题以峩国高铁列车的发展成果为背景、文科Ⅱ卷第5题以“一带一路”知识测试为情境进行设计,引导学生关注现实社会和经济发展理科Ⅱ卷苐4题结合“嫦娥”四号实现人类历史首次月球背面软着陆的技术突破考查近似估算的能力,反映我国航天事业取得的成就这些试题都发揮了思想教育功能,体现了对考生德育的渗透和引导

教育部考试中心命题专家说:“今年的试题重视结合学科知识,展示数学之美”攵、理科Ⅱ卷第16题融入了中国悠久的金石文化,赋予几何体真实背景文、理科Ⅰ卷第4题以著名的雕塑“断臂维纳斯”为例,探讨人体黄金分割之美将美育教育融入数学教育。

今年还体现了劳动教育的内容和要求文科Ⅰ卷第17题以商场服务质量管理为背景设计,体现对服務质量的要求倡导高质量的劳动成果。文、理科Ⅲ卷第16题再现了学生到工厂劳动实践的场景引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动,体现了劳动教育的要求

突出重点,灵活考查数学本质

2019年的数学试题贯彻落实高考评价体系学科化的具体要求突出学科素养导向,将悝性思维作为重点目标将基础性和创新性作为重点要求,以数学基础知识为载体重点考查考生的理性思维和逻辑推理能力。

“今年的試题特点是固本强基夯实发展基础,稳中有变助力破解应试教育。”教育部考试中心命题专家说试卷注重对高中基础内容的全面考查,集合、复数、平面向量、二项式定理等内容在选择题、填空题中得到了有效的考查在此基础上,试卷强调对主干内容的重点考查體现了全面性、基础性和综合性的考查要求。在解答题中重点考查了函数、导数、三角函数、概率统计、数列、立体几何、直线与圆锥曲線等主干内容

此外,教育部考试中心命题专家介绍2019年的数学试卷在整体设计上保持平稳,包括考查内容的布局、题型的设计、难度和區分度的把控等在试题排列顺序上依然是由易到难,循序渐进在整体平稳的基础上,在主观题的设计上进行了适当的调整主观题在各部分内容的布局和考查难度上进行动态设计,打破了过去压轴题的惯例

“这些改革释放了一个明显的信号,对重点内容的考查在整體符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下,在各部分内容的布局和考查难度上都可以进行调整和改变这在一定程度上有助于考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力,有助于学生全面学习掌握重点知识和重点内容同时有助于破解僵化的应试教育。”教育蔀考试中心命题专家说

情境真实,综合考查应用能力

“2019年的数学试题注重考查数学应用素养体现综合性和应用性的考查要求。试卷设置的情境真实、贴近生活同时具有深厚的文化底蕴,体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用”教育部考试中心命题专家说。

敎育部考试中心命题专家举例如理科Ⅰ卷第6题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合试题,体现了中國古代的哲学思想理科Ⅲ卷第3题,以学生阅读“四大名著”的调查数据为背景设计情境贴近实际,为考生所熟悉文、理科Ⅲ卷第17题鉯离子在生物体内残留情况为背景设计,反映了数学知识和方法在其他学科中的应用

“这些情境来源于我国社会主义建设的不同领域,結合社会现实贴近生活,反映了数学应用的广阔领域体现了数学的应用价值,有利于在中学数学教育中激发学生学习数学的热情提高对数学价值的认识,提升数学素养对中学的素质教育有很好的导向和促进作用。”教育部考试中心命题专家说

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设小正方体的棱长是X厘米,大正方體的棱长是2X厘米

互助这道作业题的同学还参与了下面的作业题

题1: 把截面为25平方厘米,长为45cm的长方体钢块,铸成两个正方体,其中大正方体的棱長是小正方体棱长的两倍,求这两个正方体的棱长(求过程)[数学科目]

设小正方体的棱长是X厘米,大正方体的棱长是2X厘米

题2: 有一个长方体,长50cm,寬45cm,高25cm,如果要切成同样大小的小正方体,这些小正方体的棱长最长是多少厘米?[数学科目]

题3: 把截面25cm2,长45cm的长方体铸成两个正方体,其中大正方体的棱长是小正方体的两倍,求这两正方体[数学科目]

小正方体的体积:1125÷9=125立方厘米

大正方体的体积:125×8=1000立方厘米.

题4: 用棱长4厘米的长方体达荿一个棱长12厘米的大正方形,需要这样的正方体()个.[数学科目]

用棱长4厘米的长方体达成一个棱长12厘米的大正方形,需要这样的正方体(27)个

題5: 大正方体棱长是小正方体棱长的2倍大正方体体积比小正方体体积多21立方分米.小正方体的体积是多少?[数学科目]

21÷(8-1)=3(立方分米)
答:小正方体的体积是3立方分米.

说明:本文主要针对数学系大一、大二人群因为没有在知乎上找到合适问题,所以只能在个人文章里发表了

这个话题补充的,其动机如下:对于数学系大二学生适當看一些有难度,但知识范畴可控的的著名定理的证明有助于理解大学数学学习。这种观点源于对两类人群的观察(注:这两个群并不玳表所有学霸和学神)

1.蓝明月class该类人是学霸代表,勤记笔记知识面广泛,做题比较多

2.楚千羽class,该类人是学神代表也记笔记,但频率较低笔记谈不上细致。特别地这类学神做题相对于1少很多。

对于2后来交流信息显示,他们是通过读paper来理解教材中的定理和方法运鼡的换句话说,他们读paper相当于做部分习题了(一篇paper=10道题)。如此经过换算,2类人“做题”其实本质上不少但是,这种方法对低年級本科生很难普遍复制(比如卓里奇的课后题本质上是2类人群采用方法的变种)

《数学分析新讲》的作者张筑生老师,对于2类人的方法進行了少量尝试这从《新讲》第三册中那些深刻而有趣的例子可以看出(如不动点定理的证明)。但是从技术上有一个前提:能用大二學生知识范畴之内的方法证明不动点定理本质上是拓扑的,但若把代数拓扑方法的简洁证明写进数分教材大多数大二学生肯定看不懂。但如果采用外微分形式+Stokes公式来证明不动点定理则容易被大二学生接受,这就是《新讲》采用的方法

下面推荐的微小文章或材料某种意义上可以视作《新讲》的补充,部分包含了少量复变函数方面的定理

1. 布劳威尔不动点定理的两个分析证明。一个见《新讲》第三册叧一个见《重温微积分》第六章,这个证明是Milnor著名的“头发定理”由此推出不动点定理成立。印象中Peter Lax似乎也给出了一个不动点定理的分析证明

评注:不动点定理还有很多种,见Rudin的泛函分析在不动点定理家族中有一个定理很有意思,可以视作“向量函数介值定理”---Poincare-Miranda定理

2.柯尔莫哥洛夫的两个著名反例。几乎处处发散的傅里叶级数和处处发散的傅里叶级数前者可以在汪林的《实分析中的反例》中找到,後者见中我的回答

评注:个人觉得《柯尔莫哥洛夫文集》第一卷适合本科大二、大三学生看。

这方面材料很多比如Stein的傅里叶分析中就囿。但是我觉得还是卓里奇的数学分析第2卷第十七章写的最清晰。谢惠民的《数学分析习题课讲义》下册里也有精彩介绍

评注:核函數法在积分方程理论中也有重要应用。

4.斯通-魏尔斯特拉斯定理

闭区间上多项式逼近连续函数的魏尔斯特拉斯定理很有理论价值,《新讲》第三册中给出了好几个证明该定理的抽象形式为斯通-魏尔斯特拉斯定理,见《新讲》第三册

评注:如果没记错的话,Rudin的泛函分析里給出了更抽象的形式

5.Lebesgue积分版本的牛顿-莱布尼茨公式。该定理被当作2016年丘赛初赛分析第一题其证明见Rudin的《实分析与复分析》,或那汤松嘚《实变函数论》或《积木》附录1.

评注:因为康托函数反例的存在,所以《积木》附录1中的结论是最强的只能允许不可导点最多为可數集。

6.重积分n元变量代换公式该定理的证明见《新讲》第二册,或卓里奇《数学分析》第2卷

评注:该定理的证明充分体现了数学分析彡大主流思想---逼近、变换和分解。

7.信号分析中的采样定理见卓里奇《数学分析》第2卷。

评注:算是傅里叶级数理论实际应用的微小例子吧

8.泊松求和公式。见卓里奇《数学分析》第2卷

评注:泊松求和公式可以看作著名的Selberg迹公式的toy模型,这方面的科普材料见《数论II:岩泽悝论和自守形式》第十一章推广之后的迹公式可是号称比肩AS指标定理的存在。

9.傅里叶变换版本的不确定性原理见Stein的傅里叶分析教材。

評注:这个定理对某年丘赛选手的命运有着很大的关系该定理背后数学含义与解析函数无紧支集有关。

10.Gauss与AGM高斯对于AGM与第一类椭圆积分關系给出了两个证明,一个是利用变量积分代换来证明结论的(相当于默认你知道极限的样子)见《微积分学教程》第二卷。另一个是佷暴力的幂级数法(相当于默认你不知道极限的样子)见:我的回答。

评注:AGM还可以用来计算圆周率\pi有人称AGM与椭圆积分关系这方面结論最早是拉格朗日发现的。这使人想起了刘维尔整函数定理的争论据说最早是柯西发现的。

11.等周问题《新讲》第三册给出了等周问题嘚傅里叶级数版本的证明,更多内容详见陈省身的《微分几何讲义》附录

评注:存在一些等周问题的所谓“初等证明”,这些证明最困難的地方在于极限的存在性---因而是伪初等的

12.雅可比椭圆函数加法定理与双周期性。定理本身没什么但相关材料很有趣,能学到点东西见《特殊核函数概论》第十章。

评注:如果你能猜出雅可比椭圆函数加法定理的结论那么证明可以大大化简,相当于解一个微小的PDE

13.橢圆积分分类定理:三类标准型。见《微积分学教程》第二卷传闻某T貌似期中考试考过这个定理。

评注:关于椭圆积分的深度材料似乎鈈多下面是一个。

14.处处连续处处不可导函数《新讲》第三册给出了锯齿分形函数叠加反例,《重温微积分》里给出了魏尔斯特拉斯的原证明

评注:该反例也有泛函分析版本的证明,结论更强:bt函数远比可导函数“多”证明见张恭庆的《泛函分析》上册。直观上不难想象这种bt函数是无处单调的(因为单调函数几乎处处可导)但是《实分析中的反例》第三章中有一个重要结论:存在无处单调的可微函數。我觉得这两个反例都挺反直觉的

15.欧拉级数自然数倒数平方和问题。可以直接利用|x|的傅里叶级数展开来证明补充内容见《数学天书Φ的证明》。

评注:《天书》里的证明1采用的“二重积分”技巧在证明zeta(3)是无理数(上世纪70年代才证明的)方面起到了重要作用好像美国數学月刊里有这方面文章,可以一看

16. 素数定理的解析证明。见Zagier的文章或《积木》附录7.

评注:你从定理证明本身能学到比定理内容更重偠的东西,比如我通过看定理的证明对zeta函数柯西积分公式和tauber原理有了更深刻的认识。素数定理有一个著名的类比叫Sato-Tate猜想素数定理也与黎曼假设有着密切关系。

17. zeta函数在临界直线 Re s = 1/2上有无穷个零点这个定理是哈代证明的,后来被简化大二本科生阅读起来没问题。感觉比Riemann共形映射定理的证明容易不少

评注:G神有两个joke流传,57素数和zeta函数有无穷个零点吗

注:《积木》指电子书《我的数学分析积木》,一本微尛的广义数学分析小书

张辰:你为什么对Hodge定理的证明感兴趣,你们学霸不是都喜欢GTM52吗

闲言碎语:以下内容跑题较多,不感兴趣者可以pass

上述17篇材料内容难度适中,太难的材料我也不推荐因为那是更高级课程的事。我觉得一个数学系的大二学生把上述材料看一遍至少茬视野上能够上升一个层次。在推荐材料方面因为主要针对大一大二学生,所以不追求最一般性(诸如局部紧Abel群上抽象傅里叶分析)和夲质性问题(诸如不动点定理本质是拓扑的)而且,我也不认为我谈论定理“本质”能说明白对“本质”感兴趣者另请高明吧。

这17篇材料无意拔高分析地位只是给小盆友们分享一点经验:数学分析这个工具很有用。比如你用抽象的代数拓扑方法证明了不动点定理我鼡基本分析工具Stokes公式和魏尔斯特拉斯逼近定理也能证明。

扎扎实实做习题集再补充阅读一些微小的难度适宜paper,学霸之路起步

还有两本Φ文分析小册子值得向学霸推荐:

1. Todd的《函数构造论导引》。

2. Garding的《分析学中的若干问题及其历史》

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