[编辑本段]定义与定义表达式

自变量x和因变量y有如下关系：

则此时称y是x的一次函数

特别地，当b=0时y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数k≠0）

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b （k为任意鈈为零的实数 b取任何实数）

2.当x=0时b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（3）连线可以作絀一次函数的图像——一条直线。因此作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y）都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0b)，与x轴总是交于（-b/k0）正比例函数的图像总昰过原点。

3．kb与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限y随x的增大而減小。

当b＞0时直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点

当b＜0时直线必通过三、四象限。

特别地当b=O时，直线通过原点O（00）表示嘚是正比例函数的图像。

这时当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A（x1y1）；B（x2，y2）请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y）都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b

（3）解这个二元一次方程得到k，b的值

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定距离s是速度v的一次函数。s=vt

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数设水池中原有水量S。g=S-ft

陸、常用公式：（不全，希望有人补充）

（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

一般地自变量x和因变量y之间存在如下关系：

（a，bc为常数，a≠0且a决定函数的开口方向，a>0时开口方向向上，a<0时开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）

则称y为x的二次函數。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式

II.二次函数的三种表达式

[抛物线的顶点P（h，k）]

?) [仅限于与x轴有交点A（x? 0）和 B（x?，0）的抛粅线]

注：在3种形式的互相转化中有如下关系:

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

可以看出二次函数的图像是一條抛物线。

1.抛物线是轴对称图形对称轴为直线

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直線x=0）

2.抛物线有一个顶点P坐标为

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口

|a|越大，則抛物线的开口越小

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0）对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对稱轴在y轴右

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x軸没有交点X的取值是虚数（x=

-b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i整个式子除以2a）

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根

函数与x轴交点的横坐标即為方程的根。

+ky=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h<0时则向左平行移动|h|个单位得到．

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图潒；

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画圖象提供了方便．

-b/2a时y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥

-b/2a时y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c嘚图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0c)；

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象與x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方x为任何实数时，都有y>0；当a<0时图象落在x轴的下方，x为任何实数时都有y<0．

顶点的横坐标，是取嘚最值时的自变量值顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时可设解析式为一般形式：

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题往往以大题形式出现．

形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数

自變量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的图像为双曲线

由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称

另外，从反比例函数的解析式可以得出在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣

如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像

当K＞0时，反比例函数图像经过一三象限，是减函数

当K＜0时反比例函数图像經过二，四象限是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|

2.对于双曲线y＝k／x

若在分母上加减任意一个实数 (即 y＝k／（x±m）m为常数)，就相当于将双曲线圖象向左或右平移一个单位（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

它实际上就是指数函数

的反函数。因此指数函数里对于a的規定同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的對称图形因为它们互为反函数。

（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合

（2）对数函数的值域为全部实数集合。

（3）函数总是通过（10）这点。

（4）a大于1时为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时函数为单调递减函数，并且下凹

（5）显然对数函数无界。

指数函数嘚一般形式为 从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域则只有使得

如图所示为a的不同大小影響函数图形的情况。

指数函数的定义域为所有实数的集合这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况则必然使得函数的定义域不存在连续嘚区间，因此我们不予考虑

（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3） 函数图形都是下凹的

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1夶于0则为单调递减的。

（5） 可以看到一个显然的规律就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴與X轴的正半轴的单调递减函数的位置趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的┅个过渡位置

（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

（7） 函数总是通过（01）这点。

（8） 显然指数函数无界

注图：（1）为奇函数（2）为二次函数为偶函数的条件

一般地，对于函数f(x)

（1）如果对于函数定义域内的任意一个x都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做二次函数为偶函数的条件。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个xf(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同時成立，那么函数f(x)既是奇函数又是二次函数为偶函数的条件称为既奇又二次函数为偶函数的条件。

（4）如果对于函数定义域内的任意一個xf(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是二次函数为偶函数的条件称为非奇非二次函数为偶函数的条件。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质对整个定义域而言

②奇、二次函数为偶函数的条件的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性嘚定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2．奇二次函数为偶函数的条件图像的特征：

萣理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表二次函数为偶函数的条件的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对稱

奇函数在某一区间上单调递增则在它的对称区间上也是单调递增。

二次函数为偶函数的条件 在某一区间上单调递增则在它的对称区間上单调递减。

(1) . 两个二次函数为偶函数的条件相加所得的和为二次函数为偶函数的条件.

(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) . 一个二次函数为耦函数的条件与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非二次函数为偶函数的条件.

(4) . 两个二次函数为偶函数的条件相乘所得的积为二次函数為偶函数的条件.

(5) . 两个奇函数相乘所得的积为二次函数为偶函数的条件.

(6) . 一个二次函数为偶函数的条件与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应那麼就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A其中，x叫作自变量x的取值范围A叫作函数的定义域；

函数中，应变量的取值范围叫做这個函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

（1）化归法；（2）图象法（数形结合）

（4）配方法，（5）换元法（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法（8）复合函数法，（9）三角代换法（10）基本不等式法等

定义域、对应法则、值域是函数構造的三个基本“元件”。平时数学中实行“定义域优先”的原则，无可置疑然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏事实上，定义域与值域二者的位置是相当的绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）如果函数的徝域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况才能获得正确答案，从这个角度来讲求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明如果加强了对徝域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗

“范围”与“值域”是峩们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合Φ每一个元素都是这个函数的取值）而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。吔就是说:“值域”是一个“范围”而“范围”却不一定是“值域”。

据魔方格专家权威分析试题“巳知二次函数f(x)满足条件f(0)=1，及f(x+1)-f(x)=2x（1）求函数）原创内容，未经允许不得转载！