A为四n阶实对称矩阵的秩阵且A²＋A=O，A的秩为3，求正交变换二次型f（x1，x2…xn）=XAX的标准型

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-02-04 12:44 标签： n阶实对称矩阵的秩

实际上就是求矩阵A的特征值
因为AΦ各行元素之和为3
所以(1,1,1)T是属于特征值3的一个特征向量

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（1）因为r（A）=2故：|A|=λ1λ2λ3=0．有巳知条件，λ1=1λ2=2，故有：λ3=0．为求解Ax=0只需求解矩阵A对应于λ3=0的特征向量．由于特征值λ3=0为A的单重特征值，故A对应于λ3=0的特征向量只有┅个设为：...

（1）因为A有特征值λ1=1，λ2=2且r（A）=2，故A有特征值λ3=0且A对应于λ3=0的特征向量只有一个；由α1、α2、α3两两正交可得α3，向量α3即为Ax=0的解；（2）由α1α2，α3单位化即得正交变换由A的特征值可得其标准形．

用正交变换法化二次型为标准形；正交变换嘚性质；实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．

本题的关键在于由α1、α2、α3两两正交确定a与α3的值，进而可以确定Ax=0的基础解系与正交变换矩阵Q．

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考研 线数 二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为1,A的各行元素之和为3,则f在正交变换x=Qy下的标准型为?

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