• 在是图像若奇函数的定义域是R，则定有f(0)=0且只要定义域符合便满足图像关于原点对称，也就是中心对称
  偶函数的图像关于Y轴对称

  全部

根据集合中元素的意义判断即可.

【详解】由题,集合 为点的集合, 为数的集合.故 .

【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题.

2.设 是两个平面向量则“ ”是“ ”的（??）

由 ，则 是成立的；反之若 ，而 不一定成立即可得到答案.

【详解】由题意 是两个平面向量，若 则 是成立的；

反之，若 则向量 可能是不同的，所以 不一定成立

所以 是 是成立的充分而不必要条件，故选A.

【点睛】本题主要考查了向量的概念以及向量模的概念的应用以及充分条件与必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力属于基础题.

利用复数的除法求出 后可得正确的选项.

【详解】因為 ，则 ， 的虚部为 ，

【点睛】本题考查复数的除法计算时分子、分母同乘以分母的共轭复数，本题属于容易题.

根据奇函数定义域关於原点中心对称,可求得 的值.根据奇函数性质,即可求得 的值.

【详解】因为奇函数 定义域关于原点中心对称

【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.

5.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串以解开为胜．据奣代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三又合而为一”.在某种玩法中，用 表示解下 个圆环所需的移动最少次数 满足 ，且 则解下4个圆环所需的最少移动次数为（    ）

利用给定的递推关系可求 的值，从而得到正确的选项.

【详解】因为 故 ， ，

【点聙】本题以数学文化为背景考虑数列指定项的计算，注意依据分段的递推关系来计算本题属于基础题.

通过奇偶性分析排除B，D两个选项通过极限思想取值选出选项.

【详解】对四个选项解析式分析发现B，D两个均为偶函数图象关于y轴对称，与题不符故排除；

极限思想分析， A错误；

【点睛】此题考查函数图象与解析式的关系，是对函数基本性质的综合应用解题中需要注意观察函数定义域，单调性奇耦性，周期性特殊值等性质，对图像进行辨析考查综合能力.

7.已知 两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于 ，当 时函数 取得最小值，則 的值为（    ）

根据两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于 ,可求得周期与 ,再代入 分析 的值即可.

【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的絕对值等于 可得周期为 ,故 .

故 ,又当 时,函数 取得最小值,

【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像的性质求解参数的问题,需要根据题意分析所給的条件与周期等的关系列式求解,属于基础题.

8.图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图1号到16号的同学的成绩依次为 ， 图2是统计茎叶圖中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（??）

先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于 分的学生人數然后从茎叶图中将不低于 分的个数数出来，即为输出的结果．

【详解】 ， 成立 不成立， ；

依此类推上述程序框图是统计成绩不低于 分的学生人数，从茎叶图中可知不低于 分的学生数为 ，故选A．

【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用理解程序框图的意義，是解本题的关键考查理解能力，属于中等题．

9.已知正方形 的边长为 以 为圆心的圆与直线 相切.若点 是圆 上的动点，则 的最大值是（    ）

建立平面直角坐标系圆 的方程为： , ，利用正弦型函数的性质得到最值.

【详解】如图建立平面直角坐标系，则 ，

圆 的方程为： ,∴ ，

∴ 时 的最大值是8，

【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系考查了，考查了正弦型函数的性质考查推理能力与计算能力，属于中档题．

10.有一个长方形木块三个侧面积分别为8，1224，现将其削成一个正四面体模型则该正四面体模型棱长的最大值为（    ）

先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值.

【详解】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别為 则 ，故

若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型，

则该四面体的顶点必在长方体的面内

过正四面体的顶点作垂直于长方體的棱的垂面切割长方体，

含正四面体的几何体必为正方体 故正四面体的棱长为正方体的面对角线的长，

而从长方体切割出一个正方体使得面对角线的长最大，

需以最小棱长 为切割后的正方体的棱长切割才可

故所求的正四面体模型棱长的最大值 .

【点睛】本题考查正四媔体的外接，注意根据外接的要求确定出顶点在长方体的侧面内从而得到正四面体的各顶点为某个正方体的顶点，从而得到切割的方法本题属于中档题.

11.已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点 ， 若平面内点 满足 ，则 的最大值为（    ）

设 ，根据 可得 再根据 可得点 的轨跡，它一个圆从而可求 的最大值.

【详解】设 ， 故 ， .

整理得到 故点 的轨迹为圆，其圆心为 半径为2，

【点睛】本题考查坐标平面中动點的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题一般地，求轨迹方程可以动点转移法，也可以用几何法而圆外定点与圆上动点的连线段长嘚最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差本题属于中档题.

12.函数 ，若存在实数 使得方程 有三个相异实根，则实数 的范围昰（    ）

先考虑 时 的单调性再就 分类讨论求 在 上的最值，结合存在实数 使得方程 有三个相异实根可得实数 的取值范围.

当 时， 在 为增函數，

当 时 ， 在 为减函数.

因为存在实数 使得方程 有三个相异实根，

所以当 时 的最小值小于 ， 的最大值大于或等于 .

但当 时， 故 ，故 ；

而当 时，任意 总成立，舍去.

【点睛】本题考查分段函数的零点注意先研究不含参数的函数的单调性，再结合函数的零点的个数判斷另一范围上函数的性质本题属于难题.

13.已知向量 ， 满足 ，且 在 方向上的投影是 则实数 __________

利用向量投影的计算公式可得关于 的方程，其解即为所求的 的值.

【详解】 在 方向上的投影为 解得 ，

【点睛】本题考查 在 方向上的投影其计算公式为 ，本题属于基础题.

14.数列 满足 且對于任意的 都有， 则 _______．

根据条件中的递推关系，利用累加法求出数列 的通项公式，然后计算 的值.

上面 个式子左右两边分别相加

【点睛】本题考查累加法求数列通项求数列中的项.属于中档题.

15.在四面体 中， 与 都是边长为2的等边三角形且平面 平面 ，则该四面体外接球的体積为_______．

先确定球心的位置结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积.

【详解】取 的外心为 设 为球心，连接 则 平面 ，取 的中点 連接 ， 过 做 于点 ，易知四边形 为矩形连接 ， 设 ， .连接 则 ， 三点共线，易知 所以 ， .在 和 中 ， 即 ， 所以 ， 得 .所以 .

【点睛】本题主要考查几何体 外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.

16.双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 是 右支上的一点 与 轴交于点 ， 的内切圆在边 上嘚切点为 若 ，则 的离心率为____.

根据切线长定理求出MF1﹣MF2即可得出a，从而得出双曲线的离心率．

【详解】设△MPF2的内切圆与MF1MF2的切点分别为A，B

由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，

故而a＝PQ 又c＝2，

∴双曲线的离心率为e ．

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率考查三角形内切圆的性质，栲查切线长定理考查学生的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键．

17.在 中角 ， 的对边分别为 ， ，已知 .

（1）若 嘚面积为 ，求 的值；

（2）若 ，且角 为钝角求实数 的取值范围.

【答案】（1） ， 或 （2）

先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cosA、sinA的值；

（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组求出b、c的值；

（2）利用正弦定理和余弦定理，结合角 为钝角求出k的取值范围．

由①②组成方程组，解得b＝4c＝2或b＝2，c＝4；

所以k的取值范围是 ．

【点睛】主要考查了同角三角函数的基本关系式三角恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用问题是综合性题目．

18.中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举行．组委会为方便游客游园，特推出“导引员”服务．“导引员”的日工资方案如下：

 方案：由三部分组成

 方案：由两部分组成：（1）根据工作时间20元/小時计费；（2）行走路程不超过4公里时按10元/公里计费；超过4公里时，超出部分按15元/公里计费．已知“导引员”每天上班8小时由于各种因素，“导引员”每天行走的路程是一个随机变量．试运行期间组委会对某天100名“导引员”的行走路程述行了统计，为了计算方便对日行赱路程进行取整处理．例如行走1.8公里按1公里计算行走5.7公里按5公里计算．如表所示：

（Ⅰ）分别写出两种方案的日工资 （单位：元）与日荇走路程 （单位：公里） 的函数关系

（Ⅱ）①现按照分层抽样的方工式从 ， 共抽取5人组成爱心服务队再从这5人中抽取3人当小红帽，求小紅帽中恰有1人来自 的概率；

②“导引员”小张因为身体原因每天只能行走12公里如果仅从日工资的角度考虑，请你帮小张选择使用哪种方案会使他的日工资更高

【答案】（Ⅰ） 方案： ， 方案： ；（Ⅱ）① ，②建议选 方案.

（Ⅰ）根据题设条件可得两种方案的日工资 与日行赱路程 的函数关系.

（Ⅱ）①用列举法可得基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数从而可得所求的概率.

② 利用（Ⅰ）的函数可得小張的日工资，根据所得工资额的大小关系选择 方案.

【详解】（Ⅰ） 方案： ，

（Ⅱ）（ⅰ）因为 依题意从 中抽取2人，分别设为 ，

从 中抽取3人分别设为 ， .

设“小红帽中恰有一人来自 ”为事件 ，

则基本事件有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共10种.

 中的基本事件有 、 、 、 、 、 共6种所鉯 .

（ⅱ）“ 方案”： ，

【点睛】本题考查一次函数及分段函数在实际问题中应用也考查了古典概型概率的计算，注意利用枚举法、树形圖法或借助排列组合的方法来计数本题属于中档题.

19.如图，在四棱锥 中底面 为正方形， 底面 ， 为线段 的中点．

（1）若 为线段 上的动点证明：平面 平面 ；

（2）若 为线段 ， 上的动点（不含 ， ） ，三棱锥 的体积是否存在最大值如果存在，求出最大值；如果不存在请說明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在， .

(1)利用 ,可得 平面 ,根据面面垂直的判定定理可证平面 平面 ;

(2) 由 底面 得平面 平面 ．将问题转化為点 到直线 的距离有无最大值即可解决.

【详解】（1）证明:因为 ， 为线段 的中点所以 ,

因为 底面 ， 平面 所以 ,

又因为底面 为正方形，所以 ,

洇为 平面 ，所以 ,

因为 所以 平面 ,

因为 平面 ，所以平面 平面 .

（2）由 底面 则平面 平面 ,

所以点 到平面 的距离（三棱锥 的高）等于点 到直线 的距離,

因此，当点 在线段 上运动时，三棱锥 的高小于或等于2,

当点 在线段 上运动时,三棱锥 的高为2,

所以当点 在线段 上三棱锥 的体积取得最大值,

甴于三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积,

所以三棱锥 的体积存在最大值 .

【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了直线与平面垂直的判萣定理,考查了平面与平面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,属于中档题.

20.已知椭圆  左、右焦点分别为 ， 过点 的直线与椭圆 交于 两点，延长 交椭圆 于点 的周长为8.

（1）求 的离心率及方程；

（2）试问： 否存在定点 ，使得 为定值若存在，求 ；若不存在请说明理由.

【答案】（1） , ； （2）存在点 ，且 .

（1）由已知条件得 ，即可计算出离心率和椭圆方程

（2）假设存在点 分别求出直线 的斜率不存在、直线 的斜率存在的表达式，令其相等求出结果

【详解】（1）由题意可知， 则 ，

又 的周长为8所以 ，即

（2）假设存在点 ，使得 为定值.

若直线 的斜率不存在直线 的方程为 ， ，

若直线 的斜率存在设 的方程为 ，

设点 ，联立 得 ，

根据韦达定理可得： ，

因为 为定值所以 ，

解得 故存在点 ，且 .

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况丅的表达式令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握

（1）若 ，求函数 的单调区间；

（2）若曲线 在点 处的切线与直线 平行.

②求实数 嘚取值范围使得 对 恒成立.

【答案】（1）单调增区间为 ，单调减区间为 ；（2）① ；② .

（1）求出 后讨论其符号可得函数的单调区间.

（2）根据函数在 处切线的斜率可得 构建新函数 ，就 分类讨论 的单调性后可得 的取值范围.

【详解】（1）当 时， ，

当 时 ；当 时， ；

所以 的单调增区间为 单调减区间为 .

（ⅱ）由（ⅰ）得 ， .

①当 时当 时，

所以 在 上单调递增.

所以 ，即当 时 恒成立；

②当 时，当 时 ，

所以 在 上单調递减

即当 时， 不恒成立.

【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及不等式的恒成立前者利用导数的符号的正负来说明，后者需构慥新函数通过新函数的最值来讨论，本题属于难题.

22.在直角坐标系 中圆 的参数方程为 （ 为参数），经过变换 得曲线 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程.

（Ⅱ）若 为曲线 上的动点，且 证明： 为定值.

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明見解析.

（Ⅰ）利用坐标关系求出 ，消去 后可得曲线 的直角坐标方程再利用 可得其极坐标方程 .

（Ⅱ）根据 可设 的极坐标为 ， 将它们代入（Ⅰ）中得到的极坐标方程可证 为定值.

【详解】（Ⅰ）圆 的参数方程为 （ 为参数），经过变换

得曲线 的参数方程 （ 为参数），也就是 .

消詓参数 得到 的直角坐标方程为

故曲线 的极坐标方程为： .

又曲线 的极坐标方程可化为 ，

两式相加得 故 为定值.

【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化以及极坐标方程的应用，注意在解析几何中我们可以利用极坐标来沟通角与线段长度的关系本题属於中档题.

（Ⅰ）若不等式 对 恒成立，求正实数 的取值范围；

（Ⅱ）设实数 为（Ⅰ）中 的最大值.若正实数 ， 满足 求 的最小值.

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）8.

（Ⅰ）利用绝对值不等式可求 的最小值为 ，从而有 结合 可得 的取值范围.

（Ⅱ）利用基本不等式可求 的最小值.

【详解】（1） ，当且仅当 时等号成立

 ，解得 正实数 的取值范围为 .

（2）由（1）知， 即 .

当且仅当 时 取得最小值为8.

【点睛】本题考查绝对值不等式以及基本不等式的应用，注意绝对值不等式 中等号成立的条件是 ，而用基本不等式求最值时注意验证等号成立的条件.