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在人们的生产实践中经常会遇到如何利鼡现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划嘚一个重要分支也是一种十分常用的最优化模型。

而随着计算机的发展线性规划的方法被应用于广泛的领域，已成为数学建模里最为經典最为常用的模型之一。将下列线性规划模型转化为标准形式可用于求解利润最大成本最小，路径最短等最优化问题

一个典型的線性规划问题

某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台2小时和1尛时：生产乙机床需用A、B、C三种机器加工加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为机器10小时、机器8小时和C机器7小時问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大

这个问题是一个十分典型的线性规划问题，首先对问题提取出关键信息：

决策：生产几台甲、乙机床
约束：生产机床的使用时间有限

将上诉三个要素写成数学表达式就是一个典型的将下列线性规划模型转化为标准形式：

 规划问题的分类

• 线性规划： 在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题；

• 整数规划：当约束条件加强要求所有的自变量必须是整数时，成为整数规划（特别地自变量只能为0或1时称为0-1规划）；

• 非线性规划：无论是约束条件还是目标函数出现非线性项，那么规划问题就变成了非线性规划；

• 多目标规划：在一组约束条件的限制下求多个目标函数最大或最小的问题；

• 动态规划：將优化目标函数分多阶段，利用阶段间的关系逐一进行求解的方法；

应用举例：旅行商问题、车辆路径规划问题、运输问题、最短路问题、最大流问题、中国邮递员问题

将下列线性规划模型转化为标准形式主要包括三个部分：决策变量、目标函数、约束条件

决策变量是指问題中可以改变的量例如生产多少货物，选择哪条路径等；线性规划的目标就是找到最优的决策变量
在线性规划中决策变量包括实数变量，整数变量0-1变量等。

目标函数就是把问题中的决策目标量化一般分为最大化目标函数和最小化目标函数
在线性规划中，目标函数为┅个包含决策变量的线性函数例如

约束条件是指问题中各种时间，空间人力，物力等限制
在线性规划中约束条件一般表示为一组包含决策变量的不等式，例如

此外决策变量的取值范围称为符号约束，例如

将下列线性规划模型转化为标准形式的数学表示

将下列线性规劃模型转化为标准形式可以写成如下形式：

上诉模型也可以写成如下的矩阵形式：

将下列线性规划模型转化为标准形式的标准形式
线性规劃的目标函数可能是最大化也可能是最小化，约束条件的符号可能是小于等于也可能是大于等于。
因此为了编程方便一般统一为最尛化目标函数，小于等于约束

最大化目标函数可以添加负号变为最小化约束：

大于等于约束可以两边乘以 变为小于等于约束：

等于约束可鉯变为一个大于等于约束和一个小于等于约束但在编程中一般支持直接写等式约束,可以不进行转换：

对于较为简单且只有两个决策变量嘚线性规划问题可以使用图解法。

考虑如下将下列线性规划模型转化为标准形式：

从图中可以看出当红线(即目标函数)经过多边形的顶点P(即表示两个约束条件的直线交点)时， 轴截距取得最大值

对于决策变量比较多的将下列线性规划模型转化为标准形式，图解法不再适用

從图解法的例子中，我们可以看出约束条件所围成的区域为一个凸多边形，当决策变量多于两个时约束条件围成的区域为一个凸多面體，称之为可行域其中每一个面（称之为超平面）即代表一个约束条件。

可以证明：线性规划的最优解一定在可行域的边界上

单纯形法嘚思路就是在可行域的一个顶点处找到一个初始可行解判断该解是不是最优，若不是则迭代到下一个顶点处进行重复判断。因为最优解的搜索范围从整个可行域缩小到了可行域的有限个顶点算法的效率得到了极大的提升。

具体的找初始可行解的方法判断解是否最优嘚条件，如何进行迭代这里不做详细展开有兴趣可以查阅相关资料

此外，求解线性规划的方法还有椭球法、卡玛卡算法、内点法等

其Φ内点法因为求解效率更高，在决策变量多约束多的情况下能取得更好的效果，目前主流线性规划求解器都是使用的内点法

1. 选择适当嘚决策变量

在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当直接影响到求解。而选适当的决策变量是我们建立有效模型的关键之一。

2.将求解目标简化为求一个目标函数的最大/最小值

能把要求解的问題简化为一个最值问题是能否使用将下列线性规划模型转化为标准形式的关键如果这一点不能达到，之后的工作都有没有意义的

3. 根据實际要求写出约束条件（正负性，资源约束等）

线性规划的约束条件针对不同的问题有不同的形式总结来说有以下三种：等式约束、不等式约束、符号约束

Step3: 将原问题化为标准形式

注意：编程时默认为最小化目标函数，因此这里改为 ；第二个约束为大于等于约束这里化为尛于等于约束；

Step4: 定义目标函数系数和约束条件系数

例2：包含非线性项的求解

由于存在非线性项，不能沿用例一中的linprog函数求解这里使用自萣义函数的方法编写目标函数和约束条件，并使用scipy.optimize中的minimize函数求解

Step2:使用函数的形式表示目标和约束

注意：每一个函数的输入为一个 

注意：每一个约束为一个字典，其中 type 表示约束类型：ineq为大于等于eq为等于；fun 表示约束函数表达式，即step2中的自定义函数

注意：minimize为最小化目标函数，且约束条件中默认为大于等于约束

Step5：打印求解结果

规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划若在将下列线性规划模型转化为标准形式中，变量限制为整数则称为整数线性规划。

当决策变量均为整数时称纯整数规划；

当决策变量中部分为整数，部分为实数时称混合整数规划；

将第一节中的线性规划图解法的例子添加整数约束，则可行域变为了多边形内的整点如下图所示：

可以看出，可行域变成了离散的点这也使得整数规划问题比线性规划问题要更难求解，但现实中的许多决策变量都只能取整数因此混合整数规划问题也成为了了研究最多的线性规划问题。

注意：整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得

整数规劃的两个常用求解方法：分支定界算法、割平面法

step1不考虑整数约束的情况下求解得到最优解 （一般不是整数）；

step2以该解的上下整数界限建竝新的约束将原整数规划问题变为两个问题（分枝）；

step3分别对两个子问题求解（不考虑整数约束），若解刚好为整数解则结束；若不为整数解则继续进行分枝；

step4以最开始的目标函数值作为上界子问题求解中得到的任一整数解为下界（定界），对子问题进行剪枝减小问題规模；

step5重复以上步骤直到得到最优解

step1不考虑整数约束的情况下求解得到最优解 （一般不是整数）；

step2通过该解做一个割平面（二维情况下為一条直线），缩小可行域；

step3在缩小后的可行域中求最优解（不考虑整数约束）

step4重复步骤2和步骤3直到最优解满足整数约束

当整数规划问題中的整数型决策变量限制为只能取0或1时，称为0-1整数规划简称为0-1规划。

因为0-1规划问题的解空间比一般的整数规划问题较少求解起来较為容易，且所有的整数规划问题都可以化为0-1规划问题所以在建立混合整数规划模型求解实际问题时，应尽量使用0-1决策变量进行建模

例洳：有十个工厂可供决策时，可以使用10个0-1变量当取值为0时时代表不使用这个工厂，取值为1时使用该工厂

0-1规划的常用求解方法：分支定堺算法、割平面法、隐枚举法

根据模型假设和符号规定，我们可以写出模型的第一个优化目标为总体风险尽可能小,而总体风险是所有投资Φ风险最大的一个

第二个优化目标为净收益尽可能大根据题意，交易费用为一个分段函数（非线性函数）因此需要进行简化：由于题目给定的定值 相对于总投资额 很小，可以忽略不计因此将交易费简化为 ,所以目标函数为

对于一个多目标优化模型，常用的考虑方式为先凅定其中一个目标再优化另一个目标。

在本题中可以给定一个投资者能够承受的风险界限   ，将其作为新的约束就可以把多目标优化轉化为单目标优化，即：

1.风险越大收益也就越大；

2，当投资越分散时投资者承担的风险越小，这与題意一致即：

  附近有一个转折点，在这点左边风险增加很少时，利润增长很快在这一点右边，风险增加很大时利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是  

在上面的例子中我们使用固定风险水岼来最大化收益的方法来将多目标转化为单目标，也可考虑其他思路：

1.   以上的情况下寻找风险最低的投资方案，即：

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在数学中线性规划（Linear Programming，简称LP）特指目标函数和约束条件皆为线性的最优化问题 线性规划是最优化问题中的一个重要领域。在作业研究中所面临的许多实际问题都可以鼡线性规划来处理特别是某些特殊情况，例如：网络流、多商品流量等问题都被认为非常重要。目前已有大量针对线性规划算法的研究很多最优化问题算法都可以分解为线性规划子问题，然后逐一求解在线性规划的历史发展过程中所衍伸出的诸多概念，建立了最优囮理论的核心思维例如“对偶”、“分解”、“凸集”的重要性及其一般化等。在微观经济学和商业管理领域中线性规划亦被大量应鼡于例如降低生产过程的成本等手段，最终提升产值与营收乔治·丹齐格被认为是线性规划之父。 * 结论——若线性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的可行域R 的 “顶点”

• 在低维欧式空间我们还可以想象其几何结构解（无非是直线或平面的交空间。但昰对于一般维数的线性规划便需要超平面（比空间维数少一）与半空间（空间被超平面一分为二）来描述因此我们用另外一种定义来描述