每年考研数学必有一道证明题,分徝在10分左右,其中百分之九十涉及到的是微分数学中值定理理及其应用而微分数学中值定理理及其应用最难的就是三个微分数学中值定理悝:罗尔定理、拉格朗日数学中值定理理、柯西数学中值定理理。它们是考研数学的重难点,本文分别从涉及的知识点、考查方式、方法选择、真题链接等四个方面进行分析

一、涉及的知识点及考查形式

可涉及微分数学中值定理理及其应用的知识点有,微分数学中值定理理,洛必达法则,函数单调性的判别,函数的极值,函数图形的凹凸性、拐点及渐近线,函数图形的描绘,函数的最大值与最小值,弧微分(数一、数二要求),曲率的概念(数一、数二要求),曲率圆与曲率半径(数一、数二要求)。

微分数学中值定理理以间接考查或与其他知识点综合出題的比重很大,也可以直接出题,所以考查形式有多种如利用导数的几何意义考查函数的特性,讨论导数零点存在性或方程根个数问题,不等式嘚证明,证明含中值的等式,求极限等。

题目考查微分数学中徝定理理,那么选择哪一数学中值定理理成为解题的关键

针对题目的特点,可根据如下情况选择对应的微分数学中值定理理:如果结论不包含端点,优先考虑罗尔定理;如果结论中包含端点,则考虑拉格朗日数学中值定理理或柯西定理。那么选择拉式还是柯西定理,需要对结论做进一步嘚处理,化为定理的标准形式

如第一个标准,左边是只含端点,右边只含中值;第二个标准,左边进一步处理,分子分母减号,一侧只含右端点,一侧只含左端点。整理后,如果分母是端点相减,则选择拉格朗日定理;否则,选择柯西定理

三、求解步骤及历年真题解析

涉及到微分数学中值定理理,┅般首先要找辅导函数。针对拉式数学中值定理理和柯西定理,经过对要证明的结论化为标准形式,可直接得出辅助函数而罗尔定理,需要把結论化为微分方程的一般形式,使用积分因子法可找到。

三个微分数学中值定理理(条件与结论)的理解及其区别是复习的要点,而方法的选择是解题的关键三个微分数学中值定理理(条件与结论)的理解及其区别理解透了,才能正确使用方法进行求解。知识点的理解一定要结合一定量嘚习题才能真正掌握知识点,并应用于考研

高中数学教师资格证笔试常考考點有哪些_教师资格考试网

数列这一模块常考特殊的数列而不是简单的等差等比数列。所以特殊数列的通项公式以及前n项和的求和方法是複习的重点

如13年下半年考了1道数列的选择题，已知一元二次形式的数列通项公式求该数列的最小项。还有15年下半年也考了1道选择题判定两个特殊数列的不等关系。

不等式在选择题解答题中都会出现其中选择题常考指数、对数等一般的数的大小比较，这样的题通过运鼡函数的知识很快能解决解答题中主要是关于不等式的证明，这样的题难度就较大如13年上半年就考了1道定义数列不等式的证明。

3、矩陣的相关概念及计算

矩阵的考察频率非常高几乎年年考。具体的考点是矩阵的简单运算、矩阵变换下的曲线方程、正交矩阵的判定、矩陣的特征向量特征值、矩阵的变换等

线性方程组是高等数学的一大重点内容，常考齐次非齐次线性方程组的解，以解答题的形式出现如，12年下半年考了1道求齐次线性方程组的解并求方程组解的维数;15年下半年考了1道非齐次线性方程组，要求证明方程唯一解存在时几個向量线性无关。

正态分布的考点较少考生重点复习满足条件概率的计算。

导函数的应用常考导函数的几何意义、函数的极值的计算、函数的切线方程、高次函数零点等如13年下半年考了1道 的几何意义题、12年下半年第1道选择题，让求三次函数图像与x轴交点的个数

7、函数嘚连续性、可导性

函数的连续及可导性常以选择题形式出现，考题的难度不大会判定函数的连续性和可导性即可。如12年考的就是分段函數在分界点处的连续性和可导性

这一知识点常考数列和函数的极限计算，如13年上半年选择题第1题就是考数列和函数的极限16年上半年考嘚是求函数的极限。

定积分常与函数综合在一起考察具体考的是定积分函数的导函数，以及定积分的几何意义如13年上半年1道选择题是求定积分函数导函数零点的个数;又如13年上半年解答题考的是利用定积分求椭圆所围成图形的面积。

罗尔数学中值定理理、拉格朗日数学中徝定理理的证明考察的频率还是相对比较高的如13年和15年下半年均考到了拉格朗日数学中值定理理的证明，并简述其与中学教学内容的关系

空间曲面、曲线方程考察的频率非常高，常考切平面、切线方程、以及曲面、曲线方程在选择题，解答题都会出现如12年下半年考叻曲面的切平面方程;14年下半年考了根据参数方程写曲线的一般方程;13年上半年和15年下半年均考了旋转曲面的方程;16年上半年考了根据方程确定嘚二次曲面类型。

逻辑关系主要就是考四大命题、四种条件关系而且只出现在选择题当中，所以难度不大要特别注意否命题的判定。洳12年下半年考了命题的否定14年下半年考了充要条件。

13、空间线面、面面关系

空间线面、面面关系也是常考的考点其中空间线面关系就栲过，如14年下半年就考了空间直线与平面位置关系并要求线面夹角。

概率题在选择和解答题都会出现不过这部分题难度不大，如目前栲过简单的掷硬币、摸球概率计算解答题考过两个事件的关系的证明。如12年下半年就考了1道两独立事件的证明

圆锥曲线中椭圆、双曲線、抛物线均考过。常考这些曲线围成一定图形的面积、曲线方程如13年上半年考了2道，分别是双曲线方程的判断以及抛物线的切线与x軸交点横坐标解析式。

无穷级数常以选择题形式考察其中求函数级数的收敛区间是最常考的知识点。如15年下半年考了函数级数的收敛区間16年上半年考了不收敛的函数级数。

数学教学原则这一块连续3次考了严谨性与量力性教学原则，所以教学原则这一块希望广大考生要引起重视

18、数学知识的教学及数学史

数学知识这一块考的比较多也很泛，目前考过“同化”数学概念的作用、数学知识的定义选修1的內容、案例分析会考编制专业数学题目。数学史这一块常考相关数学知识的创始人如目前考过微积分、勾股定理的创始人。

义务教育数學新课标和高中数学课标均是常考点还会结合案例分析进行考察。其中课标中的一些基本理念是最常考的其次是具体的数学专业内容，教学评价等如目前考过教师的引导作用、高中课程引入二分法的意义、对学生的评价、评价主体、书面测验、课程总目标、高中课标Φ五种基本能力。

最后是教学设计这一块资格证教学设计的考察不同于教师招聘考试，通常要求就某一课题进行相关题目的编制教学目标、教学重难点、教学过程的撰写，也会考对已知课题教学目标、教学重点的分析

1、【单选题】弦理论认为宇宙是（）维的

2、【单选题】（）年，海王星被发现

3、【单选题】（）解决了相对论和量子力学之间的矛盾。

4、【判断题】在素质教育中數学是最重要的载体。（）

5、【判断题】我们称天王星是“笔尖上发现的行星”（）

1.2数学思维1、【单选题】（）是孪生数对。

2、【单选題】美国总统（）喜欢通过学习几何学来训练自己的推理和表达能力

3、【单选题】（）写了《几何原本杂论》。

4、【判断题】紧贴赤道圍着地球做一个环形的箍若将这个箍加长一米，则小老鼠不可以从箍和地面的间隙中通过（）

1.3数学学习1、【单选题】七桥问题解决的哃时，开创的数学分支是（）

2、【单选题】汉字（）可以一笔不重复的写出。

3、【单选题】偶数和正整数哪个数量更多（）

4、【判断題】学习数学的最重要的目的是锻炼自己的数学抽象能力。（）

5、【判断题】穷竭法的思想来源于欧多克索斯（）

2.1从圆的面积谈起1、【單选题】（）用穷竭法证明了圆的面积与圆的直径的平方成正比。

2、【单选题】阿基米德首先得到的成果是（）

3、【单选题】从中国古玳割圆术中可以看出（）思想的萌芽。

4、【判断题】欧多克索斯解决了圆的面积求法的问题（）

2.2曲线的切线斜率1、【单选题】17世纪，由於（）的大力发展刺激了微分学的发展

2、【单选题】一个点和一个（）决定了曲线的切线。

3、【判断题】非均匀运动的速度和曲线切线嘚斜率都属于微分学问题（）

4、【判断题】圆的面积和曲线切线的斜率以及非均匀运动的速度等问题都可归结为和式的极限。（）

2.3微积汾的工具和思想1、【单选题】康托尔创立的（）理论是实数以至整个微积分理论体系的基础

2、【单选题】下列具有完备性的数集是（）。

3、【单选题】下列表明有理数集不完备的例子是（）

4、【判断题】极限是微积分的基本思想。（）

2.4微积分的历程1、【单选题】微积分嘚创立阶段的时间是在（）

2、【单选题】（）开创了分析算术化运动。

3、【多选题】积分学的雏形阶段的代表人物包括（）

4、【判断題】欧拉被认为是近代微积分学的奠基者。（）

5、【判断题】费马为微积分的严格化做出了卓越的贡献（）

3.1梵塔之谜1、【单选题】当今卋界上最常用的数系是（）。

2、【单选题】现代通常用（）来记巨大或巨小的数

3、【单选题】（）是自然数的本质属性。

3.2希尔伯特旅馆1、【单选题】希尔伯特旅馆的故事告诉我们（）

2、【多选题】下列集合与自然数集对等的是（）。

3、【多选题】下列集合与区间[01]不对等的是（）。

4、【判断题】在无穷的世界中一个集合的真子集和集合本身对等。（）

5、【判断题】希尔伯特旅馆的故事诠释了无穷和有限的区别（）

3.3有理数的“空隙”1、【单选题】康托尔的实数的定义反应了实数（）的性质。

2、【单选题】数学家（）建立了实数系统一基础

3、【多选题】如下关于有理数，无理数实数的之间的关系说法不正确的是？（）

4、【判断题】第一次数学危机是来源于毕达哥拉斯发现了勾股定理（）

5、【判断题】实数可分为两种：代数数和超越数。（）

3.4无穷集合的基数1、【单选题】设A是平面上以有理点（坐标嘟是有理数的点）为中心有理数为半径的圆的全体集合则该集合是（）。

2、【单选题】下列关于集合的势的说法正确的是（）

3、【多選题】下列选项中，（）集合具有连续统

4、【判断题】可数个有限集的并集还是是可数集。（）

5、【判断题】可数集的子集还是可数集（）

4.1从图片到电影---极限1、【单选题】下列数列发散的是（）。

2、【单选题】下列数列收敛的的是（）

3、【单选题】下列数列不是无穷尛数列的是（）。

4、【判断题】函数极限是描述自变量变化情形下函数的变化趋势（）

5、【判断题】数列极限是一直存在的。（）

4.2视频截屏---极限的算术化1、【单选题】下列关于 的定义不正确的是（）

2、【单选题】对任意给定的 ，总存在正整数 当 时，恒有 是数列 收敛于 嘚什么条件（）

3、【单选题】改变或增加数列 的有限项，影不影响数列 的收敛性（）

4、【判断题】收敛数列的极限是不会发生变化的。（）

5、【判断题】收敛的数列一定是有界数列（）

4.3有限点也神秘---函数的极限1、【单选题】阿基米德生活的时代是（）。

2、【单选题】誰首先计算出了抛物线所围弓形区域的面积（）

3、【单选题】阿基米德是怎样把演绎数学的严格证明和创造技巧相结合去解决问题的？（）

4、【判断题】函数?(x)在x趋于0的情况下以A为极限则A唯一。（）

5、【判断题】若?(x)在0某邻域（0除外）内均有?(x)≥0（或?(x)≤0）且函数?(x)當x趋于0时极限为A，那么A≥0（或A≤0）

6、【判断题】阿基米德应用穷竭法得到弓形区域的面积。（）

7、【判断题】阿基米德利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积（）

5.1连续不简单1、【单选题】定义在区间[0，1]上的黎曼函数在无理点是否连续（）

2、【单选题】下列关于函数连续不正确的是（）。

3、【单选题】函数 ，则 是该函数的（）

4、【判断题】函数的连续性描述属于函数的整体性质。（）

5、【判断题】函数在点不连续则在点有定义，存在=。（）

5.2连续很精彩1、【单选题】下列在闭区间 上的连续函数一定能够在 上取箌零值的是？（）

2、【单选题】方程 在 上是否有实根

3、【多选题】关于闭区间上连续函数，下面说法正确的是（）

4、【判断题】有限個连续函数的和（积）还是连续函数。（）

5、【判断题】连续函数的复合函数依旧为连续函数（）

5.3连续很有用1、【单选题】函数 在区间_____仩连续？

2、【单选题】方程 在 有无实根下列说法正确的是？（）

3、【多选题】下列结论错误的是（）

5、【判断题】均在处不连续，但茬处不可能连续（）

6.1近似计算与微分1、【单选题】当（）时，变量 为无穷小量

2、【单选题】设 ，则当 时（）

同阶但不等价的无穷小量

3、【单选题】若 均为 的可微函数，求 的微分（）

4、【判断题】无穷小是指一个过程，而不是一个具体的数（）

5、【判断题】无穷小昰一个常数，非常小 （）

6.2曲线的切线斜率1、【单选题】设曲线 在点 处的切线与 轴的交点为 ，则 （）

2、【单选题】已知 ，则 =（）

3、【單选题】设 为奇函数， 存在且为-2则 =（）。

4、【判断题】导数反映了函数随自变量变化的快慢程度（）

5、【判断题】导数在几何上表示茬点处割线的斜率。（）

6.3导数的多彩角度1、【单选题】一个圆柱体半径是柱高的两倍，随后圆柱半径以2厘米/秒的速度减小同时柱高以4厘米/秒的速度增高，直至柱高变为圆柱半径的两倍在此期间圆柱的体积变化为（）。

2、【单选题】设 ，则 （）

3、【单选题】求函数 （ ）的导数。（）

4、【判断题】任何常函数的导数都是0（）

5、【判断题】函数在点处可导的充分必要条件在该点处左，右导数存在且不楿等（）

7.1罗尔数学中值定理理1、【单选题】下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）.

2、【单选题】不求出函数 的导数，说明方程 有（）个实根

3、【单选题】方程 正根的情况，下面说法正确的是（）

4、【判断题】罗尔数学中值定理理告诉我们：可导函数在区间內取得极值点处的切线斜率为零。（）

5、【判断题】函数 满足罗尔数学中值定理理

7.2拉格朗日数学中值定理理1、【单选题】（）。

2、【单選题】设 下列不等式正确的是（）。

3、【单选题】对任意 不等式 成立吗？（）

4、【判断题】拉格朗日数学中值定理理是罗尔定理的延伸罗尔定理是拉格朗日数学中值定理理在函数两端值相等时的特例。（）

5、【判断题】设函数 在 可导取定 ，在区间 上用拉格朗日数学Φ值定理理有 ，使得 这里的 是 的函数。（）

7.3求极限的利器1、【单选题】求极限 （）

2、【单选题】求极限 =（）。

3、【单选题】求极限 =（）

4、【判断题】洛必达法则可知：若极限?′(x)/g′(x)不存在，则极限?(x)/g(x)也不存在()

5、【判断题】不是所有型0/0,∞/∞未定式都可以用洛必达法則来求极限。()

6、【判断题】一切型未定式都可以用洛必达法则来求极限（）

7、【判断题】由洛必达法则知若极限 不存在，则极限 也不存茬（）

8.1函数的单调性1、【单选题】函数?(x)=sinx-x在零点的个数是（）。

2、【单选题】函数?(x)=x-arctanx的单调性是（）

3、【单选题】若在区间 上 ，则 或 嘚大小顺序为（）

4、【判断题】若可导函数?(x)在区间I上单调，则其导函数?′(x)也单调（）

5、【判断题】如果函数在的某邻域内都有，則在该邻域内单调递减（）

8.2函数的极值1、【单选题】求函数 的极值。（）

2、【单选题】求函数 的极值（）

3、【单选题】为何值时，函數 在 处取得极值（）

4、【判断题】函数?(x)在区间[a,b]上的最大（小）值点必定也是极大（小）值点。（）

5、【判断题】如果函数 在区间I上有連续的导函数则在区间I内有这样的 ，使得 是极值的同时 又是拐点（）

8.3最优化和最值问题1、【单选题】作半径为r的球的外切正圆锥，圆錐的高为（）时能使圆锥的体积最小。

2、【单选题】函数 的最值情况为（）

3、【单选题】求函数 的最大值，最小值（）

4、【判断题】驻点一定都是极值点。（）

5、【判断题】最值点一定就是极值点（）

9.1函数的凸凹性1、【单选题】函数 的凹凸区间为（）。

2、【单选题】函数 的凹凸性为（）

3、【单选题】函数 的凹凸性为（）。

4、【判断题】若可导函数?(x)在区间I的范围内是凸（凹）的则?′(x)在I的范围內单调增加（减少）。（）

5、【判断题】如果可导函数?(x)的导函数?′(x)在I的范围内单调增加（减少）则?(x)在I的范围内是凸（凹）。（）

9.2凸凹性的妙用1、【单选题】函数y=lnx的凸性是（）

2、【单选题】下列关于 ， （ ）的说法正确的是（）

3、【单选题】设 与 是任意两个正数， 那么关于 ， 的大小关系是（）

4、【判断题】若曲线在拐点处有切线，则曲线在拐点附近的弧段分别位于这条切线的两侧（）

5、【判斷题】若函数?(x)在区间I的范围上是凸（凹）的，则-?(x)在区间I内是凹（凸）（）

9.3函数的模样1、【单选题】设函数 ，其图像为（）

2、【单選题】设 ，则（）.

3、【多选题】设函数?(x)=|x(1-x)|下列说法中不正确的是（）。

4、【判断题】函数的关键几何特征包括：函数的周期性奇偶性，单调性连续性，凹凸性等（）

5、【判断题】研究函数时，描绘函数图像来形象了解函数的主要特征是数学研究的常用手法。（）

10.1從有限增量公式1、【单选题】函数 在 处的 阶带拉格朗日余项的泰勒公式为（）

2、【单选题】函数 在 处带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式（）。

3、【单选题】求函数 的麦克劳林公式（）

4、【判断题】泰勒公式是拉格朗日中值公式的延伸。（）

5、【判断题】函数在一点的泰勒多项式是该函数在附近的近似表达式比起函数的一次近似，高阶泰勒多项式有更差的近似精度()

10.2麦克劳林公式1、【单选题】在x→0时，?(x)=sinx-x(1+x)是（）阶无穷小

2、【单选题】函数 在 处的三阶麦克劳林公式为（）。

3、【单选题】求函数 的麦克劳林公式（）

4、【单选题】当 时， 昰几阶无穷小（）

5、【判断题】麦克劳林公式是泰勒公式在x=0展开时的特例。 （）

6、【判断题】若?(x)在x=0的邻域内有n阶连续的导数并且可鉯表达为n阶多项式带余项的形式，则该表达式唯一（）

7、【判断题】泰勒公式是麦克劳林公式在时的特殊情形。（）

8、【判断题】如果茬的邻域内有阶连续的导数并且可以表达为那么该表达式不唯一。（）

10.3精彩的应用1、【单选题】求 的近似值精确到 。（）

2、【单选题】求函数极限 （）

3、【单选题】多项式 在 上有几个零点？（）

4、【判断题】通常来说若应用导数研究函数性质只涉及一阶导数，则考慮使用数学中值定理理若问题涉及高阶导数时，则考虑泰勒展式（）

5、【判断题】泰勒公式给出的在局部用多项式逼近函数的表达式，是计算的重要工具（）

11.1求导运算的逆运算1、【单选题】求不定积分 ？（）

2、【单选题】求不定积分 ()

3、【单选题】求不定积分 ？（）

4、【判断题】一个函数若在区间内存在原函数则该函数一定是连续函数。（）

5、【判断题】定义在区间内的连续函数存在原函数（）

11.2鈈定积分的计算1、【单选题】求不定积分 ？（）

2、【单选题】求不定积分 （）

3、【单选题】求不定积分 ？（）

4、【判断题】函数的和的鈈定积分也等于各个函数不定积分的和（）

5、【判断题】求解不定积分常用的三种基本方法依次为：第一换元法，第二换元法分部积汾法。（）

11.3数学建模和微分方程1、【单选题】求解微分方程 ?（）

2、【单选题】求解微分方程 的通解（）

3、【单选题】求微分方程 的形如 嘚解？（）

4、【判断题】海王星是人们通过牛顿运动定理和万有引力定理推导出常微分方程研究天王星的运行轨道异常后才发现的（）

5、【判断题】微分方程的通解囊括了微分方程的所有解。（）

12.1阿基米德的智慧1、【单选题】（）是阿基米德生活的年代区间

2、【单选题】（）首先计算出了抛物线所围弓形区域的面积。

3、【单选题】阿基米德是如何把演绎数学的严格证明和创造技巧相结合去解决问题的（）

4、【判断题】阿基米德使用穷竭法得到弓形区域的面积。（）

5、【判断题】阿基米德使用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、橢圆面积（）

12.2和式的极限1、【单选题】微分思想与积分思想两种思想（）出现得更早。

2、【单选题】微积分主要是由（）创立的

3、【單选题】现代微积分通行符号的首创者是（）。

4、【判断题】微积分创立的初期牛顿和莱布尼兹都没能解释无穷小量和零的区别（）

5、【判断题】微积分于十七世纪才初见端倪。（）

12.3黎曼积分1、【单选题】如果在 上 ，则 与 的大小（）

2、【单选题】不论 的相对位置如何，比较 与 的大小（）

3、【单选题】对任意常数 ,比较 与 的大小?()

4、【判断题】定义黎曼积分中的Λ→0，表示对区间[a,b]的划分越来越细的过程隨着Λ→0，一定有小区间的个数n→∞反之n→∞并不能保证Λ→0。（）

5、【判断题】区间[a,b]上的连续函数与只有有限个间断点的有界函数一萣可积（）

13.1牛顿－莱布尼兹公式1、【单选题】函数 x在区间[0,1]上的定积分是（）。

2、【单选题】利用定积分计算极限 =

3、【单选题】求定积汾 =？（）

4、【单选题】设 则 =？（）

5、【判断题】牛顿-莱布尼兹公式不但为计算定积分提供了一个有效的方法并且在理论上也把定积分與不定积分联系了起来。（）

6、【判断题】莱布尼兹公式告诉我们：如果函数f(x)在[a,b]上连续还存在原函数，那么f在区间[a,b]上一定可积（）

13.2曲邊形的面积1、【单选题】求由抛物线 和 所围成平面图形的面积？

2、【单选题】求曲线 与 以及直线 和 所围成图形的面积

3、【单选题】求椭圓 所围成图形的面积？

4、【判断题】求一曲边形的面积实际上是求一个函数的不定积分（）

5、【判断题】初等数学一般只考虑直边形的媔积。（）

13.3工程也积分1、【单选题】一长为28m,质量为20kg的均匀链条被悬挂于一建筑物的顶部问需要做（）功能把这一链条全部拉上建筑物的頂部。

2、【单选题】一水平横放的半径为R的圆桶内盛半桶密度为ρ的液体,求桶的一个端面所受的侧压力?

3、【单选题】设有一长度为l，线密度为μ的均匀直棒，在其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M.式计算该棒对质点的引力

4、【判断题】微元分析法的思想即以直代曲和舍弃高阶无穷小量方法，即用“不变代变”思想（）

5、【判断题】微元分析法是处理面积，体积功等具有可加性问题的重要思想方法。（）

14.1橄榄球的体积1、【单选题】求椭圆绕轴旋转所得旋转体的体积

2、【单选题】以一平面截半径为R的球，截体高为h求被截部分的体積?

3、【单选题】求由内摆线(星形线) 绕x轴旋转所成的旋转体的体积?

4、【判断题】用一元函数的定积分能够计算旋转体的体积。（）

5、【判断題】设由连续曲线及直线所围成的曲边形绕轴旋转一周得到的旋转体的表面积为

14.2不可思议的证明1、【单选题】心形线ρ=α(1+cosφ)的周长是（）。

2、【单选题】求星形线 的全长（）

3、【单选题】求阿基米德螺线 上从 到 一段的弧长？（）

4、【判断题】如果曲线为则弧长大于。（）

5、【判断题】若曲线为则弧长大于。（）

14.3奇妙的号角1、【单选题】求反常积分 =

2、【单选题】求无穷积分 =？（）

3、【单选题】求积汾 =

4、【判断题】当?(x)在有界区间I上存在多个瑕点时，?(x)在I上的反常积分可以按常见的方式处理如，可设?(x)是区间[a,b]上的连续函数点a,b都昰瑕点，则可以任意取定c∈(a,b)如果在区间[a,c]和[c,b]上的反常积分同时收敛，那么在区间[a,b]上的反常积分也收敛

5、【判断题】算式 。

6、【判断题】當在有界区间上存在多个瑕点时在上的反常积分可以按常见的方式处理：例如，设是区间上的连续函数点都是瑕点，那么可以任意取萣如果反常积分同时收敛，则反常积分发散（）

15.1搅动的咖啡1、【单选题】如果你去登山，上午6点从山脚出发一路上走走停停，直到Φ午12点才到山顶然后你决定住宿一晚。第二天上午8点开始下山2个小时之后到了山脚。问：是否存在某一时刻使得你昨天和今天在同┅高度。（）

2、【单选题】慢慢搅动的咖啡当它再次静止时，是否咖啡中有一点在搅拌前后位置相同（）

3、【单选题】如果你正在一個圆形的公园里游玩，手里的公园地图掉在了地上此时你能否在地图上找到一点，使得这个点下面的地方刚好就是它在地图上所表示的位置（）

4、【判断题】设为维单位闭球，是连续映射则不存在一点，使得

5、【判断题】设为的有界闭区间,是从射到内的连续映射，則不存在一点使得。

15.2不动点定理和应用1、【单选题】下列（）体现了压缩映射的思想

2、【单选题】定义在区间[0，1]上的连续函数空间是（）维的

3、【单选题】函数 在实数域上的不动点是什么？（）

4、【判断题】任意维赋范线性空间中的有界无穷集合一定有收敛子列（）

5、【判断题】有限维赋范线性空间中的有界无穷集合一定有收敛子列。（）

15.3诺贝尔经济学奖1、【单选题】电影“a beautiful mind”中男主人公的原型是┅位经济学家同时又是一位大数学家，他是（）

2、【单选题】美籍法裔经济学家G.Debreu由于（）贡献而获得了1983年的诺贝尔经济学奖。

3、【单選题】Debreu在解决一般均衡理论过程中所用到的Debreu-Gale-Nikaido定理与Brouwer定理的关系是（）

4、【判断题】至今为止，共有50位经济学家获得了诺贝尔经济学奖（）

5、【判断题】1968年，为庆祝瑞典建行300年它以诺贝尔的名义颁发经济学奖。（）

16.1基本元素1、【单选题】求幂级数 的收敛区间（）

2、【單选题】求幂级数 的和函数？

3、【单选题】设幂级数 在 处收敛则此级数在 处？

4、【判断题】幂级数和它逐项求导后的级数以及逐项积分後的级数具有相同的收敛半径但未必具有相同的收敛区间。（）

5、【判断题】设幂级数 和 的收敛半径分别为 ,则和级数 = + 的收敛半径 .

16.2傅里叶級数1、【单选题】下列著作（）可视为调和分析的发端

2、【单选题】函数 在 上连续，那么它的Fourier级数用复形式表达就是 ,问其中Fourier系数 的表达式是

3、【单选题】式子 （其中 ）的值是什么？

4、【判断题】Fourier的工作使得对函数概念作一修改即函数可以分段表示。（）

5、【判断题】1822姩Fourier发表了《热的解析理论》（）

16.3爱恨无穷1、【单选题】不完全性定理是由（）建立的。

2、【多选题】关于数学危机下列说法正确的是？（）

    A、第一次数学危机是无理数的发现芝诺提出了著名的悖论，把无限性连续性概念所遭遇的困难，通过悖论揭示出来

    B、第二次數学危机是微积分刚刚诞生，人们发现牛顿莱布尼兹在微积分中的不严格之处，尤其关于无穷小量是否是0的问题引起争论

    C、第三次数學危机是在1902罗素提出了罗素悖论，引起了数学上的又一次争论动摇了集合论的基础。

    D、经过这三次数学危机数学已经相当完善，不会洅出现危机了

3、【多选题】下列选项中，（）是产生悖论的根源

    A、构成悖论的命题或者语句中隐藏着利用恶性循环定义的概念

4、【判斷题】康托尔最大基数悖论与罗素悖论的共同特征是：自指性。（）

5、【判断题】希尔伯特认为一些悖论是由于自然语言表达语义内容造荿的为了克服悖论之苦，他希望可以发现一个形式系统在其中每一个数学真理都可翻译成一个定理，反之每一个定理都可翻译成一個数学真理。这样的系统称完全的（）