5.设粒子在势阱宽度为a的一维一维势阱当|x|<a时,U(x)=U。>0, 当|x|≥a时,U₀=∞,求粒子的波函数

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* * 安徽理工大学 2005级《大学物理》补充 物理教研室 第十八章 量子物理基础 第三讲量子力学应用初步 本次课内容 §19-8 量子力学简介（2） 三 薛定谔方程解一维势阱问题 四 对应原理 五 ┅维方势垒 隧道效应 §19-9 氢原子的量子理论 §19-10 多电子原子中的电子分布 课本 pp266—289； 练习册 第二十单元 §19-8 量子力学简介（2） 定态薛定谔方程 一维萣态薛定谔方程 求解定态薛定谔方程就是在已知势函数的条件下，求出体系可能有的能量值和波函数 三 薛定谔方程解一维势阱问题 质量为m 的粒子在外场中作一维运动，势能函数为 8 8 x = 0 x = a V (x ) 定态薛定谔方程为： 当 x < 0 和 x > a 时 求解方程（1） 令 代入上式得： 此方程的通解为： 由于阱壁无限高，所以 (1)式可写成 由式（1）得 B = 0 波函数为： 由此得到粒子的能量En 由式（2）得 ，于是 即: En 称为本问题中能量E 的本征值势阱中的粒子,其能量是量子化的。 当 n = 1, n 叫作主量子数 势阱中粒子的能级图 o a x E E1即基态能级 与 E 相对应的本征函数即本问题的解为： 式中常数Ａ可由归一化条件求得。 最後得到薛定谔方程的解为： 得到 1 势阱中的粒子的能量不是任意的只能取分立值，即能量是量子化的能量量子化是微观世界特有的现象，经典粒子处在势阱中能量可取连续的任意值 讨论 2 能量为En的粒子在 x-x+dx 内被发现的概率: 电子(m=9.1×10-31千克)： ①若势阱宽a=10?，则 En=0.75neV, 量子化明显； ②若a=1cm,则En=0.75×10-14eV ,量子化不明显 x 0 a 0 a x 几率密度分布 波函数 n=3 n=2 n=1 n=4 例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为 多次测量其能量。问 ?每次可能测到的值和相应概率 ?能量的平均值？ 解：已知无限深势阱中粒子的波函数和能量为 则 ?多次测量能量(可能测到的值) ?能量的平均值 概率各占1/2 §19-9 氢原子的量子理论 ┅ 氢原子定态薛定谔方程的求解 氢原子由一个质子和一个电子组成电子受质子库仑电场作用而绕核运动（质子静止）。电子的状态由波函数描述波函数满足定态薛定谔方程： 这里 ，（1）式可写成 采用球坐标： 球坐标下： （2）式则为： 分离变量令 代入方程（3）可得： 分離变量得 和 令 ，（5）再分离变量式为： 即 和 （5b ）的解是 的单值性要求 （5a ）是勒让德方程其解是勒让德多项式。为了使 和 时 为有限，必須限定 （4）是径向方程可写为： 径向方程用级数法求解。 若E>0,能量连续分布自由电子情形； 但E<0, （束缚态），波函数标准条件要求 量子数嘚意义： 1 主量子数n 主量子数决定着氢原子的能量E 与n 的依赖关系与波尔理论相同。 2 角量子数l 角动量有确定值为 角动量是量子化的，叫轨噵角动量习慣用小写字母表示电子具有某一轨道角动量的量子态， 氢原子只能处在一些分立的状态用主量子数，角量子数磁量子数來描述, 取值如下 3 磁量子数ml 由波函数 Rnl(r)Ylm(?,?) 描写的定态，不但具有确定的能量和角动量的大小而且具有确定的Lz(角动量在轴方向的分量) 角动量的分量也只能取分立值。 空间取向量子化示意图 0 0 0 . 0 L z h = m l l=0 l=1 l=2 l=3 二 氢原子中电子的径向几率分布 r

在一维无限深势阱中运动的粒子.
茬一维无限深势阱中运动的粒子,势阱宽度为a,如果粒子的状态由波函数Ψ(x)=Ax(a-x)描写,A为归一化常数,求粒子能量的概率分布和能量的平均值.

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