在长方体所有棱长之和为36的条件下，用条件极值的拉格朗日乘数法求出长方体的棱长和怎么最大体积。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-04-10 16:58 标签： 长方体的棱长和怎么

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该长方体抄的体积为：(8/9)(根号3)a^3

设該长方体的棱长和怎么体积为v，长、宽、高分别为x、y、z

则该长方体的棱长和怎么体积为：V=xyz

因为是内接于半径为a的球所以可以得到约束条件：x^2+y^2+z^2=4a^2

所有F方程的偏微分设为零,得到一个方程组:


拉格朗日乘数法袭是用来求条件极值百的，极值问题有两类

1、求函数在给定区间上的极值，对自变量没有其它要求这种极值称为无条件极值。

2、对自变量有一些附加的约束条件限制下的极值称为条件极值。求多元函数的条件极值一般是使用度拉格朗日乘数法并通过偏微分求出。

在数学最优问题中拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。

该长方体的棱长和怎么体积为：(8/9)(根号3)a^3

设该长方体的棱长和怎么体積为v，长、宽、高分别为x、y、z

则该长方体的棱长和怎么体积为：V=xyz

所有F方程的偏微分设为零,得到一个方程组:

拉格朗日乘数法是用来求条件极徝的极值问题有两类，其一求函数在给定区间上的极值，答对自变量没有其它要求这种极值称为无条件极值。其二对自变量有一些附加的约束条件限制下的极值，称为条件极值求多元函数的条件极值一般是使用拉格朗日乘数法，并通过偏微分求出

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   在数学最优问题中拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个條件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题其變量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。此方法嘚证明牵涉到偏微分全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值

定义介绍 设给定二元函数z=?(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，為寻找z=?(x,y)在附加条件下的极值点先做拉格朗日函数

求极值 求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值 方法（步骤）是： 1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数 2.求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z) 如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点唯一,于是最值 可求. 条件极值问题也可以化为無条件极值求解,但有些条件关系比较复杂,代换和运算很繁,而相对来说,“拉格朗日乘数法”不需代换,运算简单一点.这就是优势. 条件φ(x,y,z)一定是個等式，不妨设为φ(x,y,z)=m 则再建一个函数g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m g(x,y,z)=0,以g(x,y,z)代替φ(x,y,z) 在许多极值问题中函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如要设计一个容积为 V嘚长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z 则水箱容积V=xyz 焊制水箱用去的钢板面积为 S=2xz+2yz+xy 这实际上昰求函数 S 在 V 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题其一般形式是在条件 <!--EndFragment--> 限制下，求函数F的极值 条件极值與无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等 例如，求马鞍面 z=x.^2-y.^2+1 被平面XOZ 平面所截的曲线上的最低点 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 平面所截的曲线上有极小值 1，这个极小值就称为条件极值 必要条件 设在约束条件之下求函数的极值。满足约束条件的点 是函数的条件极值点, 且在该点函數满足隐函数存在条件时, 由方程定隐函数 , 于是点就是一元函数的极限点, 有 代入 , 就有 ( 以下 均表示相应偏导数在点 的值 . ) Lagrange乘数法 : 由上述讨论可见 , 函数 在约束条件之下的条件极值点应是方程组 的解. 引进所谓Lagrange函数 ( 称其中的实数 为Lagrange乘数 ) 则上述方程组即为方程组 因此解决条件极值通常有兩种方法 1）直接的方法是从方程组（1）中解出 并将其表示为 代入 消去 成为变量为 的函数将问题化为函数无条件极值问题； 2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出 来是困难的甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程組（1）的困难将求 的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求嘚极值的 3）在给定的条件下，若是可以将未知数代换或是解出则可以将条件极值转化为无条件极值，从而避免引入拉格朗日乘数的麻煩 注意：▽φ(x,y,z)=0 且 φ(x,y,z)=0的点不会被该方法计算到，因此若求最大值或最小值时，应把这些点列出来并单独计算

例题一 抛物面被平面 截成┅个椭圆. 求该椭圆到坐标 原点的最长和最短距离. 例3求函数 在条件 下的极小值. 并证明不等式 , 其中 为任意正常数 . 以上面水箱设计为例，看一看拉格朗日乘数法求解条件极值的过程 解： 这个问题的实质是求函数 在条件下的最小值问题 应用拉格朗日乘法，令 L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)'; 又已知所求的问题确实存在最小值从而解出的稳定点就是最小值点，即水箱长宽与为高的2倍时用钢板最省

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