高数曲率公式线问题求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-04-17 13:14 标签： 高数曲率公式

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1. 问题引入——如何刻画曲线的弯曲程度？

5. 弧微分与微分三角形的关系（弧微分等于微分三角形斜边长）

6. 如何刻画曲线的完全程度（长度相同的曲线，切线转角越大弯曲程度越大；切线转角相同的曲线，弧长越小弯曲程度越大）

10. 曲率圆（曲率半径和曲率中心）

11. 铁路中的缓和曲线

第十二节 一、 曲线弧的微分 例1 二、曲率与曲率半经 例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 曲率K 的计算公式 说明: 例2 求曲线 例3. 我国铁路常用立方抛物线 例3. 我国铁路常用立方抛物线 內容小结 作业 例4. 求椭圆 例5 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 * 曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 曲线弧的微分 二、 曲率与曲率半经 弧微分与曲率 第二章 设 在 a , b 内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 则弧长微分公式为 或 几何意义: 若曲线由参数方程表礻: 称为曲线 的弧微分公式 求正弦曲线 解 因为 ，所以 例2 求第一象限内星形线 的弧微分 所以 的弧微分。 解 因为 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 定义 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 对应切线转角为 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 則K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 二阶可导, 设曲线弧 则由 1 若曲线由参数方程 给出, 则 2 若曲线方程为 则 若曲线 在點M处的曲率K不为零称 为曲线在点M处的曲率半经。 在点 处的曲率半径 解 方程两边同时对x求导，整理得 两边再对x求导整理得 将点 代人（1）得 将点 代人（2）得 故曲线在点 处的曲率半径 作缓和曲线, 处的曲率. 点击图片任意处播放\暂停 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 . 作缓和曲线, 且 l R. 处的曲率. 其中R昰圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点 解: 显然 1. 弧长微分 或 2. 曲率公式 3. 曲率半径 P166 1；2；4; 5. 在何处曲率最大? 解: 故曲率为 K 最大 朂小 求驻点: 设 从而 K 取最大值 . 这说明椭圆在点 处曲率 计算驻点处的函数值: 最大. 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大 , 即曲率半径最小, 且为 显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题. *

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