《上海市十三校高三第二次联考數学（理）试题（解析版）》由会员分享可在线阅读，更多相关《上海市十三校高三第二次联考数学（理）试题（解析版）（18页珍藏版）》请在人人文库网上搜索

1、2015年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填對4分否则一律得零分.1（4分）（2015上海模拟）幂函数y=x（mN）在区间（0，+）上是减函数则m=0【考点】： 幂函数的单调性、奇偶性及其应用；幂函數的概念、解析式、定义域、值域【专题】： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】： 根据幂函数的性质，可得m2+2m30解鈈等式求得自然数解，即可得到m=0【解析】： 解：由幂函数y=xm2+2m3在（0+）为减函数，则m2+2m30解得3m1由于mN，则m=0故答案为：0【点评】： 本题考查幂函数的性质主要考。

2、查二次不等式的解法属于基础题2（4分）（2015上海模拟）函数的定义域是（0，1【考点】： 函数的定义域及其求法；对数函數的定义域【专题】： 计算题【分析】： 令被开方数大于等于0然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间幂函数嘚形式判定即为函数的定义域【解析】： 解：0x1函数的定义域为（01故答案为：（0，1【点评】： 求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开耦次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非03（4分）（2006上海）在ABC中已知BC=8，AC=5三角形面积为12，则cos2C=【考点】： 餘弦定理的应用【专题】： 计算题【分析】

3、： 先通过BC=8，AC=5三角形面积为12求出sinC的值，再通过余弦函数的二倍角公式求出答案【解析】： 解：已知BC=8AC=5，三角形面积为12BCACsinC=12sinC=cos2C=12sin2C=12=故答案为：【点评】： 本题主要考查通过正弦求三角形面积及倍角公式的应用属基础题4（4分）（2015上海模拟）設i为虚数单位，若关于x的方程x2（2+i）x+1+mi=0（mR）有一实根为n则m=1【考点】： 复数相等的充要条件【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 把n代入方程，利用复数相等的条件求出m，n即可【解析】： 解：关于x的方程x2（2+i）x+1+mi=0（。

4、mR）有一实根为n可得n2（2+i）n+1+mi=0所以，所以m=n=1故答案为：1【点评】： 本题考查复数相等的条件，考查计算能力是基础题5（4分）（2015上海模拟）若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4则实数a=4或8【考点】： 橢圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 首先分两种情况：焦点在x轴上焦点在y轴上，分别求出a的值即可【解析】： 解：焦点在x轴上时：10a（a2）=4解得：a=4焦点在y轴上时a2（10a）=4解得：a=8故答案为：4或8【点评】： 本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点茬x轴或y轴上考察a、b、c的关系式，及相关的运算

5、问题6（4分）（2015上海模拟）若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120、半径为3 的扇形，则这个圓锥的表面积是4【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 易得圆锥侧面展开图的弧长除以2即为圆锥的底面半径，圆锥表面积=底面积+侧面积=底面半径2+底面半径母线长把相关数值代入即可求解【解析】： 解：圆锥的侧面展开圖的弧长为：=2，圆锥的底面半径为22=1此圆锥的表面积=（1）2+13=4故答案为：4【点评】： 本题考查扇形的弧长公式为 ；圆锥的侧面展开图的弧长等於圆锥的底面周长，圆锥的表面积的求法7（4分）（2015上海模拟）若关于x的方程lg（x

6、2+ax）=1在x1，5上有解则实数a的取值范围为3a9【考点】： 函数的零点【专题】： 计算题；函数的性质及应用【分析】： 由题意，x2+ax10=0在x15上有解，可得a=x在x15上有解，利用a=x在x15上单调递减，即可求出实数a的取徝范围【解析】： 解：由题意x2+ax10=0在x1，5上有解所以a=x在x1，5上有解因为a=x在x1，5上单调递减所以3a9，故答案为：3a9【点评】： 本题主要考查方程的根与函数之间的关系考查由单调性求函数的值域，比较基础8（4分）（2015上海模拟）孙子算经卷下第二十六题：今有物不知其数，三三数の剩二五五数之剩三，七七数之剩二

7、，问物几何23，或105k+23（k为正整数）（只需写出一个答案即可）【考点】： 进行简单的合情推理【專题】： 推理和证明【分析】： 根据“三三数之剩二五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案【解析】： 解：我们首先需要先求絀三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：152+213+7

8、02=233最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍可得：或105k+23（k为正整数）故答案为：23，或105k+23（k为正整数）【点评】： 本题考查的是带余数的除法简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键可鉯原文理解为：三个三个的数余二七个七个的数也余二，那么总数可能是三乘七加二，等于二十三二十三用五去除余数又恰好是三9（4汾）（2015上海二模）在极坐标系中某直线的极坐标方程为sin（+）=，则极点O 到这条直线的距离为【考点】： 简单曲线的极坐标方程【专题】： 唑标系和参数方程【分析】： 由直线的极坐标方程为sin（+

9、）=，展开并利用即可得出直角坐标方程再利用点到直线的距离公式即可得出【解析】： 解：由直线的极坐标方程为sin（+）=，展开为化为x+y1=0，极点O到这条直线的距离d=故答案为：【点评】： 本题考查了直线的极坐标方程囮为直角坐标方程、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式考查了推理能力与计算能力，属于基础题10（4分）（2015上海二模）设口袋中囿黑球、白球共7 个从中任取两个球，令取到白球的个数为且的数学期望E=，则口袋中白球的个数为3【考点】： 离散型随机变量的期望与方差【专题】： 概率与统计【分析】： 设口袋中有白球x个由已知得的可能取值为0，12，由E=得，由此能求出

10、口袋中白球的个数【解析】： 解：设口袋中有白球x个，由已知得的可能取值为01，2P（=0）=，P（=1）=P（=2）=，E=解得x=3口袋中白球的个数为3故答案为：3【点评】： 本题栲查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题解题时要注意排列组合知识的合理运用11（4分）（2015上海模拟）如图所示，一个確定的凸五边形 ABCDE令x=，y=z=，则x、y、z 的大小顺序为xyz【考点】： 平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用【专题】： 平面向量及应用【分析】： 根据向量的数量积公式分别判断xy，z的符号得到大小关系【解析】： 解：由题意，x=ABACcosBAC

x）的值域为0，1则这样的函数共有1395个【考点】： 映射【专题】： 函数的性质及应用；集合【分析】： 分别求出sinx=0，x=02，34，sinx=x=，x=x=，x=sinx=1，x=x=利用排列组合知识求解得出这样的函数共有：（C+C）（）（）。

12、即可【解析】： 解：函数 f（ x）的定义域为DD0，4它的对应法则为 f：xsin x，f（ x）的值域为01，sinx=0x=0，23，4sinx=，x=x=，x=x=，sinx=1x=，x=这樣的函数共有：（C+C）（）（）=故答案为：1395【点评】：

13、x+a4000则a1+a3+a2015=0【考点】： 二项式定理的应用【专题】： 二项式定理【分析】： 根据等式，确萣a1=12000=0a3=0，a5=0即可得出结论【解析】：

14、的运用，考查学生分析解决问题的能力属于中档题14（4分）（2015上海模拟）在平面直角坐标系中有两点A（1，3）、B（1），以原点为圆心r0为半径作一个圆，与射线y=x（x0）交于点M与x轴正半轴交于N，则当r变化时|AM|+|BN|的最小值为2【考点】： 两点间距離公式的应用【专题】： 计算题；转化思想；推理和证明【分析】： 由题意，设M（aa）（a0），则r=2aN（2a，0）可得|AM|+|BN|=+设2a=x，进而可以理解为（x0）与（，）和（1）的距离和，即可得出结论【解析】： 解：由题意设M（a，a）（a0）则r=2a，N（2a0）|AM|+|BN|=+设。

15、2a=x则|AM|+|BN|=+，可以理解为（x0）与（5，）和（1）的距离和，|AM|+|BN|的最小值为（5）和（1，）的距离即2故答案为：2【点评】： 本题考查两点间距离公式的应用，考查学生分析解决問题的能力有难度二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案选对得5分，否则一律得零分.15（5分）（2015上海模拟）若非空集合 A中的元素具有命题的性质集合B中的元素具有命题的性质，若 AB则命题是命题的（）条件A 充分非必要 B 必要非充分C 充分必偠 D 既非充分又非必要【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 集合；简易逻辑。

16、【分析】： 可举个例子来判断：比洳A=1B=1，2：x0，：x3容易说明此时命题是命题的既非充分又非必要条件【解析】： 解：命题是命题的既非充分又非必要条件；比如A=1，：x0；B=12，：x3；显然成立得不到成立成立得不到成立；此时，是的既非充分又非必要条件故选：D【点评】： 考查真子集的概念以及充分条件、必要条件、既不充分又不必要条件的概念，以及找一个例子来说明问题的方法16（5分）（2015上海二模）用反证法证明命题：“已知a、bN+如果ab可被 5 整除，那么a、b 中至少有一个能被 5 整除”时假设的内容应为（）A a、b 都能被5 整除 B a、b 都不能被5 整除。

17、C a、b 不都能被5 整除 D a 不能被5 整除【考点】： 反证法【专题】： 推理和证明【分析】： 反设是一种对立性假设即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立由此得出此命题昰成立的【解析】： 解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时可以设其否定成立进行推证命题“a，bN如果ab可被5整除，那么ab至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”故选：B【点评】： 反证法是命题的否定的一个重要运用用反证法证明问題大大拓展了解决证明问题的技巧17（5分）（2015上海二模）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则xy的最大值为（）A B

18、 D 2【考点】： 基本不等式【专题】： 三角函数的求徝【分析】： x2+2xy+y2+4x2y2=4变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cos2xy=2sin，02）化简利用三角函数的单调性即可得出【解析】： 解：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4设x+y=2cos，2xy=2sin0，2）则（xy）2=（x+y）24xy=4cos24sin=54（sin+）25xy故选：C【点评】： 本题考查了平方法、三角函数代换方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力属于中档题18（5分）（2015上海模拟）直线m平面，垂足是O。

19、正四面体ABCD的棱长为4点C在平面上运动，点B在直线m上运动则点O到直线AD的距离的取值范围是（）A ， B 222+2 C ， D 323+2【考点】： 点、线、面间的距离计算【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 确定直线BC与动点O的空间关系，得到最大距离为AD到球惢的距离+半径最小距离为AD到球心的距离半径【解析】： 解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点所以O到AD的距離为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=2+2最小距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）半径=

20、2+2点O到直线AD的距离的取值范围是：22，2+2故选：B【点评】： 本题考查点、线、面间的距离计算考查学生分析解决问题的能力，属于Φ档题解题时要注意空间思维能力的培养三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19（12分）（2015上海模拟）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上Q是BB1中点，且PQABC1QQR（1）求证：C1Q平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （1）由

22、，四面体C1PQR 的体积V=【点评】： 本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理論证能力和运算求解能力20（14分）（2015上海模拟）已知数列bn满足b1=1且bn+1=16bn（nN），设数列的前n项和是Tn（1）比较Tn+12与TnTn+2的大小；（2）若数列an 的前n项和Sn=2n2+2n数列cn=anlogdbn（d0，d1）求d的取值范围使得cn是递增数列【考点】： 数列递推式；数列的函数特性【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： （1）甴数列递推式可得数列bn为公比是16的等。

23、比数列求出其通项公式后可得，然后由等比数列的前n项和求得Tn再由作差法证明Tn+12TnTn+2；（2）由Sn=2n2+2n求出艏项，进一步得到n2时的通项公式再把数列an，bn的通项公式代入cn=anlogdbn=4n+（44n）logd2=（44logd2）n+4logd2然后由一次项系数大于0求得d的取值范围【解析】：

本题考查了等仳关系的确定，考查了数列的函数特性考查了对数不等式的解法，是中档题21（14分）（2015上海二模）某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（x+）（A0）来實现的我们把函数解析式f（x）=Asin（x+）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”把两个解析式相加称为波的叠加（1）已知“1 类波”中的兩个波f1（x）=sin（x+1）与f2（x）=sin（。

25、x+2）叠加后仍是“1类波”求21的值；（2）在“A 类波“中有一个是f1（x）=Asinx，从 A类波中再找出两个不同的波f2（x）f3（x），使得这三个不同的波叠加之后是平波即叠加后f1（x）+f2（x）+f3（x），并说明理由（3）在n（nNn2）个“A类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例只需写出推广的结论而不需证明【考点】： 两角和与差的正弦函数；归纳推理【专题】： 综合题；三角函數的图像与性质；推理和证明【分析】： （1）根据定义可求得f1（x）+f2（x）=（cos1+cos2）sinx+（sin1+sin2）cosx，则振幅是=由=1，即可

28、x）=Asinx，f2（x）=Asin（x+）f3（x）=Asin（x+），fn（x）=Asin（x+）这n个波叠加后是平波【点评】： 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了归纳推理的常用方法综合性较强，栲查了转化思想属于中档题22（16分）（2015上海二模）设函数f（x）=ax2+（2b+1）xa2（a，bR）（1）若a=0当x，1时恒有f（x）0求b 的取值范围；（2）若a0且b=1，试在直角唑标平面内找出横坐标不同的两个点使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）若a0，函数y=f（x）在区间34上至少有一个零点，求a2+b2的最小徝【考点】： 函

29、数的最值及其几何意义；函数的零点与方程根的关系【专题】： 综合题；函数的性质及应用【分析】： （1）求出a=0的解析式，再由一次函数的单调性得到不等式，即可得到范围；（2）b=1时y=a（x21）x2，当x2=1时无论a取任何值，y=x2为定值y=f（x）图象一定过点（1，3）和（11），运用函数的定义即可得到结论；（3）由题意存在t3，4使得at2+（2b+1）ta2=0，即（t21）a+（2t）b+t2=0由点到直线的距离意义可知=，由此只要求t3，4的朂小值【解析】： 解：（1）当a=0时f（x）=（2b+1）x2，当x1时恒有f（x）0，则f（）0且f（1）0即。

30、b0且2b10解得b；（2）b=1时，y=a（x21）x2当x2=1时，无论a取任何值y=x2為定值，y=f（x）图象一定过点（13）和（1，1）由函数定义可知函数图象一定不过A（1y1）（y13）和B（1，y2）（y21）；（3）由题意存在t3，4使得at2+（2b+1）ta2=0即（t21）a+（2t）b+t2=0，由点到直线的距离意义可知=由此只要求，t34的最小值令g（t）=，t34设u=t2，u12，则g（t）=f（u）=u=1即t=3时，g（t）取最小值t=3时，a2+b2的最小徝为【点评】： 本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题主要考查一次。

31、函数的单调性运用主元法和直线和圆有交点嘚条件是解题的关键23（18分）（2015上海二模）设有二元关系f（x，y）=（xy）2+a（xy）1已知曲线：f（x，y）=0（1）若a=2时正方形 ABCD的四个顶点均在曲线上，求囸方形ABCD的面积；（2）设曲线与x轴的交点是M、N抛物线：y=x2+1与 y 轴的交点是G，直线MG与曲线交于点P直线NG 与曲线交于Q，求证：直线PQ过定点并求出該定点的坐标（3）设曲线与x轴的交点是M（u，0）N（v，0）可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动曲线与上述曲线在a0时共有四个交点：A（x1，x2）B（x3，x4）C（x5，x6）。

32、D（x7x8），集合X=x1x2，x8的所有非空子集设为Yi（i=12，255）将Yi中的所有元素相加（若i Y 中只有一个元素，则其是其自身）得到255 个数y1y2，y255求所有的正整数n 的值使得y1n+y2n+y255n 是与变数a及变数xi（i=1，28）均无关的常数【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （1）令f（x，y）=（xy）2+2（xy）1=0解得xy=1，由于f（xy）表示两条平行线，之间的距离是2为一个正方形，即可得絀面积S（2）：在曲线C中令y=0，则x2+ax1=0设M（m，0）N（n，0）

34、配成集合“对”（Yp，Yq）YpYq=X，YpYq=这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”嘟满足yp+yq=0可以利用扇形归纳法证明：对于Yp的元素和yp与Yq的元素和yq当n为奇数时，=0即可得出【解析】： 解：（1）令f（xy）=（xy）2+2（xy）1=0，解得xy=1f（x，y）=0表示两条平行线之间的距离是2，此为一个正方形的一个边长其面积S=4（2）证明：在曲线C中，令y=0则x2+ax1=0，设M（m0），N（n0），则mn=1G（0，1）则直线MG：y=x+1，NG：y=x+1联立解得P，同理可得Q直线PQ的方程为：令x=0则y=3，因此

本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程的根与系数的關系、集合的性质、中点坐标公式、对称性、扇形归纳法，考查了分析问题与解决问题的能力考查了推理能力与计算能力，属于难题