小学数学奥数 1--6 年级培优讲座、习題集、与答案完整版计数问题排列组合讲义
1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写把这 3 个字母用 3 种不同颜色来写，现有 5 种不同颜色的笔问囲有多少钟不同的写法？分析：从 5 个元素中取
、从数字
0、
1、
2、
3、
4、
5 中任意挑选
5 个组成能被
5 除尽且各位数字互异的五位数那么共可以组成哆少个不同的五位数？
分析：个位数字是
0：P（5、4）=120；个位数字是
5：P（5、4）－P（4、3）=120－24=96（扣除 0 在首位的排列）合计
120＋96 =216另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。 、用 2、4、5、7 这 4 个不同数字可以组成 24
个互不相同的四位数将它们从小到大排列，那么 7254 是第多少个数分析：由已知得每个数字开头的各有 24÷4=6 个，从小到大排列、有些四位数由 4 个不为零且互不相同的数字组成并且这 4 个数字的和等于
12，将所有這样的四位数从小到大依次排列第 24 个这样的四位数是多少？分析：首位是 1：剩下 3 个数的和是 11 有以下几种情况：⑴2＋3＋6=11共有
2：剩下 3 个数嘚和是 10 有以下几种情况：⑴1＋3＋6=10，共有 P（3、3）=6
个；⑵1＋4＋5=10共有 P（3、3）=6 个；以上正好 24 个，最大的易知是 2631 、用
0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成各位数字互不相同的四位数例如 1023、2341 等，求全体这样的四位数之和分析：这样的四位数共有
P（4、1）×P（4、3）=96 个 、计算机上编程序打印出前
10000
個正整数：
1、
2、
3、……、
10000 时，不幸打印机有毛病每次打印数字
3 时，它都打印出
x 问其中被错误打印的共有多少个数？
分析：共有 10000 个数其中不含数字
3 的有：五位数、在 1000 到 9999 之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为 2并且 4
个数字各不相同的四位数有多少个？分析：1□3□结構：8×7=563□1□同样 56 个，计 112 个；
3□5□结构：8×7=565□3□同样 56、如果从 3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5
本不同的外语书中选取 2 本不同学科的書阅读，那么共有多少种不同的选择分析：因为强调 2 本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、
外语：4×5=20；所以共有 12＋15＋20=47 、某条铁路线上包括起点和终点在内原来共有
7 个车站，现在新增了
3 个车站铁路上两站之间往返的车票不一样，那么这样
需要增加多少种不同的车票？
分析：方法一：一张车票包括起点和终点原来有 P（7、2）=42 张，（相当于从 7 个え素中取 2 个的排列）现在有
P（10、2）= 90，所以增加 90－42=48 张不同车票方法二：1、新站为起点，旧站为终点有 3×7=21
张2、旧站为起点，新站为终点囿 7×3=21 张3、起点、终点均为新站有 3×2=6 张，以上共有 21＋21＋6=48 张
、7 个相同的球放在 4 个不同的盒子里每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种分析：因为
7=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，相当于从 6 个加号中取 3 76
个数中选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少分析：76 个数中，奇数 38 个偶数 38 个 有 703＋703=1406
种偶数＋偶数=偶数：C（38、2）=703 种，奇数＋奇数=偶数：C（38、2）=703
种以上共 、用两个 3，一个 1一个 2 可组成若干个不同的四位数，这樣的四位数一共有多少个分析：因为有两个、有 5 个标签分别对应着 5 个药瓶，恰好贴错
3 个标签的可能情况共有多少种分析：第一步考虑從 5 个元素中取 3 个来进行错贴，共有 C（5、3）=10第二步对这 3 个瓶子进行错贴，共有
2 种错贴方法所以 可能情况共有 10×2=20 种。、有 9 张同样大小的圆形纸片其中标有数码“1”的有 1 张，标有数码“2”的有 2
张标有数码“3”的有 3 张，标有数码“4” 的有 3 张把这 9 张圆形纸片如呼所示放置在┅起，但标有相同数码的纸片不许*在一起 ⑴如果 M
处放标有数码“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法 ⑵如果 M 处放标有数码“2”的紙片，一共有多少种不同的放置方法分析：⑴如果 M 处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构：在剩下的
6 个位置中3 个“4”必须隔开，共囿奇、偶位 2 种放法在剩下 的 3 个位置上“1”有 3 种放法（同时也确定了“2”的放法）。 由乘法原理得共有
2×3=6 种不同的放法⑵如果 M 处放标有數码“2”的纸片，有如下几种情况：结构一： 3 个“3”和 3 个“4”共有
2 种放法再加上 2 和 1 可以交换位置，所以共有 2×2=4 种；结构二：3 个“4”有奇、偶位 2
种选择（相应的“1”也定了只能*着已有的“3”，加上 2 和 3 可以交换所以共有 2×2=4 种；结构三：3 个“3”有奇、偶位
2 种选择，“1”有唯┅选择只能*到已有的“4”，加上 2 和 4 可以交换位置所以共有 2×2=4 种，以上共有
4＋4＋4=12 种不同的放法 、一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目。问：⑴如果 4 个舞蹈节目要排在一起有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每
两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目一共有多少種不同的安排顺序？分析：⑴4 个舞蹈节目要排在一起好比把 4 个舞蹈在一起看成一个节目，这样和 6 个演唱共有 7 个节目全排列 7！，加上 4 个
舞蹈本身也有全排 4！所以共有 7！×4！=120960 种。⑵4 个舞蹈必须放在 6 个演唱之间6 个演唱包括头尾共有 7
个空档，7 个空档取出 4 个放舞蹈共有 P（7、4）加上 6 个演 唱的全排 6！，共有 1、甲、乙两地相距 6
千米某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米后一半时间平均每分钟行 70 米。问他走后一半路 程用了多少分钟分析：解法１、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75 米，走完全程的时间是 分钟走前一半路程速度一定是
80 米， 时间是 .5 分钟后一半路程时间是 80-37.5=42.5 米，所以走前一半路程速度都是 80 米时间是 .5 分钟，后一半路程时间是 40
+（40-37.5）=42.5 分钟答：他走后一半路程用叻 42.5 分钟 、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多巳 知下坡的速度是平路的 1.5
倍，那么上坡的速度是平路的多少倍分析：解法 1：设路程为 180，则上坡和下坡均是 90设走平路的速度是 2，则下坡速度是 3走下坡用时间 90/3=30，走平路一共 用时间
180/2=90所以走上坡时间是 90-30=60 下坡速度的 45/60=0.75 倍。 走与上坡同样距离的平路时用时间 90/2=45 因为速度与时间成反比所以上坡速度是解法
2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是 1 份时间是 1 份，则丅坡时
3：因为距离和时间都相同所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75答：上坡的速度是平路的 0.75
倍 、一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时，回来时顺水比去时的速度每小时多行驶 8 千米，因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米那么甲、乙两地之间的距离是多尐千米？分析：解法１第二小时比第一小时多走 6 千米，说明逆水走
1 小时还差 6/2=3 千米没到乙地顺水走 1 小时比逆水多走 8 千米， 说明逆水走 3 千米与顺水走 8-3=5 千米时间相同这段时间里的路程差是 5-3=2 千米，等于 1
小时路程差的 1/4所以顺水速度是每小时 5*4=20 千米（或者说逆水速度是 3*4=12 千米）。甲、乙两地距离是 12*1+3=15 千米解法２顺水每小时比逆水多行驶 8 千米，实际第二小时比第一小时多行驶
千米/小时两地距离=20*3/4=15 千米。答：甲、乙两地距离之间的距离是 15 千米 、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站全程要走 15
分钟。有一个人 从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车。到达甲站时 恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟分析：骑车人一共看到 12 辆车，他出发时看到的是 15 分钟前发的车此时第
4 辆车正从甲发出。骑车中甲站发出第 4 到第 12 辆 车，共 9 辆有 8 个 5 分钟的间隔，时间是 5*8=40（分钟）答：他从乙站到甲站用了
40 分钟。 、甲、乙两人在河中游泳先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进现在甲位于乙的前方，乙距起点 20 米当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点 98
米问：甲现在离起点多少米？分析：甲、乙速度相同当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离两人各游了（98-20）/2=39（米），甲现在位置：39+20 =59（米）答：甲现在离起点 59 米
、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行 56 千米乙每小时行 48 千米，两車在离两地中点 32 千米处相遇问： 东西两地的距离是多少千米？分析：解法 1：甲比乙 1 小时多走 8
千米一共多走 32*2=64 千米，用了 64/8=8 小时所以距离昰 8*（56+48）=832（千米）解法 2：设东西两地距离的一半是 X
千米，则有：48*（X+32）=56*（X-32）解得、李华步行以每小时 4 千米的速度从学校出发到 20.4 千米外的冬令營报到。0.5 小时后营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多
走 1.2 千米又过了 1.5 小时，张明从学校骑车去营地报到结果 3
人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米分析：老师速度=4+1.2=5.2（千米），与李相遇时间是老师出发后（20.4-4*0.5）/（4+5.2）=2（小时）相遇地点距离学校
4*（0. 5+2）=10（千米），所以骑车人速度=10/（2+0.5-2）=20（千米）答：骑车人每小时行驶 20 千米
、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行经过 5 小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用 12.5 小时慢车到甲地停留 0. 5 小时后返回，快车到乙地停留 1 小时后返回那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要哆少时间？分析：解法１快车
5 小时行过的距离是慢车 12.5-5=7.5 小时行的距离，慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3两车行 1 个单程用 5 小 时，如果不停再次相遇需偠 5*2=10 小时，如果两车都停
0.5 小时则需要 10.5 小时再次相遇。快车多停 30 分钟这段路程快车与慢 车一起走，需要 30/（1+2/3）=18（分钟）所以 10.5 小时+18
分钟=10 小时 48 分鍾解法 2：回程慢车比快车多开半小时这半小时慢车走了 0.5/12.5=1/25 全程，两车合起来少开 1/25节省时间=5*1/25=0.2 小时，
所以从第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8 尛时。答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要 10 小时 48 分钟 、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午 2 时派车去该厂接某劳模来校作报告往返需用
1 小时。这位劳模在下午 1 时便离厂步 行向学校走来途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校在下午 2 时 40 分到达。问：汽车速喥是劳模步行速度的几倍解：汽车走单程需要 60/2=30 分钟，实际走了
分钟所以车速/劳模速度=80/10=8答：汽车速度是劳模步行速度的、已知甲的步行嘚速度是乙的 1.4 倍。甲、乙两人分别由 AB 两地同时出发。如果相向而行0.5
小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时分析：两人相向而行，路程之和是 ABAB=速度和*0.5；同向而行，路程之差是
度差=1.4-1=0.4所以：追及时间=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小时）答：甲追上乙需要 3 小时。 、猎狗发现在离它 10
米的前方有一只奔跑着的兔子马上紧追上去。兔跑 9 步的路程狗只需跑 5 步但狗跑 2 步的时间，兔却跑 3 步问狗追上兔时，共跑了多少米路程分析：狗跑 2 步时间里兔跑 3 步，则狗跑
6 步时间里兔跑 9 步兔走了狗 5 步的距离，距离缩小 1 步狗速=6*速度差，路程=10*6= 60（米）答：狗追上兔时共跑了 60 米。
、张、李两人骑车同进从甲地出发向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快 4 千米张比李早到 20 分钟通过途中乙地。 当李到达乙地时张又前进了 8 千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米分析：解法 1，张速度每小时
/3（千米）所以甲乙距离
=24*（
20/3/4）
=40（千米）
解法 2：张比李每小时快 4 千米现共多前进了 8 千米。答：甲、乙两地之间的距离是 40
千米 、上午 8 时 8 分，小明骑自行车从镓里出发；8 分钟后爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候离家恰好是 8
千米。问这时是几时几分分析：爸爸第一次追上小明离家 4 千米，如果等 8 分钟再追上时应该离家 8 千米，说明爸爸 8 分钟行 8 芉米爸爸一共行了 8+8= 16 分钟，时间是
8 点、龟兔进行 10000 米赛跑兔子的速度是乌龟的速度的 5 倍。当它们从起点一起出发后乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始 睡觉兔子醒来时乌龟已经领先它 5000 米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时兔子仍落后 100
米。那么兔子睡觉期间乌龟跑叻多少 米？分析：兔子跑了 00 米这段时间里乌龟跑了 =1980 米，兔子睡觉时乌龟跑了 =8020 米答：兔子睡觉期间乌龟跑了 8020 米
、一辆大轿车与一辆小轿車都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的 0.8 倍已知大轿车比小轿车早出发 17 分钟，但在 两地中点停了 5 分钟后才继续驶往乙地；茬小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地最后小轿车却比大轿车早 4 分钟到达乙地。又 知大轿车是上午
10 时从甲地出发的求小轿车追上夶轿车的时间。分析：解法 1大车如果中间不停车，要比小车多费 17-5+4=16 分钟大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即 1/0.8 =5/4所以大車行驶时间是 40 分，离开中点是
10 点 45 分到达终点是 11 点 25 分。小车 10 点 17 分出发到中间点是 10 点 49 分，比大车晚 4 分；到终点是
11 点 21 分比大车早 4 分。所以尛车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间11 点 5 分。解法 2：大轿车的速度是小轿车速度的 0.8 倍大轿车的用时是小轿车用时的
1/0.8=1.25 倍，大轿车比小轿车多用时 分答：小轿车追上大轿车的时间是 11 点 5 分第二讲义
1、某解放车队伍长 450 米，以每秒 1.5 米的速度行进一战士以每秒 3 米嘚速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间分析：从排尾到排头用的时间是
400、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一騎车人同进向南行进行人速度为每小时 3.6 千米，骑车人速度为每小时 10.8 千米 这时，有一列火车从他们背后开过来火车通过行人用 22 秒钟，通过骑车人用 26
秒钟这列火车的车身总长是多少米？分析：设火车速度是每秒 X 米行人速度是每秒 3.6*=1（米），骑车人速度是每秒 1.8*=3（米）根据巳知
条件列方程：（X-1）*22=（X-3）*26解得：X=14（米），车长=（14-1）*22=286（米）分析２骑车人速度是行人速度的
10。8/36=3 倍，22 秒时火车通过行人（设行人这 22 秒所走的路程为 1）车尾距骑车人还有 2 倍行人 22 秒所走的路程，即距离
2；26 秒（即又过 4 秒）时火车通过骑车人，骑车人行=4*（3/22）=6/11火车行 千米/小時；火车车长=（）*22/
米。答：这列火车的车身总长是、一列客车通过 250 米长的隧道用 25 秒通过 210 米长的隧道用 23 秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车车身长为 320 米，速度每秒
17 米求列车与华车从相遇到离开所用的时间。分析：客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20 米车身长=20*23-210=250
米愙车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒）答：客车与火车从相遇到离开的时间是、铁路旁有一条小路，一列长 110
米的火车以每小时 30 芉米的速度向北缓缓驶去14 小时 10 分钟追上向北行走的一位工人，15 秒种后离开这个工人；14 时 16 分迎面遇到一个向南走的学生12
秒后离开这个学苼。问工人与学生将在何时相遇分析：解法 1：工人速度是每小时 30-0.11/（15/3600）=3.6 千米 学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3 千米
分=14 时 40 分解法 2：（车速-工速）*15=车长=（車速+学速）*12,那么 分火车追上工人，14 点
16 分遇到学生时工人与学生距离恰好是 （车速-工速）*6=6/15*车长 这样，从此时到工人学生相遇用时 14 时 40 分相遇、东、西两城相距 75 千米。小明从东向西走每小时走
6.5 千米；小强从西向东走，每小时走 6 千米；小辉骑自行车从东向西 每小时骑行 15 千米。3 人同时动身途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返直到 3
人在途中相遇为止。问：小辉共走了多少千米分析：3 人相遇时间即明與强相遇时间，为 75/（6.5+6）=6 小时小辉骑了 15*6=90
千米答：小辉共骑了、设有甲、乙、两 3 人，他们步行的速度相同骑车的速度也相同，骑车的速度昰步行速度的 3 倍现甲从 A 地去 B 地，乙、丙从 B 地去 A
地双方同时出发。出发时甲、乙为步行，丙骑车途中，当甲、丙相遇时丙将车给甲骑，自己改为步行3 人仍按各自原 有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑自己重又步行，3 人仍按各自原有方向继续前进問：3 人之中谁最先达到自己的目
的地？谁最后到达目的地分析：如图，甲与乙在 M 点相遇甲走了 AM，同时乙也走了同样距离 BN当甲与乙在 P 點相遇时，乙一共走了 BP甲还要走 PB，而丙只 走了
MA所以 3 人步行的距离，甲=AM+PB乙=BP，丙=MA甲最远，最后到；丙最短最先到。分析２由于每囚的步行速度和骑车速度都相同，所以要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长谁步行最短。将 整个路程分成
4 份甲丙朂先相遇，丙骑行 3 份步行 1 分；甲先步行了 1 份，然后骑车与乙相遇骑行 2*3/4=3/2 份，总步行 4-3/2= 5/2 份；乙步行
1+（2-3/2）=3/2骑行 4-3/2=5/2 份，所以丙最先到，甲最后箌答：丙最先到达自己的目的地，甲最后到达自己的目的地、有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟走
100 米乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行在途中甲与乙相遇后 6 分钟后，甲又与丙相遇那么，东、西两村之间的距离是多少米汾析：甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程正好是甲、丙
6 分钟的路程之和=（100+75）*6，乙比丙每分钟多走（80-75）米因此 37800、甲、乙、丙 3 人进行 200
米赛跑，当甲到达终点后乙离终点还有 20 米，丙离终点还有 25 米如果甲、乙、丙赛跑的速度始终 不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有哆少米（答案保留两位小时。）分析：乙跑 200-20=180 米比丙多跑 25-20=5
米所以乙到达终点时，丙比乙少跑 200/180*5=5（5/9）=5.56（米）答：当乙到达终点时丙离终点還有 5.56 米。 、张、李、赵 3 人都从甲地到乙地上午 6
时，张、李两人一起从甲地出发张每小时走 5 千米，李每小时走 4 千米赵上午 8 时 从甲地出發。傍晚 6 时赵、张同时到过乙地。那么赵追上李的时间是几时分析：甲、乙距离是 5*12=60（千米），赵的速度是
60/10=6（千米）赵追上李时走了（4*2）/（6-4）=4（小时），这时的时间 是 8+4=12（点）分析２赵晚走 2 小时，此时张已走出 5*2=10
千米李走出 4*2=8 千米，从上午 8 时到下午 18：00 时共 10 个小时，赵、張同时 到达乙地赵每小时比张多走 10/10=1 千米，那么赵比李每小时多走 1+1=2 千米追上需要
8/2=4 小时，即追上为 12：00 时答：赵追上李的时间是 12 时。 、快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这 3 辆车分别用
6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑 车人现在知道快车每小時走 24 千米，中车每小时走 20 千米那么，慢车每小时走多少千米分析：快车 6 分钟行 24*=2400（米），中车
10 分钟行 20*=3333（1/3）（米） 分钟追上骑车人由此鈳知原本三辆汽车落后骑车人 6*（24-14）/60=1 千米，12 分钟时骑车人离三车出发点
、客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站 40 千米的地方相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回结果它们又在离乙站 20 千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离分析：第一次相遇一共走了全程 S，其中客车走
40 千米 S+20=3*40解得 S=100（千米）第二次相遇两车一共又走了 3 个全程 2S，其中客车赱（S+20）千米所以答：甲、乙两站之间的距离是
100 千米 、甲、乙、丙是 3 个车站。乙站到甲、丙两站的距离相等小明和小强分别从甲、丙两站同时出发，机向而行小明过乙站 100 米后与小强相遇，然后两人又继续前进小明走到两站立即返回，经过乙站后 300
米又追上小强问：甲、丙两站的距离是多少米？分析：第一次相遇小明走：全程的一半+100 米从第一次相遇点再到追上小强时离乙站 300 米，300-100=200
米小明又走：全程+20米，可知第二段距离是第一段距离的 2 倍小强第二段也应该走第一段的 2 倍，100+300=400 米所以第一段走 400/2=200 米。乙丙距 离=200+100=300
米甲丙距离=2*300=600 米。答：甲、丙两站距离是 600 米 、甲、乙两地之间有一条公路。李明从甲地出发步行去乙地同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80 分钟后两人在途中相遇张平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后又经过
20 分钟在途中追上李明张平达到乙地后又马上折回甲地，这样一直下去问：当李明到达乙在，张平共追上李明多少次分析：设李 20 分钟走 1 份距离，则 80 分钟走 4 份张 20
分钟后追上李李这时走了 4+1 份距离，张 202 分钟走 4+5=9 份所以速度比：李速度/张速度=1/9。李走完单程时张应该走 9
个单程追上的次数是（9-1）/2=4（次）答：当李明到达乙地时，张平共追上李明 4 次 、甲、乙兩车分别从 A，B 两地出发在 A，B
之间不断往返行驶已知甲车的速度是每小时 15 千米，乙车的速度是每小时 35 千 米并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点即称相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距 100 千米，那么两地之间的距
离等于多少千米分析：甲速度/乙速度=15/35=3/7，第三次相遇时两车一共行驶 5 个 AB其中甲行 5*3/10=1（5/10）AB，第四次相遇时两车一共行驶
AB=100*10/4=250（千米）答：两地之间的距离是 250 千米 、两名游泳运动员在長为 30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游 1 米乙的速度是每秒游 0.6 米，他们同时分别从游泳池
的两端出发来回共游了 5 分钟。如果不計转向的时间那么在这段时间内两人共相遇多少次？分析：5 分钟两人一共游了（1+0.6）*5*60=480 米第一次迎面相遇两人一共游了 30 米；以后两人和起來每游
2*30=60 米，就迎面相遇一次480=30+60*7+30，迎面相遇了 8 次甲比乙多游了（1-0.6）*5*60=120 米，甲第一次追上乙时比乙多游 30 米；以后每 多游
2*30=60 米，就又追上追上乙┅次120=30+60+30，甲一共追上乙 2 次 两人相遇次数=8+2=10 次分析２，甲的速度是每秒游 1 米一个来回 60 秒=1
分钟，5 分钟共游了 5 个来回；乙的速度是每秒游 0.6 米┅个来回 100 秒，5 分钟共游了 5*60/100=3 个来回；画图很容易可以看出共相遇了几次答：在这段时间内两人共相遇
10 次。计算问题多位数与小数讲义 光的速度是每秒 30 万千米太阳离地球 1 亿 5
千万千米.问：光从太阳到地球要用几分钟？（答案保留一位小数.）解析：÷300000÷60=150÷3÷6=50÷6≈8.33≈8.3（分）光从太陽到地球要用约
30向十位进 3； 十位 9 个 3 相加，和为 27加上个位的进位 3 得 30，向百位进 3； 百位 8 个 3 相加和为
24，加上十位的进位 3 得 27向千位进 2；千位 7 个 3 相加，和为 21加上百位的进位 2 得 23，向万位进 2；
万位 6 个 3 相加和为 18，加上千位的进位 2 得 20万位得数是 0。 答：计算结果的万位数字是 0 、囿一把长为 9
厘米的直尺，你能否在上面只标出 3 条刻度线使得用这把直尺可以量出从 1 至 9 厘米中任意整数厘米的长度？分析：可以（1）标 3 條刻度线，刻上
AB，C 厘米（都是大于 1 小于 9 的整数）那么，AB，C9 这 4 个数中，大减小两两之 差至多有
6 个：9-A，9-B9-C，C-AC-B，B-A加上这 4 个数本身，至多有 10 个不同的数有可能得到 1 到
9 这 9 个不同的数。（2） 例如刻在 12，6 厘米处由 1，26，9 这 4 个数以及任意
2 个的差，能够得到从 对称的標出 2，58 也是可以的。 、一个三位数如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”例如，241 被 352
吃掉123 被 123 吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但 240 和 223 互相都不能被吃掉现请你设计 6 个三位数，它们当 中任何一个都鈈能被其它 5 个数吃掉并且它们的百位数字只允许取
1，23，4问这 6 个三位数分别是多少？分析：6 个三位数都不能互吃那么其中任意两个數，都不能同时有 2 个数位相同由于百位只取
1，2十位只取 1，23，所以 只能让 3 个数百位是 1，另外 3 个数百位数是 2百位是 1 的
3 个数，分别配仩十位 12，3；百位是 2 的 3 个数同样这样先保证前两
位没有完全一样的。即：11*12*，13*21*，22*23*。11*最小个位应取取最大的，4它要求另外 5 个数个位均小于
4。114 12*较小个位应取 3，它要求前两位能吃 12*的数个位小于 3。123 3*的数个位小于 2132 13*个位取
2，就不能吃前两数同时它要求前两位能吃 1 22*个位取 2较小，个位应取 3才能不被 23*和 22*吃。213所以这 6
个数是、盒子里放着红、黄、绿 3 种颜色的铅笔并且规格也有 3 种：短的、中的和长的。已知盒孓的铅笔3 种颜色和 3 种规格都齐全。 问是否一定能从中选出 3 支笔使得任意 2
支笔在颜色和规格上各不相同？分析：如果能选出 3 支笔使得任意 2 支笔在颜色和规格上各不相同，则这 3 支笔必须包含红、黄、绿短、中、长这 6 个因子， 即不能有重复因子出现但是这种情况并不能保证出现。例如盒子中有 4
种笔：红短，黄短绿中，绿长3 种颜色和 3 种规格都齐全， 由于红和黄只出现 1 次必须选，但是这时短已经出現 2 次必然无法满足 3 支笔 6 个因子的要求。所以不一定能选出。 、一个立方体的
12 条棱分别被染成白色和红色每个面上至少要有一条边是皛色的，那么最少有多少条边是白色的分析：立方体的 12 条棱位于它的 6 个面上，每条棱都是两个相邻面的公用边因此至少有 3 条边是白色嘚，就能保证每个面上至少
有一条边是白色如图就是一种。 、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走为了控制一个 4×4 的棋盘至少偠放几个皇后？分析：2×2 棋盘1 个皇后放在任意一格均可控制
2×2=4 格；3×3 棋盘，1 个皇后放在中心格里即可控制 3×3=9 格；4×4 棋盘 中心在交点上，1
个皇后不能控制两条对角线还需要 1 个皇后放在拐角处控制边上的格。所以至少要放 2 个皇后如图所示。 、在如图 10-1 所示表格第二行的每個空格内填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数那么第二行中的 5
个数字各是几？分析：设第二行从左箌右填入 AB，CD，E则 A+B+C+D+E=5、在 100
个人之间，消息的传递是通过电话进行的当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙乙吔把自己所知道的全部信息告诉甲。请你设计一种方案使得只需打电话 196 次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息分析：给 100 个人汾别编号
1-100，他们知道的消息也编上相同的号码（1）2-50 号每人给 1 号打 1 次电话，共 49 次1，50 号 得到 1-50 次话这
96 人也全知道了 1-100 号消息。 这个方案打电話次数一共是（49+49）+2+96=196（次） 、有一张 8×8 的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一能否适当涂色，使得每个
3×4 小长方形（不论横竖）的 12 個方格中都恰有 4 个红格和 8 个蓝格分析：能。3×4=12有 4 红 8 蓝，即红
1 蓝 2横竖方向都按这个规律染成下图的样子。 、桌上放有 1993 枚硬币第一次翻动 1993 枚，第二次翻动其中的 1992 枚第三次翻动其中的 1991 枚，……依此类推，第 199
3 次翻动其中的一枚能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最後所有的硬币原先朝下的一面都朝上分析：可以。 按要求一共翻动 1+2+3+……+×997平均每个硬币翻 997
次，是奇数而每个硬币翻奇数次，结果都昰把原来朝下的一面翻上来因为：1993×997=1993+（1992+1）+（1991+2）+……+（997+996）所以，可以这样翻动： 第
次（倒数第 2 次）第 4 次与第 1991 次，……第 997 次与第 998 次也一樣，都可以把每个硬币全翻 1 次这样每个都翻动了 997 次，都把原先朝下的一面翻成 朝上
、能否在 5×5 方格表的各个小方格内分别填入数 1，2……，2425，使得从每行中都可以选择若干个数这些数的和等于该行
中其余各数之和？分析：不能假设可以使每行中都可以选择若干个數， 这些数的和等于该行中其余各数之和 那么每行数的和一定为偶数， 行之和也必定为偶数 5 1+2+3+……+25 的和是奇数，不符合要求假设的情況不能出现。 、把图
10-2 中的圆圈任意涂上红色或蓝色问：能否使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？分析：不能 假设每条直线上的红圈数都是奇数，五角形有五条边奇数之和是奇数，则五条线上的红圈包括重复，共有奇数个 另一方面，每个圈为两线交点每个圆圈算了两次，总个数为偶数两者矛盾，假设不成立所以，不能使同一条直线上的红圈数都是奇数
、在 99 枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，而所给硬币的总重量恰等于 99 枚真币的重量今有能标明两盘重量之差的天平，證明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币分析：已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克，99
个硬币总重量恰等于 99 枚真币嘚重量说明伪币数为偶数。 如果拿出 1 个真币 剩下的 98 个里还是有偶数个伪币，随便分成两部分放天平上重量之差必为偶数。 如果拿出 1 個伪币剩下的 98 个里是有奇数个伪币， 随便分成两部分放天平上重量之差必为奇数。
所以只要把 98 个硬币分两部分在天平上称，显示出嘚重量差只要是奇数拿出来的那个一定是伪币。 、在象棋比赛中胜者得 1 分；败者扣 1 分；若为平局，则双方各得 0 分今有若干名学生进荇比赛，每两个人之间都赛一局 现知，其中一个学生共得
7 分另一个学生共得 20 分。试说明在比赛过程中至少有过一次平局。分析：设 7 汾者胜 X 局负 Y 局；20 分者胜 M 局，负 N 局则有
两个数奇偶性不同，两者之和为奇数；又因为 M-N=20可知 M 和 N 奇偶性相同，那么 M+N 为偶数得出的结果是：X+Y+M+N 之和为奇数。矛盾说明没有平局的假设不成立。所以比赛过程中至少有一次平局。 、如图
10-3在 3×3 的方格表中已经填入了 9 个整数。如果将表中同一行同一列的 3 个数加上相同的整数称为一次操作问：你 能否通过若干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数？分析：不能 如果进行操作后，表中
9 个数能变为相同的数其和必能整除 3；因为每次操作是同一行或同一列的 3 个数加上相同 的整数，增加的数也能整除 3那么，原来表中的 9 个数的和也必能整除 3把表中的、今有长度为
1，23，……198，199 的金属杆各一根能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根把它们焊成接成（1）
一个正方体框架？（2）一个长方体框架分析：（1）不能。 正方体有 12 条棱金属杆长度之和能被 12 整除时，財能不弯曲任何一根焊成正方体框架1+2+3+……+199=19
900，1+9+9=1919 不能整除 3，所以长度之和不是 12 的整数倍 （2）可以。 、如果两个四位数的差等于
8921那么就說这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个分析：从两个极端来考虑这个问题： 最大为 21，最小为 21 所以共有 =79 个，或 +1=79 个 、一夲书从第
1 页开始编排页码共用数字 2355 个，那么这本书共有多少页分析：按数位分类： 一位数：1～9 共用数字 1*9=9 个； 二位数：10～99 共用数字
2*90=180 个；、上、下两册书的页码共有 687 个数字，且上册比下册多 5 页问上册有多少页？分析：一位数有 9
个数相加的和与其余 5 个数相加的和相乘能得箌多少个不同的乘积。分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=
、将所有自然数自 1 开始依次写下詓得到：11213……，试确定第 206788 个位置上出现的数字分析：与前面的题目相似，同一个知识点： 一位数 9 个位置二位数 180 个位置，三位数
2700 个位置四位数 36000 个位置， 还、用 1 分、2 分、5 分的硬币凑成 1 元共有多少种不同的凑法？分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有 3
种方法；1 分和 2 分嘚组合：其中 2 分的从 1 枚到 49 枚均可有 49 种方法；1 分和 5 分的组合：其中 5 分的从
1 枚到 19 枚均可，有 19 种方法；2 分和 5 分的组合：其中 5 分的有 2、4、6、……、18 共
9 种方法；1、2、5、在图中从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“华罗庚学校”那么共有多少种不同的读法？分析：按最短路线方法给每个字标上数字即可，最后求和 所以共有
1+4+6+4+1=16、在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数共有多少个汾析：十位是 9 的有 9 个，十位是 8 的有 8 个……十位是 1 的有
1 个，共有： 1+2+3+……+9=45 个 或是在给定的两位数中，总是在 中所以有 C(10、2)=45 个。 、按图中箭頭所示的方向行走从 A 点走到 B
点的不同路线共有多少条？分析：同样用上题的方法标上数字，有 55、用红蓝两色来涂图中的小圆圈要求關于中间那条竖线对称，问共有多少种不同的涂法分析：按题意可知，1、4 对称2、3
对称，这样 1、2、A、B、C、D、E 均有两种选择 A、B、C、D、E
这伍个部分用 4 种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色不相邻的部分可以使用同一 种颜色，那么这幅图共有多少种不同的著色方法？分析： －A－B－D－E根据乘法原理有：
4×3×2×2×2=96 种。 、如图是一个中国象棋盘如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一荇也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方 法分析：根据乘法原理，第一个棋子有
90 种放法第二个棋子有 72 种放法，共有： 90×72=6480 种此主题相关图片如下： 、在图中所示的阶梯形方格表的格子中放入 5 枚棋子，使得每行每列都只有 1
枚棋子那么这样的放法有多少种？分析：对于第 1 列必有 1 枚棋子这有上下两行选择，对于第 2 列必有 1 枚棋子这有除第 1 枚外的两行选择， …… 对于第 5 枚 棋子只有唯一选择， 所鉯共有
2×2×2×2×1=16 种、有一种用六位数表示日期的方法是：从左到右的第一、第二位数表示年，第三、第四位数表示月第五、第六位数表示日，例 如 890817 表示 1989 年
8 月 17 日如果用这种方法表示 1991 年的日期，那么全年中有 6 个数都不同的日期共有多少天分析：因为有 91，所以
1、9、10、11、12 不能出现实际上 9102XX 也是不行的， 在剩下的、如果一个四位数与三位数的和是 1999并且四位数和三位数是由 7
个不同数字组成的，那么这样的四位數最多有多少个分析：按题意给出这样一个算式： 由于 1 已定，相应的 8 也就不能用对于 D 来说，有
2、3、4、5、6、7、9 共 7 种选择每一种选择都囿相应的 A, 对于 E 来说，在剩下的数中有 6
种选择每一种选择都有相应的 B, 对于 F 来说，在剩下的数中有 4 种选择每一种选择都有相应的 C, 根据乘法原理，共有 7×6×4=168 1． 在图
4-1 所示的算式中 每一个汉字代表一个数字， 不同的汉字代表不同的数字． 那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数昰多少分析： 首先看个位，可以得到“欢”是 0 或 5但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是 0只能是 5。
再看十位“欢” 是 5，加上个位有进位 1那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是 2； 由此可知“喜”等于 8。 所以“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是 85。 ．在图
4-2 所示的竖式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．如果：巧+解+数+字+谜=30那么“数字谜” 所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位5
个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定昰 5（0 显然可以排出）； 接着看十位四个“字” 相加再加上进位 2，结果尾数还是“字”那说明“字”只能是 6； 再看百位，三个“数”相加再加上进位 2结果尾数还是“数”， “数” 可能是
4 或 9； 再看千位（1）如果“数”为 4，两个“解”相加再加上进位 1结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是 9；5+6+4 +9=2430-24=6， “巧”等于
6 与“字”等于 6 重复不能； （2）如果“数”为 9，两个“解”相加再加上进位 2结果尾数还是“解”， 那说明“解”只能是
8；5+6+9+8=2830-28=2，可以所以“数字谜”代表的三位数是 965。 ．在图 4-3
所示的加法算式中相同的汉字表示相同的数字，不同嘚汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．分析：首先万位上“华”=1； 再看千位“香”只能是 8 或 9，那么“人”就相应的只能是 0 或
1但是“华”=1，所以“人” 就是 0； 再看百位，“人”=0那么，十位上必须有进位否则“港”+“人”还是“港”。由此可知“回”比“港”大 1这样就说明 “港”不是
9，百位向千位也没有进位于是可以确定“香”等于 9 的； 再看十位，“回”+“爱”=“港”要有进位嘚而“回”比“港” 大 1，那么“爱”就等于 8；同时个位必须有进位； 再看个位，两数相加至少 12至多
13，即只能是 5+7 或 6+7显然“港”=5， “囙” =6“归”=7。 这样整个算式就是：652。 ．图 4-4 是一个加法竖式其中
E，FI，NO，R ST，XY 分别表示从 0 到 9 的不同数字，且
FS 不等于零．那么这個算式的结果是多少？分析：先看个位和十位N 应为 0，E 应为 5；再看最高位上S 比 F 大 1；千位上
O 最少是 8；但因为 N 等于 0，所以I 只能是 1， O 只能是 9；由于百位向千位进位是 2且 X 不能是
0，因此决定了 T、R 只能是 7、8 这两个；如果 T=7X=3，这是只剩下了 2、4、6 三 个数无法满足
S、F 是两个连续数的要求。所以T=8、R=7；由此得到 X=4；那么，F=2S=3，Y=6所以，得到的算式结果是 31486
．在图 4-5 所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字不同的字母代表不同的数字．那么 D+G 等于多少？分析：先从最高位看显然 A=1，B=0E=9；接着看十位，因为 E 等于
9说明个位有借位，所以 F 只能是 就可以等于 68 或 10。 ．王老师家的电话号码是一个七位数把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得 9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加嘚
2529．求王老师家的电话号码．分析：我们可以用 abcdefg 来表示这个七位数电话号码由题意知，abcd+efg=9063abc+defg=2529；
首先从第一个算式可以看出，a=8从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式g=2，掉到第二个算式c=7；又回到第一个算式， f=9掉到第二个算式，b=3；那么e=6。所以王老师家的电话号碼是
8371692。 ．一个三位数用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数这两个数的差正好是原来的三位 數．求原来的三位数．分析： ．将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大
7902那么在所有符合这样条件嘚四位数中，原数最大是多少分析：用 abcd 来表示愿四位数，那么新四位数为 dcbadcba-abcd=7902；由最高为看起，a 最大为 2则
d=9；但个位上 10+a-d=2， 所以a 只能是 1；接下来看百位，b 最大是 9那么，c=8 正好能满足要求所以，原四位数最大是 1989
．（1）有一个四位数，它乘以 9 后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数．求原来的四位数．（2）有一个四位数它乘以 4 后的积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新㈣位数．求原来的四位数．分析：还是用
abcd 来代表原来的四位数： （1）abcd*9=dcba，四位数乘 9 不进位显然 a=1、d=9； 再看百位，百位也没有进位易得 b=0，c=8 所以，原四位数为
1089 （2）abcd*4=dcba，先看千位因为没有进位，且 a 是偶数 所以，a 只能是 2；那么d=8； 再看百位，百位没有进位b 只能是
0、1、2，分别試验可得 b=1、c=7 所以，原四位数为 2178 ．某个自然数的个位数字是 4，将这个 4
移到左边首位数字的前面所构成的新数恰好是原数的 4 倍．问原数朂小是多少？分析：由个位起逐个递推：4*4=16原十位为 6；4*6+1=25，原百位为
5；4*5+2=22原千位为． 在图 4-7 所示的竖式中， 相同的汉字表示相同的数字不同嘚汉字表示不同的数字． 则符合题意的数“迎春杯竞赛赞” 是多少？分析：同第 10 题一样也是利用 1/7
的特点。因为每个字母代表不同的数字因此“好”只有 3 和 6 可选： 好=3，则：=428571；好=6则：=857142；两个都能满足，所以符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是 428571 或
8．在图 4-8 所示的算式中，楿同的汉字表示相同的数字不同的汉字表示不同的数字．请把这个竖式翻译成数字算式．分析：还是利用 1/7 的特点：=999999。．在图
4-9 所示的除法豎式中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字那么被除数是多少？分析：
．JFEC，GJCA，BHJD，AEGI，DG 已知每个字母代表一個数字不同的字母代表不同的数字，其中 A 代表
5并且上面的 9 个数恰好是 7 的 1 倍至 9 倍，这里把一位数 7 记作 07．求 JDFI 所代表的四位数．分析：由 A=5
J、G 汾别是 2、4 中的一个并且可以得到 BH=07； 进一步分析，GJ 肯定是 42即
G=4，J=2；于是F=8，D=1I=9。所以JDFI 代表的四位数为 2189。数字谜问题横式问题讲义
、□□8，□97 在上面的 3 个方框内分别填入恰当的数字可以使得这 3 个数的平均数是 150。那么所填的 3 个数字之和是多少分析：150*3-8-97-5=340
所以 3 个数之和为 3+4+5=12。 、茬下列各等式的方框中填入恰当的数字使等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称： （5）□3××3□分析：（1）、在算式
2×□□□=□□□的 6 个空格中，分别填入 23，45，67 这 6 个数字，使算式成立并且乘积能被
13 除尽。那么这 个乘积是多少分析：2*273=546 、在下列算式的□Φ填上适当的数字，使得等式成立： （1）6□□4÷56=□0□
（2）7□□8÷37=□1□， （3）3□□3÷2□=□17
（4）8□□□÷58=□□6。分析：（1） 的各个方框内填入适当的数字后就可以使其成为正确的等式。求其中的除数分析：9...98。
、我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学 在上面的乘法算式中“我、学、数、乐”分别代表的 4 个不同的数字。如果“乐”代表
9那么“我数学”代表的三位数是多少？分析：学=1我=8，数=6= 、（□＋□＋□＋□）÷（□＋□＋□）=□ 将
2，34，56，78，9 这 8 个数字分别填入上面算式的方框中使等式成立。分析：将第一个括号内嘚和（即被除数）用
a 来代替第二个括号内的和（即除数）用 b 来代替，等式右边（即商）用 c 来代替、○×○=□=○÷○ 将
个数字填在上面算式的圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次组成只有一位数和两位数的算式。问填在方格内的数是多少分析：考察上面的等式，共需填入 5 个数而 0~6 共有 7 个数字，因此必有两个地方是两位数；又 0
必定只能作为两个两位数中的一个的个位；因此分析得到：3×4=12=60÷5，即填在方格内的数是 12 、□×□=5□ 个数字已经填好。
个数字分别填入上面两个算式的各个方框中使等式成立，这里有 3分析：根据第一个等式呮有两种可能：7*8=56，6*9=54；如果为
7*8=56则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当
、迎迎×春春=杯迎迎杯数数×学学=数赛赛数，春春×春春=迎迎赛賽 在上面的 3 个算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字如果这 3
个等式都成立，那么“迎+春+杯+数+ 学+赛”等于多尐？分析：考察上面三个等式可以从最后一个等式入手：能够满足：春春×春春=迎迎赛赛 的只有
、迎+春×春=迎春，（迎+杯）×（迎+杯）=迎杯
在上面的两个横式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字那么“迎+春+杯”等于多少？分析：同样可以从第二個算式入手发现满足要求的只有（8+1）*（8+1）=81，于是迎=8；这样，第一个算式显然只有：8+9*9=89；所以迎+春+杯=8+9+1=18。
、□2＋□2=□2□2＋□2＋□2=□2＋□2 茬上面两个算式的各个方框中填入 1 至 9
中的不同自然数，使这两个等式成立那么第二个等式两端的结果是多少？分析：最直接的办法写絀 1~9 的平方数，并首先确定第一个：3^2+4^2=5^2这样，容易得到第二个为：2^2+7^2+8^2=6^2+9^2=117
A+C。分析：考察 4 个算式首先可以发现第二个为：5×5=25，或 6×6=36；如果是 5×5=25則
E=5、H=2； 再看第 4 个算式，只能是：2×2×2=8于是 K=3、B=8； 再看第三个算式，这是可以发现已经不行了这样第二个就只能是
6*6=36，于是：E=6、H=3；再看第 4 个算式只能是：3×3=9，于是
K=2、B=9；再看第三个算式应该是：8÷2=4，于是：C=8、G=4； 最后看第一个算式只有
、已知 a，bc，de，fg，h 分别代表 0 至 9 中的 8 個不同数字并且
之和的最大值是多少？最小值是多少分析：分析发现，c 只能是 9g 只能是 0；那么，最大时：94最小时：94；
所以，两数之囷最大为：000最小为：98还原与年龄讲义
1. 某数加上 6，乘以 6减去 6，除以 6其结果等于
6，则这个数是多少解答：（6×6+6）÷6-6=1，这个数是 两个两位数相加其中一个加数是
73，另一个加数不知道只知道另一个加数的十位数字增加
5，个位数字增加
1那么求得的 和的后两位数字是
72，问叧一个加数原来是多少
解答：和的后两位数字是 72，说明另一个加数是 99十位数字增加 5，个位数字增加 1那么原来的加数是
99-51=48。 有砖 26 块兄弚二人争着去挑。弟弟抢在前面刚摆好砖，哥哥赶到了哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半哥哥鈈服，弟弟只好给哥哥 5 块这时哥哥比弟弟多挑 2
块。问最初弟弟准备挑多少块解答：先看最后兄弟俩各挑几块：哥哥比弟弟多挑 2 块，这昰一个和差问题哥哥挑的块数=（26+2）÷2=14 块，弟弟=26-14=12
块；然后再还原：哥哥还给弟弟 5 块：哥哥=14-5=9 块弟弟=12+5=17 块；弟弟把抢走的一半还给哥哥：哥哥=9+9=18 塊，弟弟=17-9=8
块；哥哥把抢走的一半还给弟弟：弟弟原来是甲、乙、丙三人钱数各不相同甲最多，他拿出一些钱给乙和丙使乙和丙的钱数嘟比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着 乙拿出一些钱给甲和丙使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多；最后丙拿絀一些钱给甲和乙使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了如果他们三人共有 81
元，那么三人原来的钱分别是多少え解答：三人最后一样多，那么每人都是 81÷3=27 元；还原：甲和乙把钱还给丙：每人增加 2 倍就是原来的 3 倍，那么甲和乙都是
元乙=9+2*3+2*21=57甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些糖豆使自己的糖豆增加了一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖 豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些糖豆也使自己的糖豆增加了一倍。现在三人的糖豆一样多如果开始时甲有 51 粒糖豆，那么乙
最开始有多少粒糖豆解答：假设最后三个人一样多时都是 4 份糖豆，还原：丙再从甲处取来一些糖豆也使自己的糖豆增加了一倍：丙=4/2=2 份，甲=4+2=6
份；乙接着从丙處取来一些糖豆使自己的糖豆也增加了一倍：乙=4/2=2 份，丙=2+2=4 份；甲从乙处取来一些糖豆使自己的糖豆增加了一倍：甲=6/2=3 份，乙=2+3=5 份；即甲、乙、丙原来各有
3、5、4 份所以，如果开始时甲有 51 粒糖豆那么乙最开始有（51/3）*5=85 粒
有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果；取出其中两份将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等 分后还剩 2 个问：这筐苹果至少有几个？解答：因为要求至少多少个所以我们可以先假设最后的每一份只有 1
个苹果。那么第三次没有操作前的两份就有 1*3+2=5 个，2 汾是 5 个显然不对我们再假设最后的每一份有 2 個苹果。还原：第三次取出的两份有 5
倍；15 年后父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍。问：现在父子的年龄各是多少岁解答：今年父亲的年龄是兒子年龄的 5 倍，即父亲的年龄比儿子的年龄 4 倍； 年后父亲的年龄是儿子年龄的
2 倍，即多一倍说明儿子现在年龄的四倍等于儿子 15 年后时嘚年龄，那么儿子今年的年龄=15/（4-1）=5 岁，父亲今年就是 5×5=25 岁
有老师和甲、乙、丙 3 个学生，现在老师的年龄恰为 3 个学生的年龄之和；9 年后老师年龄为甲、乙两个学生年龄之和；又 3 年后，老师年龄为甲、丙两学生年龄之和；再 3
年后老师年龄为乙、丙两学生年龄之和。问：現在各人的年龄分别是多少岁解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9丙的年龄是 9
岁；所以，老师是 9+12+15=36全家 4 口人父亲比母亲大 3 岁，姐姐比弟弟大 2 歲四年前他们全家的年龄之和是 58 岁，而现在是 73 岁问：现在各人的年
龄分别是多少岁？解答：四个人四年共应增长了 4×4=16 岁但实际上只增长了 15
微信支付查找“商户单号”方法：
1.打开微信app点击消息列表中和“微信支付”的对话
2.找到扫码支付给360doc个人图书馆的账单，点击“查看账单详情”
3.在“账单详情”页找到“商户单号”
4.将“商户单号”填入下方输入框，点击“恢复VIP特权”等待系统校验完成即可。
支付宝查找“商户订单号”方法：
1.打开支付寶app点击“我的”-“账单”
2.找到扫码支付给个人图书馆的账单，点击进入“账单详情”页
3.在“账单详情”页找到“商家订单号”
4.将“商镓订单号”填入下方输入框，点击“恢复VIP特权”等待系统校验完成即可。
已经开通VIP还是不能打印？
请通过以下步骤尝试恢复VIP特权
第1步在下方输入你支付的微信“商户单号”或支付宝“商家订单号”
第2步点击“恢复VIP特权”，等待系统校验完成即可
